斐波那契數列
斐波那契數列從 1、1、2、3、5、8、13、21、34 開始，其特征是兩個連續數字的和給出序列中的下一個數字。
我清楚地記得我的叔叔，他也是一位數學家，當我還是個孩子的時候，他把這個序列的開頭寫在紙上，問我下一個數字。
我不認為我能夠正确回答，但是當他向我解釋序列時，我對此非常着迷，從那以後我享受了數學知識分享、謎題和與我叔叔在世時和我父親的讨論他是一名生物學家，但也非常擅長數學。
斐波那契數列由列奧納多·達·比薩 (Leonardo da Pisa) 又名斐波那契 ( Fibonacci ) 于 1200 年左右引入歐洲，盡管該數列早在數百年前就為許多文化所熟知。
斐波那契啟動了印度-阿拉伯數字系統向歐洲的傳播，這一裡程碑是歐洲重回數學冒險軌道的第一步。
盡管在文藝複興初期，阿拉伯數字在意大利成為非法數字，但常識盛行，不久之後歐洲的數學知識大爆發。
斐波那契數列在自然界中無處不在。但這是為什麼呢？
讓我們仔細看看向日葵。向日葵的種子呈螺旋狀排列。這是一種政策，可確定植物在生長過程中能夠密集地包裹種子。
植物面臨的問題是在種植下一粒種子時要轉動多少。如果它做錯了，那麼最終會出現大的空隙和浪費的空間，是以問題就變成了“什麼是完美的旋轉角度，這樣種子才會盡可能密集？”。
如果向日葵選擇一個整數，那麼它會沿着一條直線種植種子，這絕對不是最優的。如果它選擇像 1/4 這樣的簡單分數，那麼它會以十字形排列種子，進而浪費“象限”中的大量空間。在這種情況下，角度将變為 90∘。
我們稍後将在本文中研究這些角度。
我們現在将轉向尋找第 n 個斐波那契數的公式的問題。完成後，我将繼續講述向日葵的故事，并揭示他們找到了哪個旋轉參數以及原因。
生成函數和比奈公式
我現在将向您展示一個神奇的工具，它在組合數學和一般離散數學中有着無數的應用。
我不會向您抛出一堆理論，而是會以更實際的方式介紹這個概念。
我們将一起研究斐波那契數列，努力尋找第n 個斐波那契數的公式。
我們将證明序列的增長是指數增長的，并且随着數字變大，指數增長的基數趨向于黃金比例。
回想一下，斐波那契數列從 1、1、2、3、5、8……開始，給定的數字是前兩個數字的總和。
證明這些美麗事實的第一步是寫下定義斐波那契數列的關系。
我将通過以下方式定義斐波那契數列
讓我們定義以下（正式的）幂級數。
其中系列的系數是斐波那契數列。
在本文中，我們不關心收斂。我們隻是将級數視為無限多項式。這當然需要一些理由，但我向你保證，這些論點是有效的，你可以在許多其他遞歸關系上使用這種技術。
我們對第 n 個斐波那契數的公式（有時稱為 Binet 公式）的證明圍繞着對該函數的操作展開。
我們要做的第一件事是再次寫出遞歸關系，然後從那裡開始，将它變成一個函數方程。
我們已經找到了具有斐波那契數系數的幂級數f的封閉形式表達式。這個函數被稱為斐波那契數列的生成函數。
事實上，如果我們在 0 附近對這個函數進行泰勒展開，我們就可以得到幂級數。
我們本可以這樣做，但是，我想向您展示這種從遞推關系中尋找生成函數的巧妙技術。
部分分數分解
下一步使用一種非常好的通用技術，在對多項式的某些令人不快的分數進行積分時經常使用。
在這種情況下，我們可以使用此工具将f拆分為兩項之和，結果證明這更容易處理。
首先，讓我們将分母中的多項式（在本例中為抛物線）分解為其對應的線性項。
1 - z - z² = -(z + ϕ)(z + ψ)
在哪裡
上面的數字ϕ約為1.618，被稱為黃金比例。
我們可以把f寫成
對于一些數字A和B。
通過乘以左側的分母，我們得到
現在我們可以将f寫成下面的形式：
我們現在要使用 ϕψ = -1 的事實将每一項轉換成它們對應的幾何級數。
我們得到
我們已經利用了幾何級數具有封閉形式這一事實。
回想一開始用斐波那契數列定義的f ，讓我們比較一下這兩個表達式。
通過比較系數，我們得到
乍一看，這個表達式總是給我們一個整數，這似乎很瘋狂。如果您沒有更好的事情可做，那麼您可以通過手工計算前幾個數字并觀察平方根完美抵消來娛樂自己。
自然與黃金比例
讓我們回到向日葵的故事。
花卉和動物已經有數億年的時間通過進化找到最佳政策，許多物種已經發現了相當了不起的數學真理。
蜜蜂發現二維包裝最好用六邊形完成，一些蟬發現在地下呆上質數年将使它們比其他具有相同循環性質的動物更有優勢，許多有殼的動物有一個内置的-在按照有趣的重複模式建構大小合适的隔間的算法中。
同樣，向日葵也想出了解決黃金角問題的最佳方案，即把它的種子密密麻麻地打包起來。
那麼這個角度是多少，它與斐波那契數有什麼關系呢？要回答這個問題，我們必須談談數字。
你看，實數集包含兩組截然不同的數字。
有理數由實數組成，可以寫成整數的分數，例如 3/2 和 1。然後是無理數，由實數組成，不能寫成兩個整數的分數，例如 π 或歐拉數e。
對于這些數字的十進制表示，這意味着有理數在小數點後有重複模式，而無理數則沒有！
還有另一種寫數字的方式，從某種意義上說，這種方式更具描述性，承載的資訊也更多。
這種數字表示形式稱為連分數。
稍後我會告訴您這與向日葵有何關聯，但讓我們先
一起探讨一下這個美麗的話題。
以下是連分數的示例。
可以很容易地展開這個嵌套分數得到 87/32 = 2.71875。請注意，這非常接近數字e = 2.718281828459……它有無限多位小數，小數展開時沒有明顯的模式。
事實上，如果繼續分數，我們實際上可以将e寫為這些嵌套分數的極限：
三個點的意思是“永遠這樣繼續下去”。
這個（簡單的）連分數有時表示為 [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6,..]。
你看到一個模式嗎？
盡管小數展開式沒有重複模式，但這個連分數實際上有。
1, 1, 2n 的模式繼續這樣直到無窮大，并且對于每一步，我們都更接近e。
此外，從非常嚴格的意義上講，如果我們考慮分母的大小，通過在 87/32 等不同步驟停止而得到的這些分數給出了可能數字的“最佳”近似值。
這些停止點當然是分數，是以稱為收斂點，是以e的前幾個收斂點是 2、3、8/3 等。
這些收斂在大于和小于我們近似的數字之間交替，當然它們會收斂到給定的數字，在本例中為e。
所有有理數都具有有限連分數表示，所有無理數都具有無限連分數表示。
相比之下請注意，有理數可以有無限多位小數。以1/3為例。
在許多方面，連分數表示比它們的小數表親更好。
在繼續之前，讓我們看一下 π 的前幾個收斂點。他們是：
- 3個
- 22/7
- 333/106
- 355/113
你認識這些分數嗎？
這些分數實際上都是曆史上非常著名的 π 近似值。相應的連分數開始[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, ...] 也可以這樣顯示：
請注意大小從 1 到 292 的巨大跳躍。這對收斂函數意味着什麼？
這意味着您可以通過在大數 292 之前停止來獲得 π 的非常好的近似值。也就是說，與分母 113 的大小相比，分數 355/113 非常接近 π。
這聽起來可能很無趣，但實際上它非常重要，它在我們的故事中扮演着重要的角色。
連分數表示為我們提供了一種方法來衡量無理數可以被有理數逼近的程度。
π 可以用分母相對較小的有理數很好地近似，事實證明，e更難近似，平方根 2 更難近似！
這就留下了一個問題。
最難逼近的無理數是多少？
或者像有些人說的“最無理數？”。在回答這個問題之前，讓我們回到我們的故事。
向日葵已經知道，如果他們選擇一個非常接近有理數且分數表示非常簡單的角度，那麼他們會浪費很多空間。
事實上，他們可以選擇的最好的數字是無理數，因為這樣就不會出現重複模式，這樣他們就不會浪費任何空間。
不幸的是，對于向日葵（和許多其他花朵）來說，無法真正選擇無理數，因為世界本質上是一個有限的地方（無論如何在這些細胞水準上）。
是以，向日葵的目标是選擇一個很難用分母和分子相對較小的分數近似的數字。
但這正是上面的問題。
是以，選擇的最佳角度也接近于上面的最無理數。
但是現在我們可以使用連分數的工具。
由于連分數表示中的數字是自然數，而數字最小的連分數最難近似，是以很明顯我們要找的數字到處都是 1。
是以最無理數和向日葵正在尋找的數是連分數的數
請注意，這是一個類似分形的模式，并且第一個和最外層分數的分母中的數字與x相同。
那是：
x = 1 + 1/x
并且顯然 x > 0。
我們如何解這個方程？
由于 x > 0，我們可以在等式兩邊乘以 x 得到 x² = x + 1。這相當于 x² - x - 1 = 0。
求解該方程可得到兩個解x = ϕ和x = ψ。由于 ψ < 0，我們最終得到答案：
x = φ。
是以，最難用有理數近似的無理數是黃金比例 ϕ ≈ 1.618。
向日葵通過數百萬年的自然選擇（試錯的奇特生物學術語）找到了這個數字。
是以實際上，向日葵選擇這些特定的小數來獲得 360∘ 的最佳分數來密集包裝它的種子。對應的角度稱為黃金角。
其他花朵使用相同的角度來生長花瓣，這樣它們就不會交叉并互相竊取陽光，進而産生具有斐波那契數的花瓣的花朵。在下圖中，這朵花有 8 個花瓣。
但是斐波那契數與這個黃金角有什麼關系呢？讓我們重新審視黃金比例的連分數：
的第一個收斂是：
- 1個
- 2個
- 3/2
- 5/3
- 8/5
- 13/8
與分母的大小相比，這些分數是黃金比例的最佳近似值，并且這種模式仍在繼續。
事實上，我們有
從 Binet 的公式中也可以看出這一點。
是以，近似黃金比例的最佳方法是除以連續的斐波那契數。
這就是為什麼您在向日葵的頭部看到一個方向的斐波那契數螺旋和另一個方向的連續斐波那契數螺旋的原因。
這隻是大自然如何在人類開始這一智力之旅之前數百萬年發現數學真理的衆多例子之一。一段繼續讓我們驚歎的旅程。