郑玄的数学世界——郑氏以数学注经的方式、背景与历史贡献
作者：朱一文
来源：《哲学与文化》第四十八卷第十一期
内容摘要：作为两汉经学的集大成者，郑玄遍注群经、统一融合古今文说，又精通历算，善《九章算术》。然而，以往学术界对其数学未有专门之研究。从郑玄三礼注看，他引郑众说注“九数”，暗示《九章算术》来源于《周礼》，并多次提到“粟米法”、使用“勾股术”。他又往往给出算法的大概或者其结果、而不给出计算细节，并以之来消除各经典或版本之间的差异，其注纬书也用到数学，从而为后世学者创造了发展数学的文本语境。王莽之际，刘歆提出数学是音律、度量衡、历法基础的思想；光和二年，大司农斛、权铭文确立了这一思想与《九章算术》的权威地位。东汉末年经学章句繁多，与郑众、许慎、马融等人相比，郑玄更擅长使用数学、历算，因此郑氏引《九章算术》注经具有了政治与学术的双重合法性。然而，在其经学研究的基础上，后世儒家发展出与以《九章算术》为代表的传统算学相对独立的经算传统，却偏离了郑玄以数学注经之初衷。
关键词：郑玄、《九章算术》、经学、经算、刘歆、三礼
作者简介：朱一文，广州中山大学哲学系暨逻辑与认知研究所副教授，主要研究方向为数学史与数学哲学、象棋史与游戏文化。
壹、前言
作为两汉经学的集大成者，郑玄（127-200）遍注群经、融合古今文说。《后汉书·郑玄传》云郑氏通“《三统历》《九章算术》”，又云“玄善算”，[1]由此可知郑玄在天文、数学[2]方面有一定的造诣。然而，与其经学研究相比，学术界对其科学知识与思想研究不多。[3]不过，郑玄与中国古代数学的关系一直备受关注。近代数学史家钱宝琮（1892-1974）认为“《九章算术》和许慎《说文解字》相仿，是东汉初年儒学的一部分，与儒家的传统思想有密切关系”，又说“《九章算术》的编集与东汉初年经古文学派的儒士有密切的关系”，并提到了郑众（？-83）、马续（马融之兄）、马融（79-166）三位经学家。[4]郭书春认为郑玄“与刘洪、徐岳等实际上形成了一个数学中心”，并说“刘徽是通过郑玄注本研读《周礼》的，郑玄注本成为他注《九章》时‘采其所见’的直接数据之一。”[5]刘洪（约129-190）作《乾象历》、徐岳（生于东汉末）着《数书记遗》、刘徽景元四年（263）注《九章算术》，他们都是当时著名的天文历算家。学术界的这些看法肯定了东汉经学与《九章算术》编撰之间的关系，肯定了郑玄对刘徽作注的影响，留下了进一步研究的空间。
笔者近年来着力研究儒家经典注疏中的数学文献，发现南北朝隋唐儒家在经学研究中发展出了相对独立的、与《九章算术》不同的算法传统（清人称之为“经算”），[6]并且这一算法传统一直延续到清末。[7]具体而言，《九章算术》的“术”依靠算筹实施，有“构造性”、“机械化”和“寓理于算”等特色，而且其应用是广泛的；相较之下，经学研究中的算法传统基本不用算筹，而仅凭借书写进行计算和推理，并且只发生在郑玄等前人关于数学的注解之处。[8]在此研究理路之下，我们会问郑玄自己的数学是否也是儒家传统？笔者认为答案是否定的。但是，郑氏为何采取这种注经方式，而这一方式又何以能对后世数学的发展产生如此大的影响？为了回答这些问题，我们必须进一步分析郑玄与中国古代数学或《九章算术》的关系，推进中国数学史与经学史，这即是本文的目的。
貳、郑玄引《九章算术》以注经
在遍注群经的过程中，郑玄用到许多思想资源。以往学界比较关注郑玄在其中所用到的谶纬思想。[9]其实，郑玄也大量用到数学。笔者认为大致而言，郑氏对数学的用法有三个层次：首先，他论述了数学与周礼之关系；其次，他的数学注提供了后世发展数学的文本语境；最后，他的目的都是以数学为工具来消除或弥合各经典之间的差异。下面依次论述之。
郑玄的礼学研究对后世影响极大，以至于有“礼是郑学”的说法。在这中间，郑氏注《周礼》“九数”对古人认识数学的发展有很大的影响。《周礼·地官·保氏》云：“养国子以道，乃教之六艺。一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭，五曰六书，六曰九数。”郑玄引郑众说：“九数，方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要。今有重差、夕桀、句股也。”[10]这即是把“九数”解释成关于数学的九个名目。今本《九章算术》的九章卷名依次为：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、句股。衰分即差分、盈不足即赢不足，因此郑玄引郑众说与《九章算术》高度接近（仅盈不足和方程的顺序、旁要和句股不同）。学界一般认为这就说明了《周礼》九数与《九章算术》的传承关系。实际上，由于郑玄通《九章算术》，他引郑众的说法，就是建构了由《周礼》“九数”到郑众“九数”的递进发展关系。藉由这一关系，郑玄把数学引入了《周礼》，并暗示《九章算术》由其衍生而来。刘徽注《九章算术》序云：“按周公制礼而有九数，九数之流，则《九章》是矣。”[11]无疑，沿用并肯定郑玄的看法。
郑玄注经多次直接提到“粟米法”或“粟米之法”。郑氏注《周礼·考工记》“ 氏为量”云“于今粟米法，少二升八十一分升之二十二。”[12]郑氏又注《礼记·丧大记》云：“二十两曰溢，于粟米之法，为米一升二十四分升之一。”[13]这两处的计算，前者是关于体积与容积之间的换算，后者是重量与容积的换算。今本《九章算术》卷二粟米是各种谷物之间的换算，卷五商功“委粟术”中则有体积与容积之转换。因此，郑玄引“粟米法”注《周礼》《礼记》也是将数学引入经学研究。在郑注的基础上，北周甄鸾撰、唐初李淳风（602-670）等注释《五经算术》、唐初孔颖达（574-648）等编撰《礼记正义》、贾公彦（活跃于650-655）作《周礼注疏》都对此续有探讨。[14]
郑玄注经往往仅给出算法的大概，而没有计算的细节。例如《周礼·考工记》云：“参分弓长，以其一为之尊”。郑注：“尊，高也。六尺之弓，上近部平者二尺，爪末下于部二尺。二尺为句，四尺为弦，求其股。股十二。除之，面三尺几半也。”[15]《九章算术》卷九勾股曰：“今有弦五尺，句三尺，问为股几何。荅曰：四尺。句股术曰：……又，句自乘，以减股自乘，其余，开方除之，即股。”[16]可见，郑玄的算法与《九章算术》勾股术一致，而且同样没有给出开方运算的细节。贾公彦在此基础上给出了不同于《九章算术》筹算开方术的几何开方算法，甄鸾撰、李淳风等注释之《五经算术》则解之于筹算开方术。[17]又《礼记·投壶》云：“壶颈修七寸，腹修五寸，口径二寸半，容斗五升……。”郑注：“修，长也。腹容斗五升，三分益一，则为二斗，得圜囷之象，积三百二十四寸也。以腹修五寸约之，所得。求其圜周，圜周二尺七寸有奇。是为腹颈九寸有余也……。”[18]此处郑玄给出计算投壶直径的算法，但同样未述细节。甄鸾撰、李淳风等注释《五经算术》、孔颖达等《礼记正义》续有讨论。[19]
郑玄有时给出计算的结果，而不给出过程。《仪礼·丧服》云：“苴绖大隔，左本在下，去五分一以为带……。”由此给出斩衰、齐衰、大功、小功和缌麻等五服绖带粗细按照1/5递减的关系。郑注《仪礼》：“盈手曰搁，搁， 也。中人之 ，围九寸。以五分一以为杀者，象五服之数也……。”[20]又注《礼记》：“（齐衰）绖之大俱七寸五分寸之一，（齐衰）带五寸二十五分寸之十九。（大功）绖之大俱五寸二十五分寸之十九，（大功）带四寸百二十五分寸之七十六。”[21]由此，郑玄给出了斩衰、齐衰、大功、小功绖带的四个数值，但未给算法。[22]又郑注《仪礼·丧服》“饮粥，朝一溢米，夕一溢米”云：“二十两曰溢，为米一升二十四分升之一。”[23]注《礼记·丧大记》同段文字则指出“粟米之法”，但这两处都没有给出细节。
郑玄引《九章算术》以注经之目的是以数学来消除各经典或版本之间的差异，从而统一经义。《周礼·考工记》云：“量之以为鬴。深尺，内方尺而圜其外。其实一鬴。”郑注：“以其容为之名也。四升曰豆，四豆曰区，四区曰鬴，鬴六斗四升也。鬴十则钟。方尺，积千寸。于今粟米法，少二升八十一分升之二十二。其数必容鬴。此言大方耳。圜其外者，为之唇。”[29]贾公彦指出“四升曰豆，四豆曰区，四区曰鬴，鬴六斗四升也。鬴十则钟”引自《春秋左氏传》。因此，郑玄发现《左氏传》与《周礼》对 氏量的记载有差异，并试图以《九章算术》粟米法的计算来调和两者。《周礼·考工记》又云：“軓前十尺，而策半之。”郑注：“谓辀軓以前之长也。策，御者之策也。十，或作七。令七为弦，四尺七寸为钩，以求其股。股则短也，七非也。”[30]因此，郑玄发现《考工记》另一版本中是“軓前七尺”，并通过勾股术的计算说明“十”是正确的，“七”是错误的。《后汉书·郑玄传》载郑玄晚年写给其子的书信云：“念述先圣之元意，思整百家之不齐，亦庶几以竭吾才，故闻命罔徒。”[31]由是可知，统一各家经义，恢复圣人的原意，是郑玄的抱负，而数学是实现其抱负的有利工具。
从经学史的角度看，汉末经学章句繁多，令读书人无所适用。郑玄博览群经，兼习众说，融合古今文说，完成经学的统一。[32]马融就曾次以数学注经。郑玄早年曾在其门下，三年不得见。“会融集诸生考论图纬，闻玄善算，乃召见于楼上。玄因从质诸疑义，问毕辞归。”[33]相比马融，郑玄更加重视数学的作用，并大量使用《九章算术》及其“粟米法”、“句股术”等算法注经，完成经学的统一。
參、郑玄以数学注经的历史语境
清人皮锡瑞（1850-1908）《经学历史》云：“郑君博学多师，今古文道通为一，见当时两家相攻击，意欲参合其学，自成一家之言，虽以古学为宗，亦兼采今学以附益其义。学者苦其时家法繁杂，见郑君博通广大，无所不包，众论翕然归之，不复舍此趋彼。于是郑《易注》行，而施、孟、梁丘、京之《易》不行矣；郑《书注》行，而欧阳、大小夏侯之《书》不行矣；郑《诗笺》行，而鲁、齐、韩之《诗》不行矣；郑《礼注》行，而大小戴之《礼》不行矣；郑《论语注》行，而齐、鲁《论语》不行矣。”[34]因之，我们要问：其他学者信服郑注是否与其把数学或《九章算术》作为注经工具之一有关呢?
事实上，这确与东汉晚期《九章算术》的法定权威地位有关。光和大司农铜斛铭文曰：“大司农以戊寅诏书，秋分之日，同度量，均衡石，捔斗桶，正权概，特更为诸州作铜斗、斛、称、尺。依黄钟律历、《九章算术》，以均长短、轻重、大小，用齐七政，令海内都同。光和二年闰三月廿三日，大司农曹祾，丞淳于宫，右仓曹掾朱音，史韩鸿造。”[35]另外两个光和二年的铜斛和一个同年的铜权也有类似的铭文。[36]“光和”为汉灵帝年号，二年为179年，正是郑玄注经之时。这些铭文说明其时《九章算术》已经被官方奉为经典，并与黄钟律历同为校正度量衡的重要工具。在此背景之下，郑玄用《九章算术》来考订或融合不同经典中的长度、体积、容积、重量等数据就有了官方背书的合法性和权威性。
大司农斛、权铭文把数学放在重要位置的想法，实际来自于刘歆（前50-公元23）。班固（32-92）《汉书·律历志》引刘歆给王莽的奏疏云：“一曰备数，二曰和声，三曰审度，四曰嘉量，五曰权衡。参五以变，错综其数，稽之于古今，効之于气物，和之于心耳，考之于经传，咸得其实，扉不协同。”[37]即刘氏之“律”包括“备数”、“和声”、“审度”、“嘉量”、“权衡”五部分内容，“备数”居首，可以“稽之于古今”、“考之于经传”。《汉志》“备数”开篇云：“数者，一、十、百、千、万也。所以算数事物，顺性命之理也。《书》曰：‘先其算命。’”[38]即刘歆认为“数”是人类用来规范宇宙万物（包括人）的一种普遍存在，并以此为基础将五声、度量衡、三统三正和历数关联起来，宇宙由此变成一个以“数”作联系和规范的系统。[39]“备数”续云：“本起黄钟之数，始于一而三之，三三积之，历十二辰之数，十有七万七千一百四十七，而五数备矣。其算法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚，为一握。”[40]即指出“数”起源于黄钟，而其计算的方法是依靠算筹，271根算筹形成正六边形。[41]“备数”又云：“夫推历生律制器，规圜矩方，权重衡平，准绳嘉量，探赜索隐，钩深致远，莫不用焉。度长短不失毫厘，量多少不失圭摄，权轻重不失黍絫。”[42]即强调“数”作用范围之广，音律、度量衡、历法皆可用之。并云：“纪于一，协于十，长于百，大于千，衍于万，其法在《算术》。”[43]以刘歆《七略》为基础的《汉书·艺文志》历谱类记有《许商算术》《杜忠算术》。[44]许商为著名科学家，汉成帝时为大司农。[45]由此可知，当时已有以《算术》为名之书籍。因此，“备数”是说关于记数的方法刊载于《算术》。[46]“备数”又云：“宣于天下，小学是则。职在太史，羲和掌之。”[47]刘氏上奏之时即为羲和，这是强调该官位的权力。《汉书·律历志》“嘉量”篇中，刘歆提出“用度数审其容”的原则，给出了王莽铜斛的形制与数据，并指出“职在太仓，大司农掌之。”[48]学术界一般认为他使用了3.1547的圆周率数值来计算。[49]总之，刘歆的论述建构了“数”在考订音律、度量衡、历法等方面的基础作用，并指出关于数的计算方法载于《算术》。光和大司农斛、权铭文确立了这一思想与《九章算术》的权威地位。郑玄以数学或《九章算术》注经来调和各经之间的差别（如《周礼》 氏量的容积、体积问题），也是刘歆思想与做法的延续。
值得注意的是，《汉书·律历志》提出算筹“长六寸”。东汉经学家许慎（约58-147）《说文解字》则云：“筭，长六寸。计历数者。从竹弄，言常弄乃不误也。”[50]显然继承了《汉志》的说法。《汉志》云：“其算法用竹”与“其法在《算术》”，说明“算法”是具体的计算方法，“算术”是具有普遍性的“术”，两者是特殊与一般的关系。郑玄延续了这一认识。许慎撰《五经异义》，郑玄驳之，撰《驳五经异议》，也用到数学。例如许氏云：“异义：《公羊》说：殷三千诸侯，周千八百诸侯。古《春秋左氏传》说：禹会诸侯于涂山，执玉帛者万国。唐虞之地万里，容百里地万国，其侯伯七十里，子男五十里余，为天子间田。”郑氏驳曰：“诸侯多少，异世不同。万国者，谓唐虞之制也。武王伐纣三分有二八百诸侯，则殷末诸侯千二百也。至周公制礼之后，准《王制》千七百七十三国，而言周千八百者，举其全数。”[51]这即是许慎认为《春秋公羊传》与《春秋左氏传》关于诸侯的数量有矛盾。郑玄则认为这些只是“举其全数”，即取整数而言，从而调和了两家说法。许慎认为《公羊》与《左氏》关于闰月的问题有差别，郑玄以《尚书·尧典》“以闰月定四时成岁”驳之。并云：“今废其大、存其细，是以加犹讥之。”[52]由此可见，尽管同样认识到各经之间的不同，与许慎相比，郑玄更擅长用数学、历法等来调和它们。
总之，与郑众、许慎、马融等学者相比，郑玄更擅长以数学、历法或《九章算术》注经、融合统一古今文说。[53]刘歆提出数学是音律、度量衡和历法基础的思想，光和二年大司农铜斛、铜权铭文则确立了这一思想与《九章算术》的官方权威地位，郑玄大量引《九章算术》与官方立场契合。在学术与政治的历史语境之下，郑玄以数学注经获得了双重的合法性，并最终为经学家们所接受。
肆、郑玄以数学注经对后世之影响
从经学史的角度看，郑玄遍注群经完成了经学的统一，对后世影响极大。其实，从数学史的角度来说，郑玄以数学注经的做法，也对后世影响极大。
郑玄引郑众说注九数，暗示《九章算术》来自《周礼》九数。既是对中国数学起源的一种建构，又形塑了数学是礼或经学一部分的观念。一方面，刘徽注《九章算术》明确提出“九数之流，则《九章》是矣”，认同了郑氏的说法。宋代《算学源流》谈到中国数学的起源，首先引李淳风《晋书·律历志》黄帝使隶首作算的说法，继而引《汉书·律历志》所载刘歆奏疏，之后便引《周礼》“九数”之郑玄注。[54]另一方面，甄鸾撰《五经算术》以传统算学解答儒家经典中的数学问题，李淳风等为之注释并立于唐朝学官，两家都试图延续郑玄引《九章算术》注经的做法。宋代大儒朱熹（1130-1200）虽然前期倾向于把数学排除在理学体系之外，但晚年还是将数学纳入其编撰的《仪礼经传通解》。[55]明清之际学者们对于中国数学起源和数学与儒学关系的探讨，仍然受到郑玄的影响。
郑玄注经往往给出算法的大概或者计算结果，而没有计算细节，这提供了后世学者发展数学的文本语境。唐初编撰《五经正义》，郑玄注被选为《毛诗》《周礼》《仪礼》《礼记》等经的标准注解。孔颖达、贾公彦等在郑注基础上进行注疏，在其未给计算细节之处，补充了大量数学实作（mathematical practice），却与《九章算术》《五经算术》不尽相同，由此形成了经学研究中独特的算法传统。该传统受魏晋玄风之影响，其兴起不晚于皇侃（488-545）之《论语义疏》。[56]其不使用算筹、以文字推理的特点，则与郑玄而下儒家重经典、轻器物的知识传授方式有关。由此导致的结果偏离了郑玄引《九章算术》入经学的初衷——儒家算法为经学的一部分，而以《九章算术》为代表的传统算学则是相对独立的领域。朱熹前期对经算传统有所轻视，但是晚年却对之有所发展。明清之际，该算法传统续有发展。
郑玄以数学融合、统一经义的做法也被后世学者所接受。包咸（7-65）与马融注《论语》“道千乘之国”各有不同，包氏依《礼记·王制》《孟子》，马氏则依《周礼》。何晏两存之。皇侃则以儒家开方算法来解释两者差别。[57]朱熹不同意郑玄注《礼记·投壶》“三分益一则为二斗”的做法，也以算法释之。明清之际大儒黄宗羲（1610-1695）继续了这一讨论。[58]清中叶孔广森（1751-1786）、焦循（1763-1820）、清末刘岳云（1849-1917）等对此续有讨论。
综上所述，在东汉末年经学章句繁多、刘歆提出的数学是音律、度量衡、历法基础的思想与《九章算术》被确立为校订度量衡权威之背景下，为了统一经学、融合古今文说，比他人更擅长《九章算术》与历法的郑玄，采取了以数学注经的做法，期望《九章算术》成为礼学或经学的一部分。然而，郑玄经注往往只叙梗概，或径行给结果而没有计算细节。因此，后世儒家（皇侃、孔颖达、贾公彦等）利用郑氏语焉不详之处，在魏晋玄学与轻器重经的儒学传统之下，发展出与传统数学相对独立的、不使用算筹、以文字推理的算法传统。后世算家（甄鸾、李淳风等）虽力图以传统算学注经、统一两种算法传统，未获成功。南宋大儒朱熹早年将两种算法传统排除在其理学之外，晚年则将两者一道纳入其礼学之内，却造成了明清学者对待算学与儒学的多种不同态度与做法。因此，郑玄以数学注经的做法对后世影响极大，但是这一影响的结果却偏离了郑玄引《九章算术》入经学之初衷。
注释：
[1] 南朝宋．范晔，《后汉书》（北京：中华书局，1965），页1207。本文凡引《后汉书》均据此，后文仅列书名与页码。
[2] “数学”在古代的语境中有数术的含義，本文中出現的“数学”不取此古义，而只取今义，即相相当于英文之mathematics。
[3] 陈美东著《中国科学技术史．天文学卷》（北京：科学出版社，2001）与郭书春主编《中国科学技术史．数学卷》（北京：科学出版社，2010）都沒有专论郑玄的天文学与数学。吴存浩对于郑玄的自然科学成就作了一般性论述，见吴存浩，〈简论郑玄在自然科学上所取得的成就〉，《昌潍师专学报》7.4(2000): 7-9+17。学术界对于郑玄《周礼．考工记》注是否发现胡克弹性定律，争议很多。见仪德刚，〈反思“郑玄弹性定律之辩”——兼答刘树勇先生〉，《中国科技史杂志》40.1(2019): 113-116。
[4] 钱宝琮，〈《九章算术》及其刘徽注与哲学思想的关系〉，《李俨钱宝琮科学史全集．第九卷》，李俨、钱宝琮（沈阳：辽宁教育出版社，1998），页685-695。
[5] 郭书春，〈刘徽与先秦两汉学者〉，《中国哲学史》2.2(1993): 3-10。
[6] 见笔者的七篇文章，依次为：〈儒学经典中的数学与知识初探——以贾公彦对《周礼．考工记》“ 氏为量”的注疏为例〉，《自然科学史研究》34.2(2015): 131-141；“Different Cultures of Computation in Seventh Century China from the Viewpoint of Square Root Extraction,” Historia Mathematica 43.1(2016): 3-25；〈再论中国古代数学与儒学的关系——以六至七世纪学者对礼数的不同注疏为例〉，《自然辩证法通讯》38.5(2016): 81-87；〈初唐的数学与礼学——以诸家对《礼记．投壶》的注疏为例〉，《中山大学学报（社会科学版）》57.2(2017): 244-257；〈算学、儒学与制度化——初唐数学的多样性及其与儒学的关系〉，《汉学研究》35.4(2017): 109-134；〈从度量衡单位看初唐算法文化的多样性〉，《中国科技史杂志》40.1(2019): 1-9；“Scholarship and Politics in Seventh Century China from the Viewpoint of Li Chunfeng’s Writing on Histories,” in Monographs in Tang Official History: Perspectives from the Technical Treatises of the History of Sui (Sui shu), Daniel Patrick Mongan and Damien Chaussende (eds.) (Switzerland: Springer, 2019), pp.89-116。
[7] 见笔者的四篇文章，依次为：〈朱熹的数学世界——兼论宋代数学与儒学的关系〉，《哲学与文化》45.11(2018): 167-182；〈儒家开方算法之演进——以诸家对《论语》“道千乘之国」的注疏为中心〉，《自然辩证法通讯》41.2(2019): 49-55；〈宋代的数学与易学——以《数书九章》“蓍卦发微”为中心〉，《周易研究》32.2(2019): 81-92；〈明清之际的数学、儒学与西学——以黄宗羲的数学实作为中心〉，《内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）》48.6(2019): 538-544。并见Chen Zhihui, “Scholars’ Recreation of Two Traditions of Mathematical Commentaries in Late Eighteenth-century China,” Historia Mathematica 44.2(2017): 105-133。
[8] 吴文俊（1919-2017）认为中国传统数学的算法具有构造性和机械化特色。见吴文俊，〈从《数书九章》看中国传统数学的构造性与机械化特色〉，氏编，《秦九韶与〈数书九章〉》（北京：北京师范大学出版社，1987），页73-88。李继闵（1938-1993）认为中国传统数学理论在表现形式上的特点是“寓理于算”。见李继闵，《〈九章算术〉导读与译注》（西安：陕西科学技术出版社，1998），页38。
[9] 例如吕凯，《郑玄之谶纬学》（台北：台湾商务印书馆，1982）；池田秀三、洪春音，〈纬书郑氏学研究序说〉，《书目季刊》37.4(2004): 59-78；姜喜任，〈论郑玄《乾凿度》《乾坤凿度》注的圣王经世义蕴〉，《周易研究》29.5(2016): 67-74等。
[10] 汉．郑玄注，唐．贾公彦疏，《周礼注疏》，清·阮元校刻，《十三经注疏》第1册（北京：中华书局，1980），页731。本文凡引《周礼注疏》均据此，后文仅列书名和页码。
[11] 郭书春汇校，《汇校〈九章筭术〉增补版》（沈阳：辽宁教育出版社/台北：九章出版社，2004），页1。
[12]《周礼注疏》，页971。
[13] 汉．郑玄注，唐．孔颖达等疏，《礼记正义》，清·阮元校刻，《十三经注疏》第1册（北京：中华书局，1980），页1576。本文凡引《礼记正义》均据此，后文仅列书名和页码。
[14] 对于郑玄注“ 氏为量”的具体分析，见朱一文，〈儒学经典中的数学与知识初探——以贾公彦对《周礼．考工记》“ 氏为量”的注疏为例〉。对于郑玄注“二十两曰溢，于粟米之法，为米一升二十四分升之一。”的具体分析，見朱一文，〈从度量衡单位看初唐算法文化的多样性〉。
[15]《周礼注疏》，页910。
[16] 郭书春，《汇校〈九章筭术〉增补版》，页409-410。
[17] 对于此例郑玄、贾公彦算法的分析，见Zhu Yiwen, “Different Cultures of Computation in Seventh Century China from the Viewpoint of Square Root Extraction,” Historia Mathematica 43.1(2016)。
[18]《礼记正义》，页1666。
[19] 对于此例郑玄、孔颖达等、甄鸾、李淳风等算法的分析，见朱一文，〈初唐的数学与礼学——以诸家对《礼记．投壶》的注疏为例〉，《中山大学学报（社会科学版）》57.2(2017)。
[20] 汉．郑玄注，唐．贾公彦疏，《仪礼注疏》，清·阮元校刻，《十三经注疏》第1册（北京：中华书局，1980），页1097。本文凡引《仪礼注疏》均据此，后文仅列书名和页码。
[21]《礼记正义》，页1499。
[22] 对于此例的分析，见朱一文，〈再论中国古代数学与儒学的关系——以六至七世纪学者对礼数的不同注疏为例〉，《自然科学史研究》34.2(2015)；朱一文，〈算学、儒学与制度化——初唐数学的多样性及其与儒学的关系〉，《汉学研究》35.4(2017)。
[23]《仪礼注疏》，页1097。
[24] 根据计算，“四十二”应为“四十三”。
[25] 汉．郑玄注，《周易乾凿度》，《景印文渊阁四库全书．第53册》（台北：台湾商务印书馆，1986），页877。
[26] 清人张惠言《易纬略义》（广州：广雅书局，1920）引各家說法，认为此处文字多有脫衍。笔者此处仅引本文，对脫衍等问题不作讨论。
[27] 同注25。
[28] 同注25。
[29]《周礼注疏》，页916-917。
[30]《周礼注疏》，页913。
[31]《后汉书》，页1209。
[32] 叶纯芳，《中国经学史大纲》（北京：北京大学出版社，2016），页160-161。
[33]《后汉书》，页1207。
[34] 清．皮锡瑞，《经学历史》（北京：中华书局，1959），页149。
[35] 邱隆、丘光明、顾茂森、刘东瑞、巫鸿编，《中国古代度量衡图集》（北京：文物出版社，1981），页97。
[36] 高大伦、张懋镕，〈汉光和斛、权的研究〉，《西北大学学报（社会科学版）》13.4(1983): 74-83。该文推测曹祾即《后汉书》所载“太仆曹陵”，光和元年为太仆，二年改任大司农。
[37] 汉．班固，《汉书》（北京：中华书局，1962），页956。
[38] 同上注。
[39] 丁四新，〈“数”的哲学观念与早期《老子》文本的经典化——兼论通行本《老子》分章的來源〉，《中山大学学报（社会科学版）》59.3(2019): 108-118。
[40] 同注37。
[41] 李俨，〈筹算制度考〉，氏著，《中算史论丛．第四集》（北京：中华书局，1955），页1-8。
[42] 同注37。
[43] 同注37。
[44] 汉．班固，《汉书》，頁1766。
[45] 吴文俊主编，《中国数学史大系．第2卷》（北京：北京师范大学出版社，1998），页13-14。
[46] 学术界对于《九章算术》的成书年代存在争议，刘歆时期《九章算术》是否成书还不确定。因此，我们无法确定此处之《算术》是否指《九章算术》。由于此议题不是本论文的主旨，笔者不进行进一步的讨论。
[47] 同注37。
[48] 汉．班固，《汉书》，页967-968。
[49] 丘光明、邱隆、杨平，《中国科学技术史．度量衡卷》（北京：科学出版社，2001），页216-230。
[50] 汉．许慎撰，清．段玉裁注，《说文解字注》（上海：上海古籍出版社，1981），页198。
[51] 清．皮锡瑞，《驳五经异议疏正》，《续修四库全书．第171册》（上海：上海古籍出版社，2002），页206。
[52] 清．皮锡瑞，《驳五经异议疏正》，《续修四库全书．第171册》（上海：上海古籍出版社，2002），页198。
[53] 匿名审查人指出“清代阮元有《畴人传》一书，〈后汉二〉有：刘洪，蔡邕，何休，郑玄，徐岳，郄萌，赵爽。”并期待笔者能说明郑玄与其他数学家的差异。阮元《畴人传》论郑玄云“康成括囊大典，网络众家，为千古儒宗，于天文数术，尤究极微眇。如笺《毛诗》，据《九章》粟米之率；注《易玮》，用《乾象》斗分之数。盖其学有本，东京诸儒，皆不逮也。”清．阮元、罗士琳、华世芳、诸可宝、黄钟骏等撰，冯立昇、邓亮、张俊峰校注，《畴人传合编校注》（郑州：中州古籍出版社，2012），页61。事实上，郑玄引数学注经、娴熟地运用《九章算术》是其区别于诸儒的一大特点。刘洪、徐岳、赵爽等历算家在数学专业上有贡献，郑玄则志不在此。不过如果以今日的数学眼光视之，则可以说其他算家是在《九章算术》“问、答、术”的体例内进行数学知识的创造，郑玄引《九章算术》注经实际提供了新的数学文本语境（即隐题），而新的文本形式一定会带来新的数学内容，因此这可以视作郑氏在数学上的贡献。关于此议题，见Zhu Yiwen, “How do We Understand Mathematical Practices in Non-mathematical Fields? Reflections Inspired by Cases from 12th and 13th Century China,” Historia Mathematica 52(2020): 1-25。
[54] 郭书春主编，《中国科学技术典籍通汇．数学卷》第1卷（郑州: 河南教育出版社，1993），页427。
[55] 朱一文，〈朱熹的数学世界——兼论宋代数学与儒学的关系〉，《哲学与文化》45.11(2018)。
[56] 朱一文，〈儒家开方算法之演进——以诸家对《论语》“道千乘之国」的注疏为中心〉，《自然辩证法通讯》41.2(2019)。
[57] 同上注。
[58] 朱一文，〈明清之际的数学、儒学与西学——以黄宗羲的数学实作为中心〉，《内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）》48.6(2019)。
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