幾個世紀以來，數學家們一直想知道歐拉流體方程在某些情況下是否會崩潰或被“爆破”。一種新的機器學習方法讓研究人員确信，這種“爆破”即将到來。
作者｜ Jordana Cepelewicz
編譯｜錢磊、Ailleurs
編輯｜陳彩娴
250多年來，數學家們一直試圖“爆破”一些實體學中最重要的方程式，比如描述流體流動的歐拉方程。如果他們成功，他們會發現，在某種情況下方程會被爆破——比如可能會出現一個無限快地旋轉的漩渦，或者出現一個突然停止又突然流動的電流，或者是出現一個以無限快的速度掠過的電子。超過這個爆發點——也就是“奇點”——方程将不再有解。這些方程甚至将無法描述這個世界的理想情況，數學家們有理由懷疑這些流體行為的模型到底是否可靠。
奇點正如其所要描述的流體一樣滑溜而不可捉摸。為了找到答案，數學家們通常會把控制流體流動的方程式輸入計算機，然後進行數字模拟。他們從一組初始條件開始，然後觀察，直到某個量的值——比如速度，或者渦度——開始瘋狂地增長，似乎在朝着爆炸的方向發展。
但是計算機無法确定地發現奇點，原因很簡單，因為計算機無法處理無限值。如果奇點存在，計算機模型可能會接近方程被爆破的那個點，但永遠無法直接得到奇點。事實上，當用更強大的計算方法探測時，明顯的奇點卻已經消失了。
但這種對奇點的近似仍然很重要。有了近似，數學家們就可以使用一種叫做計算機輔助證明的技術來證明附近确實存在一個奇點。此前已經有過簡化的一維版本的研究。
今年早些時候，一個由數學家和地球科學家組成的團隊發現了一種全新的近似奇點的方法——他們利用了深度學習方法，能夠直接觀察奇點。這個團隊還用這種方法來尋找傳統方法無法找到的奇點，希望能證明這些方程并不像看起來那樣絕對可靠。
論文位址：https://arxiv.org/pdf/2201.06780v2.pdf
在該研究中，Yongji Wang 等人開發了一個新的數值架構，利用基于實體資訊的神經網絡（physics-informed neural network，PINN）尋找Boussinesq方程的光滑自相似解。該解對應于存在圓柱邊界的三維歐拉方程的漸近自相似曲線。特别地，該解是對三維歐拉方程 Luo-Hou 爆破場景的精确描述。該解是流體力學方程的第一個真正的多元光滑向後自相似曲線。該數值架構具有魯棒性，且易于适用于其它方程。
該文研究了在數學流體力學領域中具有重要意義的二維Boussinesq方程和三維帶邊界的歐拉方程的有限時間爆破問題。Yongji Wang 等人使用了一種新穎的數值方法，利用實體資訊神經網絡構造了Boussinesq方程的光滑向後自相似解。這個解本身可能成為未來計算機輔助證明二維Boussinesq和三維帶邊界的歐拉方程爆破的基礎。
這項研究引發了一場爆破流體方程的競賽：一邊是深度學習團隊， 另一邊是多年來一直使用着更成熟的技術的數學家們。不管誰可能會赢得這場比賽——如果有人真的能夠到達終點線的話——結果都表明，神經網絡可以幫助人們為許多不同的問題尋找新的解決方案。
1
消失的爆破解
萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在1757年提出了歐拉方程，該方程描述了理想的、不可壓縮的流體的運動——這種流體沒有粘性，也沒有内摩擦，而且不能壓縮到更小的體積。(自然界中發現的許多流體一樣是具有粘性的，它們的模型是納維爾-斯托克斯方程；爆破納維爾-斯托克斯方程将獲得克雷數學研究所 100萬美元的千禧年獎。) 給定流體中每個粒子在某一起始點的速度，歐拉方程應該能夠預測流體在任何時候的流動狀況。
但是數學家們想知道，在某些情況下——即使一開始看起來沒什麼問題——這些方程最終是否會遇到麻煩。(我們有理由懷疑這可能是事實：他們模拟的理想流體與真正的隻有最輕微粘性的流體沒有任何相似之處。歐拉方程中奇點的形成可以解釋這種散度。）
2013年，兩位數學家提出了這樣一個設想。由于一個完整的三維流體流動的動力學可以變得難以置信的複雜，加州理工學院的數學家Thomas Hou和香港恒生大學的Guo Luo認為流動服從某種對稱性。
在他們的模拟中，流體在一個圓柱形杯内旋轉。杯子上半部分的液體順時針旋轉，而下半部分的液體逆時針旋轉。相反的水流形成了其他複雜的上下循環的水流。很快，在邊界上兩股相反的水流相遇處，流體的渦度爆發了。
圖源Merrill Sherman/Quanta Magazine
雖然這個證明提供了奇點存在的有力證據，但沒有證據的話，不可能确定它就是奇點。在Hou和Luo的證明之前，許多模拟都提出了潛在的奇點，可是後來在一台更強大的計算機上進行測試時，大多數奇點都消失了。明尼蘇達大學的數學家Vladimir Sverak說：“你認為存在一個奇點，然後你把它放到分辨率更好的更大的電腦上，不知怎麼的，原本你以為存在的奇點卻不見了。”
這是因為這些解決方案可能很容易受到看似微不足道的小錯誤的影響，這些錯誤會随着模拟中的每一個時間步而累積。普林斯頓大學的數學家Charlie Fefferman說：“在計算機上模拟歐拉方程是一種微妙的藝術，因為歐拉方程對解的小數點後38位小之又小的誤差非常敏感。”
盡管如此，Hou和Luo對奇點的近似解迄今為止經受住了所有的考驗，并且鼓勵了許多人進行相關的研究。Sverak說：“這是奇點形成的最佳方案，很多人，包括我自己，都相信這一次得到的是一個真正的奇點。”
為了充分證明歐拉方程已被爆破，數學家需要證明，給定近似奇點的情況下附近存在一個真實的奇點。他們可以用精确的數學術語重新描述這個說法，如于近似的一個足夠近的區域記憶體在一個實解，如果某些性質可以被驗證的話，就能證明這個說法是正确的。而驗證這些特性又需要計算機：這一次需要執行一系列的計算(包括近似解)，并小心地控制過程中可能累積的誤差。
Hou 與其研究所學生Jiajie Chen幾年來一直在研究計算機輔助證明。他們從2013年開始對近似解進行了改進，并且現在在使用這個近似作為他們新證明的基礎。他們還表明，這種一般政策也适用于比歐拉方程更容易解的問題。
現在，另一群人也加入了狩獵行動。他們用一種完全不同的方法找到了近似，這個方法與Hou和Luo的結果非常相似。他們現在在編寫他們自己的計算機輔助證明。但是為了獲得近似值，他們首先需要轉向一種新的深度學習形式。
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PINN：始于冰川研究
關于歐拉方程爆破的新研究始于這樣一個令人意想不到的領域——地球實體學家對南極洲冰蓋的動力學研究。他們的研究要求使用一種深度學習方法，這種方法後來在更多的理論背景中都被證明是有用的。
數學家Tristan Buckmaster目前是普林斯頓高等研究院的通路學者，他發現這種新方法純屬一次偶然。去年，他所在系的大學生Charlie Cowen Breen請他簽署一個項目，該學生在普林斯頓地球實體學家Ching-Yao Lai的指導下一直在對南極冰蓋做動力學研究。他們試圖通過衛星圖像和其他觀測來推測冰的粘度，并預測其未來的流動。通過運用一種以前從未見過的深度學習方法——“基于實體資訊的神經網絡”（PINN），他們實作了這一點。
傳統的神經網絡需要對大量資料進行訓練才能進行預測，PINN則與此不同，它還必須滿足一組潛在的實體限制條件，包括運動定律、能量守恒、熱力學等等，以及科學家為了解決特定問題而需要引入的其他任何實體限制。
圖源NASA地球觀測站
将實體因素引入神經網絡有這樣幾個目的。一方面，這樣的神經網絡能夠在幾乎沒有可用資料的情況下回答問題。另一方面，PINN能夠推斷出原始方程中的未知參數。Lai的實驗室博士後研究員、新論文的合著者之一Yongji Wang 指出，在許多實體問題中，“我們大概知道方程應該是什麼樣子，但我們不知道‘某些’項的系數應該是什麼”。Lai和Cowen Breen試圖要确定的參數就會出現這種情況。
布朗大學的應用數學家George Karniadakis曾于2017年開發了第一個PINNs，他提出并命名了“隐藏流體力學” （hidden fluid mechanics）。
學生Cowen-Breen的請求引起了Buckmaster的思考。Hou、Luo 和 Chen等人對圓柱界面歐拉方程組經典求解方法經曆了漫長的艱難推進。但由于對時間的依賴性，他們隻能非常接近而無法到達奇點：當他們越來越接近可能看起來像無窮大的東西時，計算機的計算将變得越來越不可靠，以至于他們無法真正看到爆破本身的點。
但歐拉方程可以用另一組方程來表示，通過一種巧妙的技術，可以把時間的影響排除在外。Hou 和 Luo（2013）的研究結果令人矚目，不僅因為他們确定了一個非常精确的近似解，而且他們發現的解決方案似乎還有一種特殊的“自相似”（self-similar）結構。這意味着，無論時間向前推移多久，模型的解決方案都遵循一定的模式：其後來的形狀看起來與原始形狀非常相似，隻是更大一些。
這個特征意味着數學家可以專注于奇點出現之前的某個時間。如果他們以一個正确的速度放大那張快照——這就好像他們在一個顯微鏡下不斷進行調整放大去觀察它一樣——他們就可以模拟之後會發生什麼，直到到達奇點本身。同時，如果他們以這種方式重新進行縮放，那麼在這個新系統中實際上就不會出現嚴重錯誤，可以避免處理無限值的問題。Fefferman 說，“它隻是接近一個良好的極限”，這個極限代表依賴時間的方程版本中爆破的發生。
Sverak 表示：“對這些（被重新縮放的）函數進行模組化更容易，是以，如果你能用一個自相似函數來描述一個奇點，這會是一個很大的優勢。”
圖注：從左到右分别是：數學家Tristan Buckmaster和Javier Gómez Serrano，地球實體學家Cheng Yao Lai和Yongji Wang。他們合作使用基于實體的神經網絡來研究歐拉方程的爆破。
問題是，要使其發揮作用，數學家不僅僅是要求解出通常參數（如速度和渦度）的方程（使用自相似坐标來書寫這些方程），方程本身還有一個未知的參數：控制放大率的變量。這個值必須恰到好處，以確定方程的解與初始問題中的爆破解相一緻。
數學家必須同時向前和向後地求解這些方程——這是一項用傳統方法很難實作的任務，如果不是不可能的話。找到這些解決方案，正是設計PINNs的目的。
3
爆破解的尋求之路
回顧當初，Buckmaster說，開發PINN“似乎是顯而易見要做的”。
Buckmaster、Lai、Wang 以及Javier Gómez-Serrano（他是布朗大學和巴塞羅那大學的數學家）四人合作，建立了一套實體限制來幫助指導PINN，這套實體限制包括與對稱性和其他性質有關的條件，以及他們想要求解的方程。他們使用了一組使用自相似坐标來重寫的二維方程，這些方程在接近圓柱邊界的點上等價于三維歐拉方程。
然後，他們訓練神經網絡來尋找滿足這些限制條件的解——以及自相似參數。“這種方法非常靈活，隻要施加正确的限制，你總能找到一個解。”Lai說道。事實上，團隊還通過在其他問題上測試該方法展示了這種靈活性。
該團隊提供的答案看起來很像Hou 和 Luo （2013）提出的解決方案。但是數學家們希望他們給出的近似能更詳細地描述正在發生的事情，因為這是第一次直接計算出這個問題的自相似解。Sverak 表示 ：“新的研究結果更精确地說明了奇點是如何形成的”，即某些值會如何達到爆破點，以及方程将如何崩潰。
Buckmaster指出：“在沒有神經網絡的情況下，你很難證明你是真的在捕捉奇點的本質。很明顯，這項研究所用的方法是比傳統方法要容易得多。”
Gómez-Serrano對此表示同意，他說：“這在未來将成為人們手邊的一種标準工具”。
PINNs再一次揭示了Karniadakis所說的“隐藏流體力學”，隻是這一次，他們用PINNs在更具理論性的問題上取得了進展。Karniadakis說：“我還沒見過有人用PINNs來做這件事。”
這并不是數學家感到興奮的唯一原因。PINNs可能也可以用來找到另一種奇點，這種奇點用傳統的數值方法是幾乎發現不了的。這些“不穩定”奇點可能是某些流體動力學模型中唯一存在的奇點，包括沒有圓柱邊界的歐拉方程（這一的方程求解起來已經複雜很多）和納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）。“不穩定的奇點确實存在。是以為什麼不找到它們呢？”普林斯頓的數學家Peter Constantin曾這樣說道。
但即使對于用經典方法可以處理的穩定奇點，PINN為有圓柱邊界的歐拉方程提供的解決方案“是定量且精确的，并且還可以變得更為嚴密。現在有了一個通往證明的路線圖。這将需要做很多工作，需要很多的技能。我想這還需要一些創意。但我不認為這需要什麼天賦。我認為這是可行的。”Fefferman這樣表示。
Buckmaster的團隊現在正在與Hou和Chen展開一項競賽，看誰能搶先到達終點線。Hou和Chen在 這條賽道上是領先一步的：據Hou說，他們在過去幾年裡在改進近似解和完成證明方面取得了實質性進展，他懷疑Buckmaster和他的同僚必須改進近似解，才能得到他們自己的證明。而他認為，現有近似解的誤差餘地已經很小了。
盡管如此，許多專家希望，250年來人們對歐拉方程爆破解的探索将接近尾聲。Sverak 說：“從概念上講，我認為……所有重要的部分都已到位，隻是細節還很難确定。”
參考連結：
https://www.quantamagazine.org/deep-learning-poised-to-blow-up-famed-fluid-equations-20220412/
https://arxiv.org/pdf/2201.06780v2.pdf
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