第三講 歐幾裡得與他的《幾何原本》

第三講   歐幾裡得與他的《幾何原本》

教學目标與教學指導：

數學的内容可以粗略地分為代數與幾何兩大部門。代數是關于數量關系及數量形式的學問，而幾何是關于空間形式的學問，最初主要研究空間的度量、形體關系以至形式演繹。在數學教學中，幾何與代數具有同等重要的地位。希望通過本專題的學習，了解歐幾裡得對數學發展的貢獻及《幾何原本》的主要内容，了解公理化思想的内涵，并将其靈活運用于對教學的指導。

一、幾何學的起源

與代數學的起源一樣，幾何學的起源也十分久遠，它産生于早期人類的社會實踐，從人類對實物形狀的認識開始。而促進幾何學産生的直接原因與土地測量及天文活動有關。在古埃及，由于尼羅河每年泛濫一次，每次泛濫，洪水會淹沒兩岸的土地，一旦洪水退卻，需要重新測量土地。是以便逐漸産生了關于幾何形體的概念、性質及其度量方面的知識。今天的“幾何”（Geometry）一詞，源于希臘語，本意是指測量術，明末中國學者徐光啟譯之為“幾何”，我們一直沿用至今。

早期文明中的幾何學内容基本都是與幾何形體的度量計算以及測量有關。埃及數學文獻“莫斯科紙草書”與“蘭德紙草書”中計有110個數學問題，其中有26個屬于幾何問題，重要是計算土地面積、谷物體積等公式。由此可見，埃及人當時已掌握了圓周長、面積的近似公式，還知道三角形、圓柱體的求積公式。這些知識也在其它古老文明中出現，巴比倫人在公元前2000年—前1600年，已熟悉計算長方形、直角三角形、等腰三角形的面積，以及一些形體的體積，還掌握了勾股定理的特殊情況。中國秦漢以前的幾何學内容，沒有留下文字性材料，詳細情況不得而知，但從西漢成書的《九章算術》，以及農業社會的社會形态上看，這些幾何知識也相當發達。

二、歐幾裡得與《幾何原本》

提起數學裡的平面幾何與立體幾何一般人都知道，但若問這些理論是由誰首先系統建立起來的，恐怕就有許多人不知道了。這個人就是生活在2000多年以前的古希臘數學家歐幾裡得。歐幾裡得在他留傳了幾千年的光輝著作《幾何原本》中，用公理化方法将古希臘豐富的幾何學知識整理在嚴密的邏輯系統之中，使幾何學成為一門獨立的、演繹的科學。

（一）歐幾裡得生平簡介

歐幾裡得約公元前330年生于希臘的亞曆山大城，曾受教于柏拉圖學派。他曾在著名城市亞曆山大進行學習和科學活動，并在那裡建立了歐幾裡得學派。歐幾裡得并不是一位傑出的數學家，他隻是對幾何有一定的研究，并不是歐幾裡得發明了幾何學。當時泰勒斯、尤多蘇斯等人都是有名的數學家，他們對數學有深刻的研究，而歐幾裡得隻不過善于把一些數學家對幾何問題的證明用比較簡潔的語言表達出來，他還善于改寫别人的研究成果，重視總結前人的經驗。歐幾裡得一生主要是整理自古以來人類所積累的全部數學知識，并集其大成，編寫成一部完整的數學書——《幾何原本》。這本書幾乎被譯成全世界各種文字。歐幾裡得大約于公元前275年去世。

歐幾裡得的性格正直，表裡如一，不搞陰謀詭計，專心研究科學，對于有權勢的人物從不阿谀奉承。傳說，歐幾裡得時代有一位名叫托勒密的國王，在他學習幾何時曾請教過歐幾裡得，問他除了他的《原本》之外，有沒有其他學習幾何的捷徑．歐幾裡得并沒有把這位國王看在眼裡，他嚴肅地回答道：“幾何無王者之道”，意思是在幾何學裡，沒有專為國王鋪設的大路。“在國家裡有老百姓走的小路，也有為國王鋪設的大道，但在幾何裡，道路隻有一條！”

歐幾裡得治學嚴謹，對學生要求十分嚴格，獎懲分明。當時有個學生在學了第一個定理之後便問：“學完此定理之後，我将得到什麼？”，歐幾裡得聽完之後叫過一個仆人道：“給他三個便士（當時流通的貨币），因為他學了一點東西便要求有所得”。從這件事我們清楚地看到，歐幾裡得主張學習必須循序漸進、刻苦鑽研，不贊成投機取巧的作風，也反對狹隘實用觀點。

（二）歐幾裡得對數學發展的貢獻

歐幾裡得雖然算不上傑出的數學家，但确實是一位有才華的組織者。他把當時希臘人研究幾何的許多證明用更簡明、邏輯的語言加以闡述，并把許多有用的知識收集到他的《幾何原本》一書，該書把許多世代的幾何發明和創造經過加工熔為一爐，是一本具有獨特風格的名著。《幾何原本》寫得生動而又有條理，對前人的許多研究成果作了認真的分析，并給了出色的證明，富于權威性。甚至今天中學裡學習的幾何課本仍是從《幾何原本》改寫而成的，它為人類的公德心起了很好的作用，為數學的發展奠定了基礎。

歐幾裡得是一位很講究證明方法的學者。有些數學證明題比較複雜，一時難于解決，但如果精心選擇證法，往往可以使難化簡，作到事半功倍，甚至有些長期解決不了的難題也能一針見血地得到證明。

歐幾裡得天才的、完美的創造物是《幾何原本》。古希臘繼承了埃及和巴比倫在實驗幾何學上的知識，運用邏輯推理的方法把幾何學的研究推到高度系統化、理論化的境界，而歐幾裡得正是這樣一位大師。《幾何原本》是整個人類文明發展史上的裡程碑，是全人類文明遺産中妙用無窮的瑰寶。

歐幾裡得除了名著《幾何原本》以外，主要著作還有以下一些：《二次曲線》，該書在數學史上有重要作用，其中的一些觀點和證明方法為後人進一步發展數學起很大的作用。《辨僞術》，它主要是訓練學生解題能力的參考書。另外，《圖形分割》、《資料》、《曲面——軌迹》、《衍論》等都是一些有價值的數學著作。歐幾裡得在研究數學的同時，對實體和天文也有一定研究，并有不少的著作，如《光學》、《鏡面反射》、《現象》等。

三、《幾何原本》與演繹數學

歐幾裡得《原本》是一部劃時代的著作．其偉大的曆史意義在于它是用公理方法建立起演繹體系的最早典範．過去所積累下來的數學知識，是零碎的、片斷的，可以比作木石、磚瓦．隻有借助于邏輯方法，把這些知識組織起來，加以分類、比較，揭露彼此間的内在聯系，整理在一個嚴密的系統之中，才能建成巍峨的大廈．《原本》完成了這一艱巨的任務，對整個數學的發展産生了深遠的影響．

　　《原本》的出現不是偶然的，在它之前，已有許多希臘學者做了大量的前驅工作．從泰勒斯算起，已有300多年的曆史．泰勒斯是希臘第一個哲學學派——伊奧尼亞學派的建立者．他力圖擺脫宗教，從自然現象中去尋找真理，對一切科學問題不僅回答“怎麼樣”？還要回答“為什麼這樣”？他對數學的最大貢獻是開始了命題的證明，為建立幾何的演繹體系邁出了可貴的第一步．

接着是畢達哥拉斯學派，用數來解釋一切，将數學從具體的事物中抽象出來，建立自己的理論體系．他們發現了勾股定理、不可通約量，并知道五種正多面體的存在，這些後來都成為《原本》的重要内容．這個學派的另一特點是将算術和幾何緊密聯系起來，為《原本》算術的幾何化提供了線索．

柏拉圖學派的思想對歐幾裡得無疑也産生過深刻的影響．柏拉圖非常重視數學，特别強調數學在訓練智力方面的作用，而忽視其實用價值．他主張通過幾何的學習培養邏輯思維能力，因為幾何能給人以強烈的直覺印象，将抽象的邏輯規律展現在具體的圖形之中．

到公元前4世紀，希臘幾何學已經積累了大量的知識，邏輯理論也日臻成熟，由來已久的公理化思想更是大勢所趨．這時，形成一個嚴整的幾何結構已是“山雨欲來風滿樓”了。

建築師沒有創造木石磚瓦，但利用現有的材料來建成大廈也是一項不平凡的創造．公理的選擇，定義的給出，内容的編排，方法的運用以及命題的嚴格證明都需要有高度的智慧并要付出巨大的勞動．從事這宏偉工程的并不是個别的學者，在歐幾裡得之前已有好幾個數學家做過這種綜合整理工作．但經得起曆史風霜考驗的，隻有歐幾裡得《原本》一種．在漫長的歲月裡，它曆盡滄桑而能流傳千古，表明它有頑強的生命力．它的公理化思想和方法，将繼續照耀着數學前進的道路．

《幾何原本》（The Elements）由希臘數學家歐幾裡得（Euclid，公元前330年～公元前275年）所著。《幾何原本》采用了前所未有的獨特編寫方式，先提出公理、公設、定義，然後由簡到繁證明一系列定理。内容豐富，結構嚴謹，文字洗練，概念清晰，判斷準确，推理周密，論證有力。對這本書英國的數學家羅素在《西方哲學史》中是這樣評價的：歐幾裡得的《（幾何）原本》毫無疑義是古往今來最偉大的著作之一，是希臘理智最完美的紀念碑之一。

《幾何原本》從五個公設和五個公理入手，用邏輯推理的方法，演繹出内容極為豐富的幾何知識。它叙述并證明了幾千年來人類有關點、線、圓和一些簡單的立體幾何知識，全書共13卷。第1卷，給出了歐幾裡得幾何學的基本概念、定義、公理、公設等；第2卷，面積和變換；第3卷，圓及其有關圖形；第4卷，多邊形及圓與正多邊形的作圖；第5、6卷，比例與相似形；第7卷，數論；第8卷，連比例；第9卷，數論；第10卷，不可通約量的理論；第11卷，立體幾何；第12卷，利用“窮竭法”證明圓面積的比等于半徑平方的比；球體積的比等于半徑立方的比，等等；第13卷，正多面體。

《幾何原本》一書從很少的幾個定義、公設、公理出發，推導出大量結果，最重要的是它給出的公理體系标志着演繹數學的成熟，主導了其後數學發展的主要方向，使公理化成為現代數學的根本特征之一。2000多年來,它一直支配着幾何的教學。現代世界各國中學幾何課本，基本上還是仿照法國數學家拉格朗日對《幾何原本》的改寫本改編而成的。《幾何原本》是數學史上的一個偉大的裡程碑，問世以來，受到廣泛的重視與傳播，除《聖經》之外，沒有任何一本著作，其使用、研究與印行之廣泛能與《幾何原本》相比。是以，有人稱《幾何原本》為數學的《聖經》。它的偉大意義在于，它第一次全面系統地總結了古希臘的數學知識，而且是用公理法建立起來的數學演繹體系的最早的典範。它不僅影響到數學，還有哲學等在内的許多論著也采取此法。

四、《幾何原本》在中國

　　

《幾何原本》傳入中國，首先應歸功于明末科學家徐光啟。徐光啟(1562～1633)，字子先，上海吳淞人。他在加強國防、發展農業、興修水利、修改曆法等方面都有相當的貢獻，對引進西方數學和曆法更是不遺餘力。他認識意大利傳教士利瑪窦之後，決定一起翻譯西方科學著作。利瑪窦主張先譯天文曆法書籍，以求得天子的賞識。但徐光啟堅持按邏輯順序，先譯《幾何原本》。他們于1606年完成前6卷的翻譯，1607年在北京印刷發行。

徐光啟和利瑪窦《幾何原本》中譯本的一個偉大貢獻在于确定了研究圖形的這一學科中文名稱為“幾何”，并确定了幾何學中一些基本術語的譯名。“幾何”的原文是“geometria”，徐光啟和利瑪窦在翻譯時，取“geo”的音為“幾何”，而“幾何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。用“幾何”譯“geometria”，音義兼顧，确是神來之筆。幾何學中最基本的一些術語，如點、線、直線、平行線、角、三角形和四邊形等中文譯名，都是這個譯本定下來的。這些譯名一直流傳到今天，且東渡日本等國，影響深遠。

徐光啟要求全部譯完《幾何原本》，但利瑪窦卻認為應當适可而止。由于利瑪窦的堅持，《幾何原本》的後7卷的翻譯推遲了200多年，才由清代數學家李善蘭和英國人偉烈亞力合作完成。李善蘭(1811～1882)，字壬叔，号秋紉，浙江海甯人，自幼喜歡數學。1852年到上海後，李善蘭與偉烈亞力相約，繼續完成徐光啟、利瑪窦未完成的事業，合作翻譯《幾何原本》後7卷，并于1856年完成此項工作。至此，歐幾裡得的這一偉大著作第一次完整地引入中國，對中國近代數學的發展起到了重要的作用。

徐光啟在評論《幾何原本》時說過：“此書為益能令學理者祛其浮氣，練其精心；學事者資其定法，發其巧思，故舉世無一人不當學。”其大意是：讀《幾何原本》的好處在于能去掉浮誇之氣，練就精思的習慣，會按一定的法則，培養巧妙的思考。是以全世界人人都要學習幾何。

徐光啟和《幾何原本》

徐光啟（1562—1633）字子先，号玄扈，吳淞（今屬上海）人。他從萬曆末年起，經過天啟、崇祯各朝，曾作到文淵閣大學士的官職（相當于宰相）。他精通天文曆法，是明末改曆的主要主持人。他對農學也頗有研究，曾根據前人所著各種農書，附以自己的見解，編寫了著名的《農政全書》。他沒有入京做官之前，曾在上海、廣東、廣西等地教書。在此期間，他曾博覽群書，在廣東還接觸到一些傳教士，對他們傳入的西方文化開始有所接觸。公元1600年，他在南京和利瑪窦相識，以後兩人又長期同住在北京，經常來往。他和利瑪窦兩人共同譯《幾何原本》一書，1607年譯完前六卷。當時徐光啟很想全部譯完，利瑪窦卻不願這樣做。直到晚清時代，《幾何原本》後九卷的翻譯工作才由李善蘭（公元1811—1882年）完成。

《幾何原本》是我國最早第一部自拉丁文譯來的數學著作。在翻譯時絕無對照的詞表可循，許多譯名都從無到有，當時創造的。毫無疑問，這是需要精細研究煞費苦心的。這個譯本中的許多譯名都十分恰當，不但在我國一直沿用至今，并且還影響了日本、北韓各國。如點、線、直線、曲線、平行線、角、直角、銳角、鈍角、三角形、四邊形……這許多名詞都是由這個譯本首先定下來的。其中隻有極少的幾個經後人改定，如“等邊三角形”，徐光啟當時記作“平邊三角形”；“比”，當時譯為“比例”；而“比例”則譯為“有理的比例”等等。

《幾何原本》有嚴整的邏輯體系，其叙述方式和中國傳統的《九章算術》完全不同。徐光啟對《幾何原本》差別于中國傳統數學的這種特點，有着比較清楚的認識。他還充分認識到幾何學的重要意義，他說“竊百年之後，必人人習之”。

清康熙帝時，編輯數學百科全書《數理精蘊》（公元1723年），其中收有《幾何原本》一書，但這是根據公元十八世紀法國幾何學教科書翻譯的，和歐幾裡得的《幾何原本》差别很大。

到清朝末年廢科舉、興學堂之後，幾何學方成為學校中必修科目之一。到這時才出現了徐光啟所預料的“必人人而習之”的情況。

讨論與思考：

1、《幾何原本》的主要内容有哪些？