在美好的夏天，每個人都喜歡站在水邊看浪花拍岸。但有多少人曾對水在運動過程中表現出的極端複雜性感到好奇？它的運動看起來既平滑又有規律，但當它拍碎在沙灘上後，就分裂成數以百計的水流和氣泡，變得完全不可預測。正是納維-斯托克斯方程組（N-S方程組，Navier-Stokes equations）掌控着這種不可思議的複雜性。
大多數人都很熟悉牛頓第二定律：作用在物體上的力等于物體的品質和加速度的乘積。
牛頓第二定律
這個公式适用于世界上所有的宏觀物體。但是如果你想知道液體的狀态，你還要知道一些其它的東西——納維-斯托克斯方程組。
在全世界範圍内，工程師和實體學家把它們應用于從飛機設計到血液循環的衆多領域。這些方程非常難解，這就是為什麼它們是七個千禧年大獎難題（解決其中一個問題的獎金是100萬美元）之一。
納維-斯托克斯方程組
與任何進階公式一樣，它看起來可能會令人心生畏懼，但它們所表示的概念并不複雜。我們将逐一探讨它們的含義，以了解它們為何如此重要。
介紹
開始之前我們要先做一些假設。
首先，我們研究的是牛頓流體，這是解釋流體粘度的最簡單的數學模型。現實中不存在真正的牛頓流體，但在大多數情況下，空氣和水可以被視為牛頓流體。另一個非常重要的假設是，流體是不可壓縮的。這意味着它的密度 ρ 是一個常數。
品質守恒
品質守恒公式
這個等式告訴我們，我們研究的流體的品質是守恒的。它可以改變自己的形狀，但是從頭至尾它的品質不變。
速度矢量的散度
現在讓我們談談數學。字母表示流體的速度矢量，它有三個分量，我們可以把它們分别稱為u，v，w，表示速度在x，y，z三個方向上的分量。希臘字母nabla 加上一個點乘符号代表散度算符，表示在各個方向上對矢量的分量做微分操作。
第一個導數表示速度的x分量如何随着空間x的變化而變化，另外兩個導數代表着相同的含義。因為這個公式等于0，是以品質是守恒的。
動量守恒
動量守恒公式
第二個方程實際上是三個微分方程組成的方程組，可以被看作流體的牛頓第二定律。如果我們将表達式展開，就可以得到一個複雜的方程組：
擴充後的動量守恒公式
為了了解起來簡單，我們将忽略這個擴充形式，集中讨論動量守恒。
當我們研究流體時，我們可以把品質和密度看作是相同的東西（隻要它們的體積相同）。如果我們考慮兩種流體，我們可以說密度較大的流體是“較重”的流體（例如汞和水中汞比較重）。其中用希臘字母ρ（rho）代表流體的密度。
現在我們有了品質，如果想利用牛頓第二定律，我們還需要獲得加速度，也就是速度矢量的時間導數。
加速度是速度的時間導數
現在，我們隻剩下等号右邊的項是不知道的，它們代表了施加在流體上的所有力。
第一項 p是壓強的梯度，它代表流體所在空間的壓力差。如果有一個壓力較低的區域和另一個壓力較高的區域，流體将從高壓區流向低壓區。p的梯度正是表征了這樣的關系。
第二項描述的是流體的粘度。考慮兩種不同的流體，例如水和蜂蜜。當你倒出一杯水，水很容易地飛出杯子落向地面。當你用蜂蜜做同樣的事，由于蜂蜜是粘稠的，會下落得非常慢。這就是這一項所表達的意思。
最後一項是最簡單的一項，它代表的是作用在流體上的所有外力。通常，我們認為這種力是重力。
綜上所述，所有這些奇特得符号和字母表達的關系僅僅是“力 = 品質×加速度”。
納維-斯托克斯方程組的應用
由于解這些方程極端複雜，為了使用它們我們需要做出很多近似。其中兩個例子是泊肅葉流動和庫愛特流動（Poiseuille and Couette flow）。通過大量假設，這兩位科學家能夠為一個非常具體的應用找到納維-斯托克斯方程的解。然而，如果我們想把它們用于更複雜的情形，比如天氣預報，我們需要些補充。
使用這些方程最常用的方法是用雷諾平均數對它們進行變換，利用這種方法得到的是雷諾方程組。它們通常被稱為RANS（Reynolds averaged Navier-Stokes）方程。
RANS方程組（角标m代表平均量）
當流體處于湍流（turbulent flow）狀态時可以使用這些方程。除了最後一項，它們看起來幾乎和納維-斯托克斯方程一模一樣。最後一項被稱為雷諾應力張量，正是這個量能夠解釋流體中的湍流。
在RANS方程中，我們使用的量是對某個時間間隔做平均之後的量。這個時間間隔必須足夠小，以便觀測我們正在研究的現象。同時，它必須足夠大，以使湍流效應的影響較小。
在正确的假設下，這些方程是有效的。我們知道如何利用它們使F1賽車更快、使航天器進入國際空間站、或是進行天氣預報。
你可能還想知道對這些方程的證明怎麼能值100萬美金？
百萬美金大獎
從實體學的觀點看，這些公式隻是應用于流體的牛頓第二定律。當我們做出一些合理的假設和一些合理的簡化以後，我們可有利用這些方程做一些令人驚奇的事情。
問題是，不引入近似的話這個方程組是非常複雜的。想要解出它們實在是太難了，以至于到現在還不能證明解析解是存在的。這就是千禧年大獎的由來。
關于這個問題的官方表述是：
證明以下命題或給出它的反例：在三維空間加一維時間中，給定一個初始的速度場，可以找到一個光滑且全局有定義的矢量速度場和一個标量壓力場作為納維-斯托克斯方程的解。
這意味着如果你想擷取一百萬美元的獎金，你必須做三件事：
對于工程師來說隻需要知道，即使基礎隻是一定程度的假設，這些方程仍然是有效的；然而對于數學家來說，知道這些解是否存在以及它們的意義是非常重要的。
你現在可能會想，這個公式有用就可以了，花費時間和精力尋找證明完全是浪費時間。嗯，就像人類曆史上的許多技術進步一樣，這個結果似乎并不重要。重要的是通往那裡的道路，它可以為我們的生活帶來新的知識和改善。
比如說航天計劃，如果人類從來沒有想過要去月球上走一走，我們會失去很多可以改善我們生活狀況的裝置。核磁共振成像儀和心髒起搏器就來自為太空探索而開發的技術。今天，世界各地的醫生每天都在使用它們來拯救生命。
同樣的道理也适用于對納維-斯托克斯方程的研究。探索納維-斯托克斯方程解的過程将有助于提高我們對流體或其他事物的了解。它可以引導我們獲得新的發現，可能還需要探索新的數學方法。這可以用來解決其他許多問題，發明新技術來改善我們的生活，讓我們變得更好。
作者：Alessandro Bazzi
翻譯：Nothing
審校：zhenni
原文連結：
The Navier-Stokes Equations. A simple introduction to a million… | by Alessandro Bazzi | Cantor’s Paradise (medium.com)
翻譯内容僅代表作者觀點
不代表中科院實體所立場
編輯：zhenni