補碼的符号位為什麼能參與運算（看這一篇就夠了，絕對通俗易懂！！！）

目錄

前置知識

補碼的定義：

反碼的定義：

這是計算反碼的兩個例子：

補碼 =  反碼 + 1  為何成立（針對負數）

步入正題

補碼的意義

為何補碼的符号位能參與運算

為何補碼的最高位經常“被稱作”符号位呢？

總結

最後

前置知識

補碼的定義：

所謂補碼，英語裡又叫two's complement（對2求補），這個2指的是計數系統的容量（模），就是計數系統所能表示的狀态數。比如  "1位符号位 + 4位數值位"，那麼容量（模）就是

因為 非負數是[0,

- 1],  負數是[ -

 + 1, 0), 然後還有一個 -0，一共就是

個；或者“暫時抛棄符号位”這一說法，5位二進制數表示的數最多就是

個

是以，[x]補  = (

+ x) % 

         %x  <=>  模x

反碼的定義：

所謂反碼，英語裡又叫ones' complement（對1求補），這裡的1，本質上是一個有限位計數系統裡所能表示出的最大值，在8位二進制裡就是11111111，在1位十進制裡就是9，在3位十六進制裡就是FFF（再大就要進位了）。求反又被稱為對一求補，用最大數減去一個數就能得到它的反，很容易看出在二進制裡11111111減去任何數結果都是把這個數按位取反，0變1，1變零，是以才稱之為反碼

是以，[x]反 = (

- 1 + x) % (

- 1)

這是計算反碼的兩個例子：

補碼 =  反碼 + 1  為何成立（針對負數）

由上，

[x]補  = (

+ x) %

[x]反 = (

- 1 + x) % (

- 1)

可推出，補碼 = 反碼 + 1 成立

補碼 = 反碼 + 1 隻是一種求補碼的方式，并不是定義，是由補碼和反碼的定義推出來的

步入正題

補碼的意義

由上可知，[x]補 = (

+ x) %

推廣到一般，就是  [x]補 = (

+ x) %

       (n是數值位的位數)

拿經典的鐘表為例

假設時針現在指在了3點的位置，我要讓指針指向12點，那麼我有兩種選擇（如果規定逆時針為負）

1、逆時針轉3格 （-3）

2、順時針轉9格（+9）

那麼，-3和+9就起到了相同的作用，二者效果一樣，都是從3點到12點

那麼二者有什麼關系呢？

其實二者互為補碼（%12）      12恰好是計數系統的容量（即鐘表最多表示12個數）

那麼在 %12 的情況下，9 就可以 "代替 -3" 運算

如  （8 - 3）% 12 = 5 % 12 = 5           (8 + 9) % 12 = 17 % 12 = 5

是以，補碼的用處就是：   減一個數  等價于  加上這個負數的補碼

那麼就不用進行減法運算了，隻要會加法就行

是以，補碼的意義就是把負數變成它“對應的正數”，然後參與運算

為何補碼的符号位能參與運算

首先，放上結論：補碼根本就沒有符号位   

至于為什麼，且聽我細細道來！！

根據上面的推導可知，補碼就是把負數轉換成正數然後參與運算

也就是說，補碼都是正數（敲黑闆~~~）

都是正數，那麼就沒有必要區分正負了啊，也就不需要符号位了，是以補碼沒有符号位

拿-2為例

[-2]原 = 1 0010        [-2]補 = 11110

如我所說，沒有符号位，那麼11110就是30，也就是說  -2的補碼是30 (%

)，這顯然是正确的，是以我上面的結論是正确的（自導自演了，哈哈哈哈）

是以，補碼既然都沒有符号位（都是數值位，最高位也是），那拿來運算就是理所當然的啦！！！

為何補碼的最高位經常“被稱作”符号位呢？

正數的補碼等于其本身，那麼補碼的最高位自然就是0

計算負數的補碼時

用這個公式：[x]補  = (

+ x) % 

計算得到的補碼最高位剛好為1

是以，事實情況是

補碼的最高位 和 原碼的符号位（最高位）  是一樣的

我們知道，補碼是看不出一個數的真實值的，需要轉換成原碼才能計算出

現在又有了，補碼的最高位和原碼的最高位一樣，而原碼的最高位又表示正負

是以，就可以拿補碼的最高位快速判定一個數的正負

然後，可能就有人發現了這個“巧合”，但是又不明白原理，就把補碼的最高位當作符号位了，然後就給我們這些小白留下了無盡的困惑（QWQ）

總結一句話就是：補碼的最高位能起到顯示正負的功能（隻是能起到符号位的功能），但不是真正的符号位，而是如假包換的數值位

總結

一定要從定義出發，搞清楚因果關系，由因 -> 果；如果搞不明白，就很容易弄混淆了，然後開始懷疑人生？（我可是亂說的啊，hhh）

我在大一下學期上那個電子技術基礎的時候，還在課堂上講過這些（還得感謝梁老師給的機會，哈哈哈），其實那時候也是半懂的狀态給大家講，也不知道其他同學有沒有聽明白（逃~）；然後這學期學計組，又遇到了這個難題（自我覺得很難！！）。反正總是要弄明白的，逃也逃不掉，是以花了兩三天的時間，上網搜了很多别人的講解，然後綜合一下，自己再加以思考，結果就是了解的更深刻了，思路也更清晰了；至少現在，如果有人問我這個問題，我能面對面地把這個問題給他(她？)講明白

僅僅在邏輯上給出證明而不能從直覺上把握感覺的話，證了也白證，心裡還是很慌覺得知識不屬于我         ---華為某大佬

作為一個工科生，基本的數學原理是需要搞明白的，不然總會覺得不舒服         ----交大某大佬

最後

這篇blog應該是我花的時間最多的啦，差不多4h?

我所了解的，都在這篇文章裡面了，如果有錯誤的地方，歡迎指正！！！！

如果能幫到你，不妨給個贊👍？ （逃~