第三讲 欧几里得与他的《几何原本》

第三讲   欧几里得与他的《几何原本》

教学目标与教学指导：

数学的内容可以粗略地分为代数与几何两大部门。代数是关于数量关系及数量形式的学问，而几何是关于空间形式的学问，最初主要研究空间的度量、形体关系以至形式演绎。在数学教学中，几何与代数具有同等重要的地位。希望通过本专题的学习，了解欧几里得对数学发展的贡献及《几何原本》的主要内容，理解公理化思想的内涵，并将其灵活运用于对教学的指导。

一、几何学的起源

与代数学的起源一样，几何学的起源也十分久远，它产生于早期人类的社会实践，从人类对实物形状的认识开始。而促进几何学产生的直接原因与土地测量及天文活动有关。在古埃及，由于尼罗河每年泛滥一次，每次泛滥，洪水会淹没两岸的土地，一旦洪水退却，需要重新测量土地。因此便逐渐产生了关于几何形体的概念、性质及其度量方面的知识。今天的“几何”（Geometry）一词，源于希腊语，本意是指测量术，明末中国学者徐光启译之为“几何”，我们一直沿用至今。

早期文明中的几何学内容基本都是与几何形体的度量计算以及测量有关。埃及数学文献“莫斯科纸草书”与“兰德纸草书”中计有110个数学问题，其中有26个属于几何问题，重要是计算土地面积、谷物体积等公式。由此可见，埃及人当时已掌握了圆周长、面积的近似公式，还知道三角形、圆柱体的求积公式。这些知识也在其它古老文明中出现，巴比伦人在公元前2000年—前1600年，已熟悉计算长方形、直角三角形、等腰三角形的面积，以及一些形体的体积，还掌握了勾股定理的特殊情况。中国秦汉以前的几何学内容，没有留下文字性材料，详细情况不得而知，但从西汉成书的《九章算术》，以及农业社会的社会形态上看，这些几何知识也相当发达。

二、欧几里得与《几何原本》

提起数学里的平面几何与立体几何一般人都知道，但若问这些理论是由谁首先系统建立起来的，恐怕就有许多人不知道了。这个人就是生活在2000多年以前的古希腊数学家欧几里得。欧几里得在他留传了几千年的光辉著作《几何原本》中，用公理化方法将古希腊丰富的几何学知识整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。

（一）欧几里得生平简介

欧几里得约公元前330年生于希腊的亚历山大城，曾受教于柏拉图学派。他曾在著名城市亚历山大进行学习和科学活动，并在那里建立了欧几里得学派。欧几里得并不是一位杰出的数学家，他只是对几何有一定的研究，并不是欧几里得发明了几何学。当时泰勒斯、尤多苏斯等人都是有名的数学家，他们对数学有深刻的研究，而欧几里得只不过善于把一些数学家对几何问题的证明用比较简洁的语言表达出来，他还善于改写别人的研究成果，重视总结前人的经验。欧几里得一生主要是整理自古以来人类所积累的全部数学知识，并集其大成，编写成一部完整的数学书——《几何原本》。这本书几乎被译成全世界各种文字。欧几里得大约于公元前275年去世。

欧几里得的性格正直，表里如一，不搞阴谋诡计，专心研究科学，对于有权势的人物从不阿谀奉承。传说，欧几里得时代有一位名叫托勒密的国王，在他学习几何时曾请教过欧几里得，问他除了他的《原本》之外，有没有其他学习几何的捷径．欧几里得并没有把这位国王看在眼里，他严肃地回答道：“几何无王者之道”，意思是在几何学里，没有专为国王铺设的大路。“在国家里有老百姓走的小路，也有为国王铺设的大道，但在几何里，道路只有一条！”

欧几里得治学严谨，对学生要求十分严格，奖惩分明。当时有个学生在学了第一个定理之后便问：“学完此定理之后，我将得到什么？”，欧几里得听完之后叫过一个仆人道：“给他三个便士（当时流通的货币），因为他学了一点东西便要求有所得”。从这件事我们清楚地看到，欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点。

（二）欧几里得对数学发展的贡献

欧几里得虽然算不上杰出的数学家，但确实是一位有才华的组织者。他把当时希腊人研究几何的许多证明用更简明、逻辑的语言加以阐述，并把许多有用的知识收集到他的《几何原本》一书，该书把许多世代的几何发明和创造经过加工熔为一炉，是一本具有独特风格的名著。《几何原本》写得生动而又有条理，对前人的许多研究成果作了认真的分析，并给了出色的证明，富于权威性。甚至今天中学里学习的几何课本仍是从《几何原本》改写而成的，它为人类的精神文明起了很好的作用，为数学的发展奠定了基础。

欧几里得是一位很讲究证明方法的学者。有些数学证明题比较复杂，一时难于解决，但如果精心选择证法，往往可以使难化简，作到事半功倍，甚至有些长期解决不了的难题也能一针见血地得到证明。

欧几里得天才的、完美的创造物是《几何原本》。古希腊继承了埃及和巴比伦在实验几何学上的知识，运用逻辑推理的方法把几何学的研究推到高度系统化、理论化的境界，而欧几里得正是这样一位大师。《几何原本》是整个人类文明发展史上的里程碑，是全人类文明遗产中妙用无穷的瑰宝。

欧几里得除了名著《几何原本》以外，主要著作还有以下一些：《二次曲线》，该书在数学史上有重要作用，其中的一些观点和证明方法为后人进一步发展数学起很大的作用。《辨伪术》，它主要是训练学生解题能力的参考书。另外，《图形分割》、《数据》、《曲面——轨迹》、《衍论》等都是一些有价值的数学著作。欧几里得在研究数学的同时，对物理和天文也有一定研究，并有不少的著作，如《光学》、《镜面反射》、《现象》等。

三、《几何原本》与演绎数学

欧几里得《原本》是一部划时代的著作．其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的最早典范．过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作木石、砖瓦．只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成巍峨的大厦．《原本》完成了这一艰巨的任务，对整个数学的发展产生了深远的影响．

　　《原本》的出现不是偶然的，在它之前，已有许多希腊学者做了大量的前驱工作．从泰勒斯算起，已有300多年的历史．泰勒斯是希腊第一个哲学学派——伊奥尼亚学派的创建者．他力图摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，对一切科学问题不仅回答“怎么样”？还要回答“为什么这样”？他对数学的最大贡献是开始了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了可贵的第一步．

接着是毕达哥拉斯学派，用数来解释一切，将数学从具体的事物中抽象出来，建立自己的理论体系．他们发现了勾股定理、不可通约量，并知道五种正多面体的存在，这些后来都成为《原本》的重要内容．这个学派的另一特点是将算术和几何紧密联系起来，为《原本》算术的几何化提供了线索．

柏拉图学派的思想对欧几里得无疑也产生过深刻的影响．柏拉图非常重视数学，特别强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值．他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．

到公元前4世纪，希腊几何学已经积累了大量的知识，逻辑理论也日臻成熟，由来已久的公理化思想更是大势所趋．这时，形成一个严整的几何结构已是“山雨欲来风满楼”了。

建筑师没有创造木石砖瓦，但利用现有的材料来建成大厦也是一项不平凡的创造．公理的选择，定义的给出，内容的编排，方法的运用以及命题的严格证明都需要有高度的智慧并要付出巨大的劳动．从事这宏伟工程的并不是个别的学者，在欧几里得之前已有好几个数学家做过这种综合整理工作．但经得起历史风霜考验的，只有欧几里得《原本》一种．在漫长的岁月里，它历尽沧桑而能流传千古，表明它有顽强的生命力．它的公理化思想和方法，将继续照耀着数学前进的道路．

《几何原本》（The Elements）由希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330年～公元前275年）所著。《几何原本》采用了前所未有的独特编写方式，先提出公理、公设、定义，然后由简到繁证明一系列定理。内容丰富，结构严谨，文字洗练，概念清晰，判断准确，推理周密，论证有力。对这本书英国的数学家罗素在《西方哲学史》中是这样评价的：欧几里得的《（几何）原本》毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪念碑之一。

《几何原本》从五个公设和五个公理入手，用逻辑推理的方法，演绎出内容极为丰富的几何知识。它叙述并证明了几千年来人类有关点、线、圆和一些简单的立体几何知识，全书共13卷。第1卷，给出了欧几里得几何学的基本概念、定义、公理、公设等；第2卷，面积和变换；第3卷，圆及其有关图形；第4卷，多边形及圆与正多边形的作图；第5、6卷，比例与相似形；第7卷，数论；第8卷，连比例；第9卷，数论；第10卷，不可通约量的理论；第11卷，立体几何；第12卷，利用“穷竭法”证明圆面积的比等于半径平方的比；球体积的比等于半径立方的比，等等；第13卷，正多面体。

《几何原本》一书从很少的几个定义、公设、公理出发，推导出大量结果，最重要的是它给出的公理体系标志着演绎数学的成熟，主导了其后数学发展的主要方向，使公理化成为现代数学的根本特征之一。2000多年来,它一直支配着几何的教学。现代世界各国中学几何课本，基本上还是仿照法国数学家拉格朗日对《几何原本》的改写本改编而成的。《几何原本》是数学史上的一个伟大的里程碑，问世以来，受到广泛的重视与传播，除《圣经》之外，没有任何一本著作，其使用、研究与印行之广泛能与《几何原本》相比。因此，有人称《几何原本》为数学的《圣经》。它的伟大意义在于，它第一次全面系统地总结了古希腊的数学知识，而且是用公理法建立起来的数学演绎体系的最早的典范。它不仅影响到数学，还有哲学等在内的许多论著也采取此法。

四、《几何原本》在中国

　　

《几何原本》传入中国，首先应归功于明末科学家徐光启。徐光启(1562～1633)，字子先，上海吴淞人。他在加强国防、发展农业、兴修水利、修改历法等方面都有相当的贡献，对引进西方数学和历法更是不遗余力。他认识意大利传教士利玛窦之后，决定一起翻译西方科学著作。利玛窦主张先译天文历法书籍，以求得天子的赏识。但徐光启坚持按逻辑顺序，先译《几何原本》。他们于1606年完成前6卷的翻译，1607年在北京印刷发行。

徐光启和利玛窦《几何原本》中译本的一个伟大贡献在于确定了研究图形的这一学科中文名称为“几何”，并确定了几何学中一些基本术语的译名。“几何”的原文是“geometria”，徐光启和利玛窦在翻译时，取“geo”的音为“几何”，而“几何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。用“几何”译“geometria”，音义兼顾，确是神来之笔。几何学中最基本的一些术语，如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名，都是这个译本定下来的。这些译名一直流传到今天，且东渡日本等国，影响深远。

徐光启要求全部译完《几何原本》，但利玛窦却认为应当适可而止。由于利玛窦的坚持，《几何原本》的后7卷的翻译推迟了200多年，才由清代数学家李善兰和英国人伟烈亚力合作完成。李善兰(1811～1882)，字壬叔，号秋纫，浙江海宁人，自幼喜欢数学。1852年到上海后，李善兰与伟烈亚力相约，继续完成徐光启、利玛窦未完成的事业，合作翻译《几何原本》后7卷，并于1856年完成此项工作。至此，欧几里得的这一伟大著作第一次完整地引入中国，对中国近代数学的发展起到了重要的作用。

徐光启在评论《几何原本》时说过：“此书为益能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。”其大意是：读《几何原本》的好处在于能去掉浮夸之气，练就精思的习惯，会按一定的法则，培养巧妙的思考。所以全世界人人都要学习几何。

徐光启和《几何原本》

徐光启（1562—1633）字子先，号玄扈，吴淞（今属上海）人。他从万历末年起，经过天启、崇祯各朝，曾作到文渊阁大学士的官职（相当于宰相）。他精通天文历法，是明末改历的主要主持人。他对农学也颇有研究，曾根据前人所著各种农书，附以自己的见解，编写了著名的《农政全书》。他没有入京做官之前，曾在上海、广东、广西等地教书。在此期间，他曾博览群书，在广东还接触到一些传教士，对他们传入的西方文化开始有所接触。公元1600年，他在南京和利玛窦相识，以后两人又长期同住在北京，经常来往。他和利玛窦两人共同译《几何原本》一书，1607年译完前六卷。当时徐光启很想全部译完，利玛窦却不愿这样做。直到晚清时代，《几何原本》后九卷的翻译工作才由李善兰（公元1811—1882年）完成。

《几何原本》是我国最早第一部自拉丁文译来的数学著作。在翻译时绝无对照的词表可循，许多译名都从无到有，当时创造的。毫无疑问，这是需要精细研究煞费苦心的。这个译本中的许多译名都十分恰当，不但在我国一直沿用至今，并且还影响了日本、朝鲜各国。如点、线、直线、曲线、平行线、角、直角、锐角、钝角、三角形、四边形……这许多名词都是由这个译本首先定下来的。其中只有极少的几个经后人改定，如“等边三角形”，徐光启当时记作“平边三角形”；“比”，当时译为“比例”；而“比例”则译为“有理的比例”等等。

《几何原本》有严整的逻辑体系，其叙述方式和中国传统的《九章算术》完全不同。徐光启对《几何原本》区别于中国传统数学的这种特点，有着比较清楚的认识。他还充分认识到几何学的重要意义，他说“窃百年之后，必人人习之”。

清康熙帝时，编辑数学百科全书《数理精蕴》（公元1723年），其中收有《几何原本》一书，但这是根据公元十八世纪法国几何学教科书翻译的，和欧几里得的《几何原本》差别很大。

到清朝末年废科举、兴学堂之后，几何学方成为学校中必修科目之一。到这时才出现了徐光启所预料的“必人人而习之”的情况。

讨论与思考：

1、《几何原本》的主要内容有哪些？