鄭玄的數學世界——鄭氏以數學注經的方式、背景與曆史貢獻
作者：朱一文
來源：《哲學與文化》第四十八卷第十一期
内容摘要：作為兩漢經學的集大成者，鄭玄遍注群經、統一融合古今文說，又精通曆算，善《九章算術》。然而，以往學術界對其數學未有專門之研究。從鄭玄三禮注看，他引鄭衆說注“九數”，暗示《九章算術》來源于《周禮》，并多次提到“粟米法”、使用“勾股術”。他又往往給出算法的大概或者其結果、而不給出計算細節，并以之來消除各經典或版本之間的差異，其注緯書也用到數學，進而為後世學者創造了發展數學的文本語境。王莽之際，劉歆提出數學是音律、度量衡、曆法基礎的思想；光和二年，大司農斛、權銘文确立了這一思想與《九章算術》的權威地位。東漢末年經學章句繁多，與鄭衆、許慎、馬融等人相比，鄭玄更擅長使用數學、曆算，是以鄭氏引《九章算術》注經具有了政治與學術的雙重合法性。然而，在其經學研究的基礎上，後世儒家發展出與以《九章算術》為代表的傳統算學相對獨立的經算傳統，卻偏離了鄭玄以數學注經之初衷。
關鍵詞：鄭玄、《九章算術》、經學、經算、劉歆、三禮
作者簡介：朱一文，廣州中山大學哲學系暨邏輯與認知研究所副教授，主要研究方向為數學史與數學哲學、象棋史與遊戲文化。
壹、前言
作為兩漢經學的集大成者，鄭玄（127-200）遍注群經、融合古今文說。《後漢書·鄭玄傳》雲鄭氏通“《三統曆》《九章算術》”，又雲“玄善算”，[1]由此可知鄭玄在天文、數學[2]方面有一定的造詣。然而，與其經學研究相比，學術界對其科學知識與思想研究不多。[3]不過，鄭玄與中國古代數學的關系一直備受關注。近代數學史家錢寶琮（1892-1974）認為“《九章算術》和許慎《說文解字》相仿，是東漢初年儒學的一部分，與儒家的傳統思想有密切關系”，又說“《九章算術》的編集與東漢初年經古文學派的儒士有密切的關系”，并提到了鄭衆（？-83）、馬續（馬融之兄）、馬融（79-166）三位經學家。[4]郭書春認為鄭玄“與劉洪、徐嶽等實際上形成了一個數學中心”，并說“劉徽是通過鄭玄注本研讀《周禮》的，鄭玄注本成為他注《九章》時‘采其所見’的直接資料之一。”[5]劉洪（約129-190）作《乾象曆》、徐嶽（生于東漢末）着《數書記遺》、劉徽景元四年（263）注《九章算術》，他們都是當時著名的天文曆算家。學術界的這些看法肯定了東漢經學與《九章算術》編撰之間的關系，肯定了鄭玄對劉徽作注的影響，留下了進一步研究的空間。
筆者近年來着力研究儒家經典注疏中的數學文獻，發現南北朝隋唐儒家在經學研究中發展出了相對獨立的、與《九章算術》不同的算法傳統（清人稱之為“經算”），[6]并且這一算法傳統一直延續到清末。[7]具體而言，《九章算術》的“術”依靠算籌實施，有“構造性”、“機械化”和“寓理于算”等特色，而且其應用是廣泛的；相較之下，經學研究中的算法傳統基本不用算籌，而僅憑借書寫進行計算和推理，并且隻發生在鄭玄等前人關于數學的注解之處。[8]在此研究理路之下，我們會問鄭玄自己的數學是否也是儒家傳統？筆者認為答案是否定的。但是，鄭氏為何采取這種注經方式，而這一方式又何以能對後世數學的發展産生如此大的影響？為了回答這些問題，我們必須進一步分析鄭玄與中國古代數學或《九章算術》的關系，推進中國數學史與經學史，這即是本文的目的。
貳、鄭玄引《九章算術》以注經
在遍注群經的過程中，鄭玄用到許多思想資源。以往學界比較關注鄭玄在其中所用到的谶緯思想。[9]其實，鄭玄也大量用到數學。筆者認為大緻而言，鄭氏對數學的用法有三個層次：首先，他論述了數學與周禮之關系；其次，他的數學注提供了後世發展數學的文本語境；最後，他的目的都是以數學為工具來消除或彌合各經典之間的差異。下面依次論述之。
鄭玄的禮學研究對後世影響極大，以至于有“禮是鄭學”的說法。在這中間，鄭氏注《周禮》“九數”對古人認識數學的發展有很大的影響。《周禮·地官·保氏》雲：“養國子以道，乃教之六藝。一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五馭，五曰六書，六曰九數。”鄭玄引鄭衆說：“九數，方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、赢不足、旁要。今有重差、夕桀、句股也。”[10]這即是把“九數”解釋成關于數學的九個名目。今本《九章算術》的九章卷名依次為：方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、句股。衰分即差分、盈不足即赢不足，是以鄭玄引鄭衆說與《九章算術》高度接近（僅盈不足和方程的順序、旁要和句股不同）。學界一般認為這就說明了《周禮》九數與《九章算術》的傳承關系。實際上，由于鄭玄通《九章算術》，他引鄭衆的說法，就是建構了由《周禮》“九數”到鄭衆“九數”的遞進發展關系。藉由這一關系，鄭玄把數學引入了《周禮》，并暗示《九章算術》由其衍生而來。劉徽注《九章算術》序雲：“按周公制禮而有九數，九數之流，則《九章》是矣。”[11]無疑，沿用并肯定鄭玄的看法。
鄭玄注經多次直接提到“粟米法”或“粟米之法”。鄭氏注《周禮·考工記》“ 氏為量”雲“于今粟米法，少二升八十一分升之二十二。”[12]鄭氏又注《禮記·喪大記》雲：“二十兩曰溢，于粟米之法，為米一升二十四分升之一。”[13]這兩處的計算，前者是關于體積與容積之間的換算，後者是重量與容積的換算。今本《九章算術》卷二粟米是各種谷物之間的換算，卷五商功“委粟術”中則有體積與容積之轉換。是以，鄭玄引“粟米法”注《周禮》《禮記》也是将數學引入經學研究。在鄭注的基礎上，北周甄鸾撰、唐初李淳風（602-670）等注釋《五經算術》、唐初孔穎達（574-648）等編撰《禮記正義》、賈公彥（活躍于650-655）作《周禮注疏》都對此續有探讨。[14]
鄭玄注經往往僅給出算法的大概，而沒有計算的細節。例如《周禮·考工記》雲：“參分弓長，以其一為之尊”。鄭注：“尊，高也。六尺之弓，上近部平者二尺，爪末下于部二尺。二尺為句，四尺為弦，求其股。股十二。除之，面三尺幾半也。”[15]《九章算術》卷九勾股曰：“今有弦五尺，句三尺，問為股幾何。荅曰：四尺。句股術曰：……又，句自乘，以減股自乘，其餘，開方除之，即股。”[16]可見，鄭玄的算法與《九章算術》勾股術一緻，而且同樣沒有給出開方運算的細節。賈公彥在此基礎上給出了不同于《九章算術》籌算開方術的幾何開方算法，甄鸾撰、李淳風等注釋之《五經算術》則解之于籌算開方術。[17]又《禮記·投壺》雲：“壺頸修七寸，腹修五寸，口徑二寸半，容鬥五升……。”鄭注：“修，長也。腹容鬥五升，三分益一，則為二鬥，得圜囷之象，積三百二十四寸也。以腹修五寸約之，所得。求其圜周，圜周二尺七寸有奇。是為腹頸九寸有餘也……。”[18]此處鄭玄給出計算投壺直徑的算法，但同樣未述細節。甄鸾撰、李淳風等注釋《五經算術》、孔穎達等《禮記正義》續有讨論。[19]
鄭玄有時給出計算的結果，而不給出過程。《儀禮·喪服》雲：“苴绖大隔，左本在下，去五分一以為帶……。”由此給出斬衰、齊衰、大功、小功和缌麻等五服绖帶粗細按照1/5遞減的關系。鄭注《儀禮》：“盈手曰擱，擱， 也。中人之 ，圍九寸。以五分一以為殺者，象五服之數也……。”[20]又注《禮記》：“（齊衰）绖之大俱七寸五分寸之一，（齊衰）帶五寸二十五分寸之十九。（大功）绖之大俱五寸二十五分寸之十九，（大功）帶四寸百二十五分寸之七十六。”[21]由此，鄭玄給出了斬衰、齊衰、大功、小功绖帶的四個數值，但未給算法。[22]又鄭注《儀禮·喪服》“飲粥，朝一溢米，夕一溢米”雲：“二十兩曰溢，為米一升二十四分升之一。”[23]注《禮記·喪大記》同段文字則指出“粟米之法”，但這兩處都沒有給出細節。
鄭玄引《九章算術》以注經之目的是以數學來消除各經典或版本之間的差異，進而統一經義。《周禮·考工記》雲：“量之以為鬴。深尺，内方尺而圜其外。其實一鬴。”鄭注：“以其容為之名也。四升曰豆，四豆曰區，四區曰鬴，鬴六鬥四升也。鬴十則鐘。方尺，積千寸。于今粟米法，少二升八十一分升之二十二。其數必容鬴。此言大方耳。圜其外者，為之唇。”[29]賈公彥指出“四升曰豆，四豆曰區，四區曰鬴，鬴六鬥四升也。鬴十則鐘”引自《春秋左氏傳》。是以，鄭玄發現《左氏傳》與《周禮》對 氏量的記載有差異，并試圖以《九章算術》粟米法的計算來調和兩者。《周禮·考工記》又雲：“軓前十尺，而策半之。”鄭注：“謂辀軓以前之長也。策，禦者之策也。十，或作七。令七為弦，四尺七寸為鈎，以求其股。股則短也，七非也。”[30]是以，鄭玄發現《考工記》另一版本中是“軓前七尺”，并通過勾股術的計算說明“十”是正确的，“七”是錯誤的。《後漢書·鄭玄傳》載鄭玄晚年寫給其子的書信雲：“念述先聖之元意，思整百家之不齊，亦庶幾以竭吾才，故聞命罔徒。”[31]由是可知，統一各家經義，恢複聖人的原意，是鄭玄的抱負，而數學是實作其抱負的有利工具。
從經學史的角度看，漢末經學章句繁多，令讀書人無所适用。鄭玄博覽群經，兼習衆說，融合古今文說，完成經學的統一。[32]馬融就曾次以數學注經。鄭玄早年曾在其門下，三年不得見。“會融集諸生考論圖緯，聞玄善算，乃召見于樓上。玄因從質諸疑義，問畢辭歸。”[33]相比馬融，鄭玄更加重視數學的作用，并大量使用《九章算術》及其“粟米法”、“句股術”等算法注經，完成經學的統一。
參、鄭玄以數學注經的曆史語境
清人皮錫瑞（1850-1908）《經學曆史》雲：“鄭君博學多師，今古文道通為一，見當時兩家相攻擊，意欲參合其學，自成一家之言，雖以古學為宗，亦兼采今學以附益其義。學者苦其時家法繁雜，見鄭君博通廣大，無所不包，衆論翕然歸之，不複舍此趨彼。于是鄭《易注》行，而施、孟、梁丘、京之《易》不行矣；鄭《書注》行，而歐陽、大小夏侯之《書》不行矣；鄭《詩箋》行，而魯、齊、韓之《詩》不行矣；鄭《禮注》行，而大小戴之《禮》不行矣；鄭《論語注》行，而齊、魯《論語》不行矣。”[34]因之，我們要問：其他學者信服鄭注是否與其把數學或《九章算術》作為注經工具之一有關呢?
事實上，這确與東漢晚期《九章算術》的法定權威地位有關。光和大司農銅斛銘文曰：“大司農以戊寅诏書，秋分之日，同度量，均衡石，捔鬥桶，正權概，特更為諸州作銅鬥、斛、稱、尺。依黃鐘律曆、《九章算術》，以均長短、輕重、大小，用齊七政，令海内都同。光和二年閏三月廿三日，大司農曹祾，丞淳于宮，右倉曹掾朱音，史韓鴻造。”[35]另外兩個光和二年的銅斛和一個同年的銅權也有類似的銘文。[36]“光和”為漢靈帝年号，二年為179年，正是鄭玄注經之時。這些銘文說明其時《九章算術》已經被官方奉為經典，并與黃鐘律曆同為校正度量衡的重要工具。在此背景之下，鄭玄用《九章算術》來考訂或融合不同經典中的長度、體積、容積、重量等資料就有了官方背書的合法性和權威性。
大司農斛、權銘文把數學放在重要位置的想法，實際來自于劉歆（前50-公元23）。班固（32-92）《漢書·律曆志》引劉歆給王莽的奏疏雲：“一曰備數，二曰和聲，三曰審度，四曰嘉量，五曰權衡。參五以變，錯綜其數，稽之于古今，効之于氣物，和之于心耳，考之于經傳，鹹得其實，扉不協同。”[37]即劉氏之“律”包括“備數”、“和聲”、“審度”、“嘉量”、“權衡”五部分内容，“備數”居首，可以“稽之于古今”、“考之于經傳”。《漢志》“備數”開篇雲：“數者，一、十、百、千、萬也。是以算數事物，順性命之理也。《書》曰：‘先其算命。’”[38]即劉歆認為“數”是人類用來規範宇宙萬物（包括人）的一種普遍存在，并以此為基礎将五聲、度量衡、三統三正和曆數關聯起來，宇宙由此變成一個以“數”作聯系和規範的系統。[39]“備數”續雲：“本起黃鐘之數，始于一而三之，三三積之，曆十二辰之數，十有七萬七千一百四十七，而五數備矣。其算法用竹，徑一分，長六寸，二百七十一枚而成六觚，為一握。”[40]即指出“數”起源于黃鐘，而其計算的方法是依靠算籌，271根算籌形成正六邊形。[41]“備數”又雲：“夫推曆生律制器，規圜矩方，權重衡平，準繩嘉量，探赜索隐，鈎深緻遠，莫不用焉。度長短不失毫厘，量多少不失圭攝，權輕重不失黍絫。”[42]即強調“數”作用範圍之廣，音律、度量衡、曆法皆可用之。并雲：“紀于一，協于十，長于百，大于千，衍于萬，其法在《算術》。”[43]以劉歆《七略》為基礎的《漢書·藝文志》曆譜類記有《許商算術》《杜忠算術》。[44]許商為著名科學家，漢成帝時為大司農。[45]由此可知，當時已有以《算術》為名之書籍。是以，“備數”是說關于記數的方法刊載于《算術》。[46]“備數”又雲：“宣于天下，國小是則。職在太史，羲和掌之。”[47]劉氏上奏之時即為羲和，這是強調該官位的權力。《漢書·律曆志》“嘉量”篇中，劉歆提出“用度數審其容”的原則，給出了王莽銅斛的形制與資料，并指出“職在太倉，大司農掌之。”[48]學術界一般認為他使用了3.1547的圓周率數值來計算。[49]總之，劉歆的論述建構了“數”在考訂音律、度量衡、曆法等方面的基礎作用，并指出關于數的計算方法載于《算術》。光和大司農斛、權銘文确立了這一思想與《九章算術》的權威地位。鄭玄以數學或《九章算術》注經來調和各經之間的差别（如《周禮》 氏量的容積、體積問題），也是劉歆思想與做法的延續。
值得注意的是，《漢書·律曆志》提出算籌“長六寸”。東漢經學家許慎（約58-147）《說文解字》則雲：“筭，長六寸。計曆數者。從竹弄，言常弄乃不誤也。”[50]顯然繼承了《漢志》的說法。《漢志》雲：“其算法用竹”與“其法在《算術》”，說明“算法”是具體的計算方法，“算術”是具有普遍性的“術”，兩者是特殊與一般的關系。鄭玄延續了這一認識。許慎撰《五經異義》，鄭玄駁之，撰《駁五經異議》，也用到數學。例如許氏雲：“異義：《公羊》說：殷三千諸侯，周千八百諸侯。古《春秋左氏傳》說：禹會諸侯于塗山，執玉帛者萬國。唐虞之地萬裡，容百裡地萬國，其侯伯七十裡，子男五十裡餘，為天子間田。”鄭氏駁曰：“諸侯多少，異世不同。萬國者，謂唐虞之制也。武王伐纣三分有二八百諸侯，則殷末諸侯千二百也。至周公制禮之後，準《王制》千七百七十三國，而言周千八百者，舉其全數。”[51]這即是許慎認為《春秋公羊傳》與《春秋左氏傳》關于諸侯的數量有沖突。鄭玄則認為這些隻是“舉其全數”，即取整數而言，進而調和了兩家說法。許慎認為《公羊》與《左氏》關于閏月的問題有差别，鄭玄以《尚書·堯典》“以閏月定四時成歲”駁之。并雲：“今廢其大、存其細，是以加猶譏之。”[52]由此可見，盡管同樣認識到各經之間的不同，與許慎相比，鄭玄更擅長用數學、曆法等來調和它們。
總之，與鄭衆、許慎、馬融等學者相比，鄭玄更擅長以數學、曆法或《九章算術》注經、融合統一古今文說。[53]劉歆提出數學是音律、度量衡和曆法基礎的思想，光和二年大司農銅斛、銅權銘文則确立了這一思想與《九章算術》的官方權威地位，鄭玄大量引《九章算術》與官方立場契合。在學術與政治的曆史語境之下，鄭玄以數學注經獲得了雙重的合法性，并最終為經學家們所接受。
肆、鄭玄以數學注經對後世之影響
從經學史的角度看，鄭玄遍注群經完成了經學的統一，對後世影響極大。其實，從數學史的角度來說，鄭玄以數學注經的做法，也對後世影響極大。
鄭玄引鄭衆說注九數，暗示《九章算術》來自《周禮》九數。既是對中國數學起源的一種建構，又形塑了數學是禮或經學一部分的觀念。一方面，劉徽注《九章算術》明确提出“九數之流，則《九章》是矣”，認同了鄭氏的說法。宋代《算學源流》談到中國數學的起源，首先引李淳風《晉書·律曆志》黃帝使隸首作算的說法，繼而引《漢書·律曆志》所載劉歆奏疏，之後便引《周禮》“九數”之鄭玄注。[54]另一方面，甄鸾撰《五經算術》以傳統算學解答儒家經典中的數學問題，李淳風等為之注釋并立于唐朝學官，兩家都試圖延續鄭玄引《九章算術》注經的做法。宋代大儒朱熹（1130-1200）雖然前期傾向于把數學排除在理學體系之外，但晚年還是将數學納入其編撰的《儀禮經傳通解》。[55]明清之際學者們對于中國數學起源和數學與儒學關系的探讨，仍然受到鄭玄的影響。
鄭玄注經往往給出算法的大概或者計算結果，而沒有計算細節，這提供了後世學者發展數學的文本語境。唐初編撰《五經正義》，鄭玄注被選為《毛詩》《周禮》《儀禮》《禮記》等經的标準注解。孔穎達、賈公彥等在鄭注基礎上進行注疏，在其未給計算細節之處，補充了大量數學實作（mathematical practice），卻與《九章算術》《五經算術》不盡相同，由此形成了經學研究中獨特的算法傳統。該傳統受魏晉玄風之影響，其興起不晚于皇侃（488-545）之《論語義疏》。[56]其不使用算籌、以文字推理的特點，則與鄭玄而下儒家重經典、輕器物的知識傳授方式有關。由此導緻的結果偏離了鄭玄引《九章算術》入經學的初衷——儒家算法為經學的一部分，而以《九章算術》為代表的傳統算學則是相對獨立的領域。朱熹前期對經算傳統有所輕視，但是晚年卻對之有所發展。明清之際，該算法傳統續有發展。
鄭玄以數學融合、統一經義的做法也被後世學者所接受。包鹹（7-65）與馬融注《論語》“道千乘之國”各有不同，包氏依《禮記·王制》《孟子》，馬氏則依《周禮》。何晏兩存之。皇侃則以儒家開方算法來解釋兩者差别。[57]朱熹不同意鄭玄注《禮記·投壺》“三分益一則為二鬥”的做法，也以算法釋之。明清之際大儒黃宗羲（1610-1695）繼續了這一讨論。[58]清中葉孔廣森（1751-1786）、焦循（1763-1820）、清末劉嶽雲（1849-1917）等對此續有讨論。
綜上所述，在東漢末年經學章句繁多、劉歆提出的數學是音律、度量衡、曆法基礎的思想與《九章算術》被确立為校訂度量衡權威之背景下，為了統一經學、融合古今文說，比他人更擅長《九章算術》與曆法的鄭玄，采取了以數學注經的做法，期望《九章算術》成為禮學或經學的一部分。然而，鄭玄經注往往隻叙梗概，或徑行給結果而沒有計算細節。是以，後世儒家（皇侃、孔穎達、賈公彥等）利用鄭氏語焉不詳之處，在魏晉玄學與輕器重經的儒學傳統之下，發展出與傳統數學相對獨立的、不使用算籌、以文字推理的算法傳統。後世算家（甄鸾、李淳風等）雖力圖以傳統算學注經、統一兩種算法傳統，未獲成功。南宋大儒朱熹早年将兩種算法傳統排除在其理學之外，晚年則将兩者一道納入其禮學之内，卻造成了明清學者對待算學與儒學的多種不同态度與做法。是以，鄭玄以數學注經的做法對後世影響極大，但是這一影響的結果卻偏離了鄭玄引《九章算術》入經學之初衷。
注釋：
[1] 南朝宋．範晔，《後漢書》（北京：中華書局，1965），頁1207。本文凡引《後漢書》均據此，後文僅列書名與頁碼。
[2] “數學”在古代的語境中有數術的含義，本文中出現的“數學”不取此古義，而隻取今義，即相相當于英文之mathematics。
[3] 陳美東著《中國科學技術史．天文學卷》（北京：科學出版社，2001）與郭書春主編《中國科學技術史．數學卷》（北京：科學出版社，2010）都沒有專論鄭玄的天文學與數學。吳存浩對于鄭玄的自然科學成就作了一般性論述，見吳存浩，〈簡論鄭玄在自然科學上所取得的成就〉，《昌濰師專學報》7.4(2000): 7-9+17。學術界對于鄭玄《周禮．考工記》注是否發現胡克彈性定律，争議很多。見儀德剛，〈反思“鄭玄彈性定律之辯”——兼答劉樹勇先生〉，《中國科技史雜志》40.1(2019): 113-116。
[4] 錢寶琮，〈《九章算術》及其劉徽注與哲學思想的關系〉，《李俨錢寶琮科學史全集．第九卷》，李俨、錢寶琮（沈陽：遼甯教育出版社，1998），頁685-695。
[5] 郭書春，〈劉徽與先秦兩漢學者〉，《中國哲學史》2.2(1993): 3-10。
[6] 見筆者的七篇文章，依次為：〈儒學經典中的數學與知識初探——以賈公彥對《周禮．考工記》“ 氏為量”的注疏為例〉，《自然科學史研究》34.2(2015): 131-141；“Different Cultures of Computation in Seventh Century China from the Viewpoint of Square Root Extraction,” Historia Mathematica 43.1(2016): 3-25；〈再論中國古代數學與儒學的關系——以六至七世紀學者對禮數的不同注疏為例〉，《自然辯證法通訊》38.5(2016): 81-87；〈初唐的數學與禮學——以諸家對《禮記．投壺》的注疏為例〉，《中山大學學報（社會科學版）》57.2(2017): 244-257；〈算學、儒學與制度化——初唐數學的多樣性及其與儒學的關系〉，《漢學研究》35.4(2017): 109-134；〈從度量衡機關看初唐算法文化的多樣性〉，《中國科技史雜志》40.1(2019): 1-9；“Scholarship and Politics in Seventh Century China from the Viewpoint of Li Chunfeng’s Writing on Histories,” in Monographs in Tang Official History: Perspectives from the Technical Treatises of the History of Sui (Sui shu), Daniel Patrick Mongan and Damien Chaussende (eds.) (Switzerland: Springer, 2019), pp.89-116。
[7] 見筆者的四篇文章，依次為：〈朱熹的數學世界——兼論宋代數學與儒學的關系〉，《哲學與文化》45.11(2018): 167-182；〈儒家開方算法之演進——以諸家對《論語》“道千乘之國」的注疏為中心〉，《自然辯證法通訊》41.2(2019): 49-55；〈宋代的數學與易學——以《數書九章》“蓍卦發微”為中心〉，《周易研究》32.2(2019): 81-92；〈明清之際的數學、儒學與西學——以黃宗羲的數學實作為中心〉，《内蒙古師範大學學報（自然科學漢文版）》48.6(2019): 538-544。并見Chen Zhihui, “Scholars’ Recreation of Two Traditions of Mathematical Commentaries in Late Eighteenth-century China,” Historia Mathematica 44.2(2017): 105-133。
[8] 吳文俊（1919-2017）認為中國傳統數學的算法具有構造性和機械化特色。見吳文俊，〈從《數書九章》看中國傳統數學的構造性與機械化特色〉，氏編，《秦九韶與〈數書九章〉》（北京：北京師範大學出版社，1987），頁73-88。李繼闵（1938-1993）認為中國傳統數學理論在表現形式上的特點是“寓理于算”。見李繼闵，《〈九章算術〉導讀與譯注》（西安：陝西科學技術出版社，1998），頁38。
[9] 例如呂凱，《鄭玄之谶緯學》（台北：台灣商務印書館，1982）；池田秀三、洪春音，〈緯書鄭氏學研究序說〉，《書目季刊》37.4(2004): 59-78；姜喜任，〈論鄭玄《乾鑿度》《乾坤鑿度》注的聖王經世義蘊〉，《周易研究》29.5(2016): 67-74等。
[10] 漢．鄭玄注，唐．賈公彥疏，《周禮注疏》，清·阮元校刻，《十三經注疏》第1冊（北京：中華書局，1980），頁731。本文凡引《周禮注疏》均據此，後文僅列書名和頁碼。
[11] 郭書春彙校，《彙校〈九章筭術〉增補版》（沈陽：遼甯教育出版社/台北：九章出版社，2004），頁1。
[12]《周禮注疏》，頁971。
[13] 漢．鄭玄注，唐．孔穎達等疏，《禮記正義》，清·阮元校刻，《十三經注疏》第1冊（北京：中華書局，1980），頁1576。本文凡引《禮記正義》均據此，後文僅列書名和頁碼。
[14] 對于鄭玄注“ 氏為量”的具體分析，見朱一文，〈儒學經典中的數學與知識初探——以賈公彥對《周禮．考工記》“ 氏為量”的注疏為例〉。對于鄭玄注“二十兩曰溢，于粟米之法，為米一升二十四分升之一。”的具體分析，見朱一文，〈從度量衡機關看初唐算法文化的多樣性〉。
[15]《周禮注疏》，頁910。
[16] 郭書春，《彙校〈九章筭術〉增補版》，頁409-410。
[17] 對于此例鄭玄、賈公彥算法的分析，見Zhu Yiwen, “Different Cultures of Computation in Seventh Century China from the Viewpoint of Square Root Extraction,” Historia Mathematica 43.1(2016)。
[18]《禮記正義》，頁1666。
[19] 對于此例鄭玄、孔穎達等、甄鸾、李淳風等算法的分析，見朱一文，〈初唐的數學與禮學——以諸家對《禮記．投壺》的注疏為例〉，《中山大學學報（社會科學版）》57.2(2017)。
[20] 漢．鄭玄注，唐．賈公彥疏，《儀禮注疏》，清·阮元校刻，《十三經注疏》第1冊（北京：中華書局，1980），頁1097。本文凡引《儀禮注疏》均據此，後文僅列書名和頁碼。
[21]《禮記正義》，頁1499。
[22] 對于此例的分析，見朱一文，〈再論中國古代數學與儒學的關系——以六至七世紀學者對禮數的不同注疏為例〉，《自然科學史研究》34.2(2015)；朱一文，〈算學、儒學與制度化——初唐數學的多樣性及其與儒學的關系〉，《漢學研究》35.4(2017)。
[23]《儀禮注疏》，頁1097。
[24] 根據計算，“四十二”應為“四十三”。
[25] 漢．鄭玄注，《周易乾鑿度》，《景印文淵閣四庫全書．第53冊》（台北：台灣商務印書館，1986），頁877。
[26] 清人張惠言《易緯略義》（廣州：廣雅書局，1920）引各家說法，認為此處文字多有脫衍。筆者此處僅引本文，對脫衍等問題不作讨論。
[27] 同注25。
[28] 同注25。
[29]《周禮注疏》，頁916-917。
[30]《周禮注疏》，頁913。
[31]《後漢書》，頁1209。
[32] 葉純芳，《中國經學史大綱》（北京：北京大學出版社，2016），頁160-161。
[33]《後漢書》，頁1207。
[34] 清．皮錫瑞，《經學曆史》（北京：中華書局，1959），頁149。
[35] 邱隆、丘光明、顧茂森、劉東瑞、巫鴻編，《中國古代度量衡圖集》（北京：文物出版社，1981），頁97。
[36] 高大倫、張懋镕，〈漢光和斛、權的研究〉，《西北大學學報（社會科學版）》13.4(1983): 74-83。該文推測曹祾即《後漢書》所載“太仆曹陵”，光和元年為太仆，二年改任大司農。
[37] 漢．班固，《漢書》（北京：中華書局，1962），頁956。
[38] 同上注。
[39] 丁四新，〈“數”的哲學觀念與早期《老子》文本的經典化——兼論通行本《老子》分章的來源〉，《中山大學學報（社會科學版）》59.3(2019): 108-118。
[40] 同注37。
[41] 李俨，〈籌算制度考〉，氏著，《中算史論叢．第四集》（北京：中華書局，1955），頁1-8。
[42] 同注37。
[43] 同注37。
[44] 漢．班固，《漢書》，頁1766。
[45] 吳文俊主編，《中國數學史大系．第2卷》（北京：北京師範大學出版社，1998），頁13-14。
[46] 學術界對于《九章算術》的成書年代存在争議，劉歆時期《九章算術》是否成書還不确定。是以，我們無法确定此處之《算術》是否指《九章算術》。由于此議題不是本論文的主旨，筆者不進行進一步的讨論。
[47] 同注37。
[48] 漢．班固，《漢書》，頁967-968。
[49] 丘光明、邱隆、楊平，《中國科學技術史．度量衡卷》（北京：科學出版社，2001），頁216-230。
[50] 漢．許慎撰，清．段玉裁注，《說文解字注》（上海：上海古籍出版社，1981），頁198。
[51] 清．皮錫瑞，《駁五經異議疏正》，《續修四庫全書．第171冊》（上海：上海古籍出版社，2002），頁206。
[52] 清．皮錫瑞，《駁五經異議疏正》，《續修四庫全書．第171冊》（上海：上海古籍出版社，2002），頁198。
[53] 匿名審查人指出“清代阮元有《疇人傳》一書，〈後漢二〉有：劉洪，蔡邕，何休，鄭玄，徐嶽，郄萌，趙爽。”并期待筆者能說明鄭玄與其他數學家的差異。阮元《疇人傳》論鄭玄雲“康成括囊大典，網絡衆家，為千古儒宗，于天文數術，尤究極微眇。如箋《毛詩》，據《九章》粟米之率；注《易玮》，用《乾象》鬥分之數。蓋其學有本，東京諸儒，皆不逮也。”清．阮元、羅士琳、華世芳、諸可寶、黃鐘駿等撰，馮立昇、鄧亮、張俊峰校注，《疇人傳合編校注》（鄭州：中州古籍出版社，2012），頁61。事實上，鄭玄引數學注經、娴熟地運用《九章算術》是其差別于諸儒的一大特點。劉洪、徐嶽、趙爽等曆算家在數學專業上有貢獻，鄭玄則志不在此。不過如果以今日的數學眼光視之，則可以說其他算家是在《九章算術》“問、答、術”的體例内進行數學知識的創造，鄭玄引《九章算術》注經實際提供了新的數學文本語境（即隐題），而新的文本形式一定會帶來新的數學内容，是以這可以視作鄭氏在數學上的貢獻。關于此議題，見Zhu Yiwen, “How do We Understand Mathematical Practices in Non-mathematical Fields? Reflections Inspired by Cases from 12th and 13th Century China,” Historia Mathematica 52(2020): 1-25。
[54] 郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙．數學卷》第1卷（鄭州: 河南教育出版社，1993），頁427。
[55] 朱一文，〈朱熹的數學世界——兼論宋代數學與儒學的關系〉，《哲學與文化》45.11(2018)。
[56] 朱一文，〈儒家開方算法之演進——以諸家對《論語》“道千乘之國」的注疏為中心〉，《自然辯證法通訊》41.2(2019)。
[57] 同上注。
[58] 朱一文，〈明清之際的數學、儒學與西學——以黃宗羲的數學實作為中心〉，《内蒙古師範大學學報（自然科學漢文版）》48.6(2019)。
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