高等数学Mathematica实验题——1.2-27.复合函数复合n次的表达式求解及结果化简

“ 设函数y=f(u)的定义域为D u ， 值域 为M u ，函数u=g(x）的定义域为D x ，值域为M x ，如果M x ∩D u ≠Ø，那么对于M x ∩D u 内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种 函数关系 ，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为 因变量 （即函数）”。

实验题1 .2-27：已知f(x)=x/Sqrt[1+x^2]，用Mathematica软件求出复合函数f(f(...f(x)...))(n=1,2,...,10)的表达式.根据Mathematica的结果，试给出复合函数的一般表达式，并证明你的结论。

解答：

不难看出，f(x)与自身复合n次的结果为 x/Sqrt[1+(n+1)x^2]。其实，这个结果手动计算也能得出，而通过Mathematica呵以进行交叉验证。 这里，也发现了一个Mathematica的小bug,即，Simplify的结果并不够理想，没有精简到位，将在另篇中详细说明。