高等數學Mathematica實驗題——1.2-27.複合函數複合n次的表達式求解及結果化簡

“ 設函數y=f(u)的定義域為D u ， 值域 為M u ，函數u=g(x）的定義域為D x ，值域為M x ，如果M x ∩D u ≠Ø，那麼對于M x ∩D u 内的任意一個x經過u；有唯一确定的y值與之對應，則變量x與y之間通過變量u形成的一種 函數關系 ，這種函數稱為複合函數(composite function)，記為：y=f[g(x)]，其中x稱為自變量，u為中間變量，y為 因變量 （即函數）”。

實驗題1 .2-27：已知f(x)=x/Sqrt[1+x^2]，用Mathematica軟體求出複合函數f(f(...f(x)...))(n=1,2,...,10)的表達式.根據Mathematica的結果，試給出複合函數的一般表達式，并證明你的結論。

解答：

不難看出，f(x)與自身複合n次的結果為 x/Sqrt[1+(n+1)x^2]。其實，這個結果手動計算也能得出，而通過Mathematica呵以進行交叉驗證。 這裡，也發現了一個Mathematica的小bug,即，Simplify的結果并不夠理想，沒有精簡到位，将在另篇中詳細說明。