斐波那契数列
斐波那契数列从 1、1、2、3、5、8、13、21、34 开始，其特征是两个连续数字的和给出序列中的下一个数字。
我清楚地记得我的叔叔，他也是一位数学家，当我还是个孩子的时候，他把这个序列的开头写在纸上，问我下一个数字。
我不认为我能够正确回答，但是当他向我解释序列时，我对此非常着迷，从那以后我享受了数学知识分享、谜题和与我叔叔在世时和我父亲的讨论他是一名生物学家，但也非常擅长数学。
斐波那契数列由列奥纳多·达·比萨 (Leonardo da Pisa) 又名斐波那契 ( Fibonacci ) 于 1200 年左右引入欧洲，尽管该数列早在数百年前就为许多文化所熟知。
斐波那契启动了印度-阿拉伯数字系统向欧洲的传播，这一里程碑是欧洲重回数学冒险轨道的第一步。
尽管在文艺复兴初期，阿拉伯数字在意大利成为非法数字，但常识盛行，不久之后欧洲的数学知识大爆发。
斐波那契数列在自然界中无处不在。但这是为什么呢？
让我们仔细看看向日葵。向日葵的种子呈螺旋状排列。这是一种策略，可确保植物在生长过程中能够密集地包裹种子。
植物面临的问题是在种植下一粒种子时要转动多少。如果它做错了，那么最终会出现大的空隙和浪费的空间，所以问题就变成了“什么是完美的旋转角度，这样种子才会尽可能密集？”。
如果向日葵选择一个整数，那么它会沿着一条直线种植种子，这绝对不是最优的。如果它选择像 1/4 这样的简单分数，那么它会以十字形排列种子，从而浪费“象限”中的大量空间。在这种情况下，角度将变为 90∘。
我们稍后将在本文中研究这些角度。
我们现在将转向寻找第 n 个斐波那契数的公式的问题。完成后，我将继续讲述向日葵的故事，并揭示他们找到了哪个旋转参数以及原因。
生成函数和比奈公式
我现在将向您展示一个神奇的工具，它在组合数学和一般离散数学中有着无数的应用。
我不会向您抛出一堆理论，而是会以更实际的方式介绍这个概念。
我们将一起研究斐波那契数列，努力寻找第n 个斐波那契数的公式。
我们将证明序列的增长是指数增长的，并且随着数字变大，指数增长的基数趋向于黄金比例。
回想一下，斐波那契数列从 1、1、2、3、5、8……开始，给定的数字是前两个数字的总和。
证明这些美丽事实的第一步是写下定义斐波那契数列的关系。
我将通过以下方式定义斐波那契数列
让我们定义以下（正式的）幂级数。
其中系列的系数是斐波那契数列。
在本文中，我们不关心收敛。我们只是将级数视为无限多项式。这当然需要一些理由，但我向你保证，这些论点是有效的，你可以在许多其他递归关系上使用这种技术。
我们对第 n 个斐波那契数的公式（有时称为 Binet 公式）的证明围绕着对该函数的操作展开。
我们要做的第一件事是再次写出递归关系，然后从那里开始，将它变成一个函数方程。
我们已经找到了具有斐波那契数系数的幂级数f的封闭形式表达式。这个函数被称为斐波那契数列的生成函数。
事实上，如果我们在 0 附近对这个函数进行泰勒展开，我们就可以得到幂级数。
我们本可以这样做，但是，我想向您展示这种从递推关系中寻找生成函数的巧妙技术。
部分分数分解
下一步使用一种非常好的通用技术，在对多项式的某些令人不快的分数进行积分时经常使用。
在这种情况下，我们可以使用此工具将f拆分为两项之和，结果证明这更容易处理。
首先，让我们将分母中的多项式（在本例中为抛物线）分解为其对应的线性项。
1 - z - z² = -(z + ϕ)(z + ψ)
在哪里
上面的数字ϕ约为1.618，被称为黄金比例。
我们可以把f写成
对于一些数字A和B。
通过乘以左侧的分母，我们得到
现在我们可以将f写成下面的形式：
我们现在要使用 ϕψ = -1 的事实将每一项转换成它们对应的几何级数。
我们得到
我们已经利用了几何级数具有封闭形式这一事实。
回想一开始用斐波那契数列定义的f ，让我们比较一下这两个表达式。
通过比较系数，我们得到
乍一看，这个表达式总是给我们一个整数，这似乎很疯狂。如果您没有更好的事情可做，那么您可以通过手工计算前几个数字并观察平方根完美抵消来娱乐自己。
自然与黄金比例
让我们回到向日葵的故事。
花卉和动物已经有数亿年的时间通过进化找到最佳策略，许多物种已经发现了相当了不起的数学真理。
蜜蜂发现二维包装最好用六边形完成，一些蝉发现在地下呆上质数年将使它们比其他具有相同循环性质的动物更有优势，许多有壳的动物有一个内置的-在按照有趣的重复模式构建大小合适的隔间的算法中。
同样，向日葵也想出了解决黄金角问题的最佳方案，即把它的种子密密麻麻地打包起来。
那么这个角度是多少，它与斐波那契数有什么关系呢？要回答这个问题，我们必须谈谈数字。
你看，实数集包含两组截然不同的数字。
有理数由实数组成，可以写成整数的分数，例如 3/2 和 1。然后是无理数，由实数组成，不能写成两个整数的分数，例如 π 或欧拉数e。
对于这些数字的十进制表示，这意味着有理数在小数点后有重复模式，而无理数则没有！
还有另一种写数字的方式，从某种意义上说，这种方式更具描述性，承载的信息也更多。
这种数字表示形式称为连分数。
稍后我会告诉您这与向日葵有何关联，但让我们先
一起探讨一下这个美丽的话题。
以下是连分数的示例。
可以很容易地展开这个嵌套分数得到 87/32 = 2.71875。请注意，这非常接近数字e = 2.718281828459……它有无限多位小数，小数展开时没有明显的模式。
事实上，如果继续分数，我们实际上可以将e写为这些嵌套分数的极限：
三个点的意思是“永远这样继续下去”。
这个（简单的）连分数有时表示为 [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6,..]。
你看到一个模式吗？
尽管小数展开式没有重复模式，但这个连分数实际上有。
1, 1, 2n 的模式继续这样直到无穷大，并且对于每一步，我们都更接近e。
此外，从非常严格的意义上讲，如果我们考虑分母的大小，通过在 87/32 等不同步骤停止而得到的这些分数给出了可能数字的“最佳”近似值。
这些停止点当然是分数，因此称为收敛点，因此e的前几个收敛点是 2、3、8/3 等。
这些收敛在大于和小于我们近似的数字之间交替，当然它们会收敛到给定的数字，在本例中为e。
所有有理数都具有有限连分数表示，所有无理数都具有无限连分数表示。
相比之下请注意，有理数可以有无限多位小数。以1/3为例。
在许多方面，连分数表示比它们的小数表亲更好。
在继续之前，让我们看一下 π 的前几个收敛点。他们是：
- 3个
- 22/7
- 333/106
- 355/113
你认识这些分数吗？
这些分数实际上都是历史上非常著名的 π 近似值。相应的连分数开始[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, ...] 也可以这样显示：
请注意大小从 1 到 292 的巨大跳跃。这对收敛函数意味着什么？
这意味着您可以通过在大数 292 之前停止来获得 π 的非常好的近似值。也就是说，与分母 113 的大小相比，分数 355/113 非常接近 π。
这听起来可能很无趣，但实际上它非常重要，它在我们的故事中扮演着重要的角色。
连分数表示为我们提供了一种方法来衡量无理数可以被有理数逼近的程度。
π 可以用分母相对较小的有理数很好地近似，事实证明，e更难近似，平方根 2 更难近似！
这就留下了一个问题。
最难逼近的无理数是多少？
或者像有些人说的“最无理数？”。在回答这个问题之前，让我们回到我们的故事。
向日葵已经知道，如果他们选择一个非常接近有理数且分数表示非常简单的角度，那么他们会浪费很多空间。
事实上，他们可以选择的最好的数字是无理数，因为这样就不会出现重复模式，这样他们就不会浪费任何空间。
不幸的是，对于向日葵（和许多其他花朵）来说，无法真正选择无理数，因为世界本质上是一个有限的地方（无论如何在这些细胞水平上）。
因此，向日葵的目标是选择一个很难用分母和分子相对较小的分数近似的数字。
但这正是上面的问题。
因此，选择的最佳角度也接近于上面的最无理数。
但是现在我们可以使用连分数的工具。
由于连分数表示中的数字是自然数，而数字最小的连分数最难近似，所以很明显我们要找的数字到处都是 1。
因此最无理数和向日葵正在寻找的数是连分数的数
请注意，这是一个类似分形的模式，并且第一个和最外层分数的分母中的数字与x相同。
那是：
x = 1 + 1/x
并且显然 x > 0。
我们如何解这个方程？
由于 x > 0，我们可以在等式两边乘以 x 得到 x² = x + 1。这相当于 x² - x - 1 = 0。
求解该方程可得到两个解x = ϕ和x = ψ。由于 ψ < 0，我们最终得到答案：
x = φ。
因此，最难用有理数近似的无理数是黄金比例 ϕ ≈ 1.618。
向日葵通过数百万年的自然选择（试错的奇特生物学术语）找到了这个数字。
所以实际上，向日葵选择这些特定的小数来获得 360∘ 的最佳分数来密集包装它的种子。对应的角度称为黄金角。
其他花朵使用相同的角度来生长花瓣，这样它们就不会交叉并相互窃取阳光，从而产生具有斐波那契数的花瓣的花朵。在下图中，这朵花有 8 个花瓣。
但是斐波那契数与这个黄金角有什么关系呢？让我们重新审视黄金比例的连分数：
的第一个收敛是：
- 1个
- 2个
- 3/2
- 5/3
- 8/5
- 13/8
与分母的大小相比，这些分数是黄金比例的最佳近似值，并且这种模式仍在继续。
事实上，我们有
从 Binet 的公式中也可以看出这一点。
因此，近似黄金比例的最佳方法是除以连续的斐波那契数。
这就是为什么您在向日葵的头部看到一个方向的斐波那契数螺旋和另一个方向的连续斐波那契数螺旋的原因。
这只是大自然如何在人类开始这一智力之旅之前数百万年发现数学真理的众多例子之一。一段继续让我们惊叹的旅程。