貪婪政策是一種常見的算法思想，具體是指，在對問題求解時，總是做出在目前看來是最好的選擇。也就是說，不從整體最優上加以考慮，他所做出的是在某種意義上的局部最優解。貪心算法不是對所有問題都能得到整體最優解，關鍵是貪心政策的選擇，選擇的貪心政策必須具備無後效性，即某個狀态以前的過程不會影響以後的狀态，隻與目前狀态有關，這點和動态規劃一樣。
LeetCode 上對于貪婪政策有 73 道題目。我們将其分成幾個類型來講解，截止目前我們暫時隻提供
覆寫
問題，其他的可以期待我的新書或者之後的題解文章。
覆寫
我們挑選三道來講解，這三道題除了使用貪婪法，你也可以嘗試動态規劃來解決。
- 45. 跳躍遊戲 II，困難
- 1024. 視訊拼接，中等
- 1326. 灌溉花園的最少水龍頭數目，困難
覆寫問題的一大特征，我們可以将其抽象為
給定數軸上的一個大區間 I 和 n 個小區間 i[0], i[1], ..., i[n - 1]，問最少選擇多少個小區間，使得這些小區間的并集可以覆寫整個大區間。
我們來看下這三道題吧。
45. 跳躍遊戲 II
題目描述
給定一個非負整數數組，你最初位于數組的第一個位置。
數組中的每個元素代表你在該位置可以跳躍的最大長度。
你的目标是使用最少的跳躍次數到達數組的最後一個位置。
示例:
輸入: [2,3,1,1,4]輸出: 2解釋: 跳到最後一個位置的最小跳躍數是 2。 從下标為 0 跳到下标為 1 的位置，跳 1 步，然後跳 3 步到達數組的最後一個位置。說明:
假設你總是可以到達數組的最後一個位置。
思路
貪婪政策，即我們每次在可跳範圍内選擇可以使得跳的更遠的位置，由于題目保證了
你總是可以到達數組的最後一個位置
,是以這種算法是完備的。
如下圖，開始的位置是 2，可跳的範圍是橙色的。然後因為 3 可以跳的更遠，是以跳到 3 的位置。
如下圖，然後現在的位置就是 3 了，能跳的範圍是橙色的，然後因為 4 可以跳的更遠，是以下次跳到 4 的位置。
寫代碼的話，我們用 end 表示目前能跳的邊界，對于上邊第一個圖的橙色 1，第二個圖中就是橙色的 4，周遊數組的時候，到了邊界，我們就重新更新新的邊界。
圖來自 https://leetcode-cn.com/u/windliang/
代碼
代碼支援：Python3
Python3 Code:
class Solution:
def jump(self, nums: List[int]) -> int:
n, cnt, furthest, end = len(nums), 0, 0, 0
for i in range(n - 1):
furthest = max(furthest, nums[i] + i)
if i == end:
cnt += 1
end = furthest
return cnt
複雜度分析
- 時間複雜度：$O(N)$。
- 空間複雜度：$O(1)$。
1024. 視訊拼接
題目描述
你将會獲得一系列視訊片段，這些片段來自于一項持續時長為 T 秒的體育賽事。這些片段可能有所重疊，也可能長度不一。
視訊片段 clips[i] 都用區間進行表示：開始于 clips[i][0] 并于 clips[i][1] 結束。我們甚至可以對這些片段自由地再剪輯，例如片段 [0, 7] 可以剪切成 [0, 1] + [1, 3] + [3, 7] 三部分。
我們需要将這些片段進行再剪輯，并将剪輯後的内容拼接成覆寫整個運動過程的片段（[0, T]）。傳回所需片段的最小數目，如果無法完成該任務，則傳回 -1 。
示例 1：
輸入：clips = [[0,2],[4,6],[8,10],[1,9],[1,5],[5,9]], T = 10輸出：3解釋：我們選中 [0,2], [8,10], [1,9] 這三個片段。然後，按下面的方案重制比賽片段：将 [1,9] 再剪輯為 [1,2] + [2,8] + [8,9] 。現在我們手上有 [0,2] + [2,8] + [8,10]，而這些涵蓋了整場比賽 [0, 10]。示例 2：
輸入：clips = [[0,1],[1,2]], T = 5輸出：-1解釋：我們無法隻用 [0,1] 和 [0,2] 覆寫 [0,5] 的整個過程。示例 3：
輸入：clips = [[0,1],[6,8],[0,2],[5,6],[0,4],[0,3],[6,7],[1,3],[4,7],[1,4],[2,5],[2,6],[3,4],[4,5],[5,7],[6,9]], T = 9輸出：3解釋：我們選取片段 [0,4], [4,7] 和 [6,9] 。示例 4：
輸入：clips = [[0,4],[2,8]], T = 5輸出：2解釋：注意，你可能錄制超過比賽結束時間的視訊。
提示：
1 <= clips.length <= 1000 <= clips[i][0], clips[i][1] <= 1000 <= T <= 100
思路
貪婪政策，我們選擇滿足條件的最大值。和上面的不同，這次我們需要手動進行一次排序，實際上貪婪政策經常伴随着排序，我們按照 clip[0]從小到大進行排序。
如圖：
- 1 不可以，是以存在斷層
- 2 可以
- 3 不行，因為不到 T
我們目前的 clip 開始結束時間分别為 s，e。 上一段 clip 的結束時間是 t1，上上一段 clip 結束時間是 t2。
那麼這種情況下 t1 實際上是不需要的，因為 t2 完全可以覆寫它：
那什麼樣 t1 才是需要的呢？如圖：
用代碼來說的話就是
s > t2 and t2 <= t1
代碼
代碼支援：Python3
Python3 Code:
class Solution:
def videoStitching(self, clips: List[List[int]], T: int) -> int:
# t1 表示選取的上一個clip的結束時間
# t2 表示選取的上上一個clip的結束時間
t2, t1, cnt = -1, 0, 0
clips.sort(key=lambda a: a[0])
for s, e in clips:
# s > t1 已經确定不可以了， t1 >= T 已經可以了
if s > t1 or t1 >= T:
break
if s > t2 and t2 <= t1:
cnt += 1
t2 = t1
t1 = max(t1,e)
return cnt if t1 >= T else - 1
複雜度分析
- 時間複雜度：由于使用了排序（假設是基于比較的排序），是以時間複雜度為 $O(NlogN)$。
- 空間複雜度：$O(1)$。
1326. 灌溉花園的最少水龍頭數目
題目描述
在 x 軸上有一個一維的花園。花園長度為 n，從點 0 開始，到點 n 結束。
花園裡總共有 n + 1 個水龍頭，分别位于 [0, 1, ..., n] 。
給你一個整數 n 和一個長度為 n + 1 的整數數組 ranges ，其中 ranges[i] （下标從 0 開始）表示：如果打開點 i 處的水龍頭，可以灌溉的區域為 [i - ranges[i], i + ranges[i]] 。
請你傳回可以灌溉整個花園的 最少水龍頭數目 。如果花園始終存在無法灌溉到的地方，請你傳回 -1 。
示例 1：
輸入：n = 5, ranges = [3,4,1,1,0,0]輸出：1解釋：點 0 處的水龍頭可以灌溉區間 [-3,3]點 1 處的水龍頭可以灌溉區間 [-3,5]點 2 處的水龍頭可以灌溉區間 [1,3]點 3 處的水龍頭可以灌溉區間 [2,4]點 4 處的水龍頭可以灌溉區間 [4,4]點 5 處的水龍頭可以灌溉區間 [5,5]隻需要打開點 1 處的水龍頭即可灌溉整個花園 [0,5] 。示例 2：
輸入：n = 3, ranges = [0,0,0,0]輸出：-1解釋：即使打開所有水龍頭，你也無法灌溉整個花園。示例 3：
輸入：n = 7, ranges = [1,2,1,0,2,1,0,1]輸出：3示例 4：
輸入：n = 8, ranges = [4,0,0,0,0,0,0,0,4]輸出：2示例 5：
輸入：n = 8, ranges = [4,0,0,0,4,0,0,0,4]輸出：1
提示：
1 <= n <= 10^4ranges.length == n + 10 <= ranges[i] <= 100
思路
貪心政策，我們盡量找到能夠覆寫最遠（右邊）位置的水龍頭，并記錄它最右覆寫的土地。
- 我們使用 furthest[i] 來記錄經過每一個水龍頭 i 能夠覆寫的最右側土地。
- 一共有 n+1 個水龍頭，我們周遊 n + 1 次。
- 對于每次我們計算水龍頭的左右邊界，[i - ranges[i], i + ranges[i]]
- 我們更新左右邊界範圍内的水龍頭的 furthest
- 最後從土地 0 開始，一直到土地 n ，記錄水龍頭數目
代碼
代碼支援：Python3
Python3 Code:
class Solution:
def minTaps(self, n: int, ranges: List[int]) -> int:
furthest, cnt, cur = [0] * n, 0, 0
for i in range(n + 1):
l = max(0, i - ranges[i])
r = min(n, i + ranges[i])
for j in range(l, r):
furthest[j] = max(furthest[j], r)
while cur < n:
if furthest[cur] == 0: return -1
cur = furthest[cur]
cnt += 1
return cnt
複雜度分析
- 時間複雜度：時間複雜度取決 l 和 r，也就是說取決于 ranges 數組的值，假設 ranges 的平均大小為 Size 的話，那麼時間複雜度為 $O(N * Size)$。
- 空間複雜度：我們使用了 furthest 數組， 是以空間複雜度為 $O(N)$。
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