第4章 頻率域濾波
- 前言
- 背景
- 基本概念
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- 歐拉公式：
- 傅裡葉級數
- 傅裡葉變換與反變換
- 卷積定理
- 二維離散傅裡葉變換及其反變換
- 二維離散傅裡葉變換的一些性質
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- 空間和頻率間隔之間的關系
- 平移和旋轉
- 周期性
- 對稱性
- 傅裡葉譜和相角
- 頻率域濾波基礎
- 使用頻率域濾波器平滑圖像
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- 理想低通濾波器（ILPF）
- 巴特沃斯低通濾波器（BLPF）
- 高斯低通濾波器（GLPF）
- 使用頻率域濾波器銳化圖像
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- 理想高通濾波器、巴特沃斯高通濾波器、高斯高通濾波器與模糊圖像的低通濾波器恰恰相反，不贅述，如有疑問，檢視課本P179.
- 總結
前言
在第3章中對空間域濾波做了重點的研究與介紹，例如直方圖均衡、中值濾波、均值濾波等等，但如果不了解在圖像濾波中如何應用傅裡葉變換和頻率域的基本知識，要徹底了解這一領域是不太可能的。即使讀者不是一位信号處理穿甲，也能深刻了解這些主題，關鍵在于要關注基本原理及它們與數字圖像處理之間的關系。本章重點闡述傅裡葉變換的變換過程及原理，并強調圖像特征與用于表示這些特征的數學工具之間的聯系，介紹了在基本的圖像濾波中如何應用傅裡葉變換。
背景
法國數學家傅裡葉指出，任何周期函數都可以表示為不同頻率的正弦和/或餘弦之和的形式，每個正弦項/或餘弦項都乘以不同的系數（現在成為傅裡葉級數）。
基本概念
歐拉公式：
傅裡葉級數
傅裡葉變換與反變換
卷積定理
f(t)★h(t)=H(μ)F(μ）
f(t)h(t)=H(μ)★F(μ）
其中H和F函數是f和h的傅裡葉變換
二維離散傅裡葉變換及其反變換
二維離散傅裡葉變換的一些性質
空間和頻率間隔之間的關系
頻率域樣本間的間隔與空間樣本間的間距及樣本數成反比。
平移和旋轉
1、f(x,y)的平移不影響F(u,v)的幅度（譜）。
2、若f(x,y)旋轉θ角度，則F(u,v)也旋轉相同的角度，反之亦然。
周期性
對稱性
傅裡葉譜和相角
傅因為二維離散傅裡葉變換通常是複函數，是以傅裡葉的譜和相角分别對應着複函數的幅值和相位
頻率域濾波基礎
頻率域濾波總結：
1、給定一幅大小為M×N的輸入圖像f(x,y)，得到填充參數P和Q，通常選擇P=2M和Q=2N
2、對f(x,y)添加必要數量的0，形成大小為P×Q的填充圖像fp(x,y)
3、用（-1）^(x+y)乘以fp(x,y)，移到其變換中心。
4、計算步驟3中圖像的離散傅裡葉變換（DFT），得到F(u,v)
5、生成一個濾波函數H(u,v),其大小為P×Q，中心在圖像中心處。用陣列相乘形成乘積
G(u,v)=H(u,v)F(u,v)
6、得到處理後的圖像：進行傅裡葉逆變換，且隻選擇實部，得到gp(x,y)
7、從gp(x,y)的左上象限處提取M×N區域，得到最終處理結果g(x,y)。
使用頻率域濾波器平滑圖像
這一部分主要介紹頻率域中的各種濾波技術，首先是介紹低通濾波器，低通濾波器主要實作對圖像進行模糊，主要介紹三種類型的低通濾波器：理想濾波器/巴特沃斯低通濾波器和高斯低通濾波。高通濾波器主要是實作對圖像的銳化過程，突出邊緣特征。
理想低通濾波器（ILPF）
其中，D0表示通帶的半徑。D(u,v)的計算方式也就是兩點間的距離，很簡單就能得到。
一個理想低通濾波器變換函數的透視圖如下：
以圖像顯示如下圖：
濾波結果如下：
原圖：
濾波之後的圖檔：
可以看到在處理之後的圖檔中出現了振鈴特征（表現為圖像灰階劇烈變化的領域處出現振蕩現象）。
巴特沃斯低通濾波器（BLPF）
同樣的，D0表示通帶的半徑，n表示的是巴特沃斯濾波器的次數。随着次數的增加，振鈴現象會越來越明顯。
透視圖和顯示為圖像的結果如下：
可以明顯的看到在黑色白色的邊緣處過渡比較平緩，表現在透視圖中0和1的過渡處也是平滑的。
濾波結果如下：
結論：在圖中沒有可見的振鈴效應，應用較廣泛。
高斯低通濾波器（GLPF）
高斯函數如下：
D0表示通帶的半徑。高斯濾波器的過度特性非常平坦，是以是不會産生振鈴現象的。
傳遞函數的透視圖如下（呈高斯分布）：
顯示為圖像：
濾波結果：
結論：高斯濾波同樣沒有出現明顯的振鈴效應。
使用頻率域濾波器銳化圖像
理想高通濾波器、巴特沃斯高通濾波器、高斯高通濾波器與模糊圖像的低通濾波器恰恰相反，不贅述，如有疑問，檢視課本P179.
總結
本次學習主要學習了傅裡葉變換及其在頻率域濾波的應用，重點在于模糊圖像和銳化圖像過程中所用到的低通和高通濾波器。