開場故事：從印度算術說起
古老的印度算術，像魔術一樣神奇。可以說是印度一項令世界矚目的國粹，幫助學生成為最酷的算術達人！
問題1：減肥目标用心算
雅子小姐決心減肥，目标是每天減75克。如果計劃順利，75天會能減多少克？
75克×75天=？
題目1
隻需兩次乘法就OK！
7×8=56，這是答案的百位與千位。
5×5=25，這是答案的個位與十位。
合在一起就得到答案：5625克。
答案1
同理，舉一反三，72×78=5616，等等。
這種算法道理何在？請看下圖：
解析1
蘇聯教育學家蘇霍姆林斯基說過：直覺是認識的途徑，是照亮認識途徑的光輝。借助幾何的直覺，我們容易了解這種算法的原理。
上圖所示，把長方形分為①～④共四個部分，它們的面積之和等于72×78。
速算法利用等量代換的數學思想，把圖形③移動到虛線所示的圖形⑤，構成長方形，先算①+②+⑤=70×80，再加上圖形④=2×8，就快速得到了答案。
如果把具體的數字用字母代換，我們就把問題從特殊情況推廣到一般情況了。
再看下一個問題。
問題2
答案見下圖：
答案2
再看下一個問題：
問題3
答案見下圖，解法具有普遍性。
答案3
上圖所示的答案告訴我們：
（a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
同理，在草稿紙上畫個圖，把長方形的長和寬各分為三部分，類似九宮格，就能夠得到：
(a+b+c)(d+e+f)的展開式。
再看一個問題，請看下圖：
問題4
答案見下圖：與前面的問題解法類似，略施小計而已。
答案4
再看最後一個問題，引出另一個乘法公式：
問題5
小望如果在學校附近的DIY店做零工，既可以賺足學費，又可以豐富她所喜歡的園藝知識，是以查找了招聘廣告，每小時820日元。每天打工2～3小時，每月應該能打工約78小時。零工收入是多少？
820日元×78小時=？
這個題目的關鍵是(a+b)(a－b)=？
答案5
運用乘法公式：
(a+b)(a－b)=a²－b²
可以速算得到答案：
78×82=(80+2)(80－2)=80²－2²
=6400－4
=6396
乘法公式是恒等式，怎麼證明呢？
有無字證明！
請看下圖：
平分差公式的圖形證明
接下來，我們來探究乘法公式。請看下節。
圖說乘法公式
在上一節的問題3，我們找到了答案，并得到了乘法公式的一般形式：
接下來，我們探究完全平方公式。
完全平方公式1
從上圖可以得到完全平方公式：
(a+b)²=a²+2ab+b²=(a－b)²+4ab
還可以推出
(a－b)²=(a+b)²－4ab
完全平方公式2
上圖告訴我們：
(a－b)²=a²－2ab+b²
圖中的拐尺形=②+③+④=2ab－b²
是以
①=a²－(2ab－b²)=a²－2ab+b²
再加上上一節得到的平方差公式：
兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差。
七年級下冊的乘法公式就全齊了。平方差公式和完全平方公式都是重要的整式乘法公式。不用圖形，隻用代數的力量也能夠推導出來。
根據一般情況：
照上式代入并化簡就能夠得到相應的乘法公式。
了解了乘法公式，就可以證明勾股定理了。不過，這對七年級學生來說，超綱了。因為，七年級不會學習勾股定理。
下節供學有餘力的同學閱讀。
趙君卿證明勾股定理
三國時期，吳國著名數學家趙爽（字君卿）證明了勾股定理。他用勾股弦方圖巧妙地證明了勾股定理。
勾股弦方圖
有一個直角三角形，短直角邊稱為勾，長直角邊稱為股，斜邊稱為弦。如何證明勾方加股方等于弦方？
這個問題有些棘手。一個直角三角形不好辦，如果有四個全等的直角三角形呢？會不會容易一些？試試看。
把四個直角三角形像玩七巧闆一樣，東拼西湊，偶然得到上面的勾股弦方圖。再仔細一看，目瞪口呆五分鐘，一拍大腿，有了。
上圖有兩個正方形，大正方形等于弦方（c²），小正方形等于勾股之差的平方
(a－b)²，四個三角形面積為2ab，再聯系前面的乘法公式，就能夠證明勾股定理了。
下面請看趙君卿的證明：
由勾股弦方圖可得
c²=(a－b)²+2ab
=a²－2ab+b²+2ab
=a²+b²
證畢。
美國數學家談捷徑公式
不是所有東西都是水準或垂直的。東西可以向任何方向傾斜，這很不幸，因為我們得到的資訊經常是以兩個“互相垂直的”方向的形式出現，這兩個方向（在模糊的意義上）可以被認為是水準和垂直的。例如，“往東3個街區往北4個街區”，或“大約100米高200米長”。假設這兩個距離就是我們所擁有的全部資訊：我們把一個稱為水準，另一個稱為垂直。我們可以畫一個有垂直邊和水準邊的三角形來讨論這個問題。三角形不是重點，隻是用來幫助我們抽象地讨論問題，進而無需關注不重要的細節。我們将這個三角形的邊命名為a、b和c（圖1.9），并假設a和b為已知。隻利用這些資訊，我們能求出“捷徑”c的長度嗎？
圖1.9
對于如何根據a和b求出長度c的問題，我們目前還毫無頭緒。既然無法推進，唯一的希望就是看能否将困難的問題轉變成我們熟悉的東西。我們還沒有發明太多數學，是以也沒有太多熟悉的東西，不過我們知道矩形的面積。是以用這個三角形的幾份拷貝組成一個矩形也許是個不錯的主意，這樣我們說不定能取得一點進展（也許不能，但值得嘗試一下）。順着這條思路，我個人能想到的第一件事情是用兩個相同的三角形，将它們粘到一起，這樣我們就得到了一個寬為a高為b的矩形。可是盯着這個矩形看了一會之後，我們還是很糊塗，這個最簡單的構成矩形的方式似乎沒有告訴我們太多關于捷徑的東西。不過另一種簡單的組合方式很有用，就像圖1.10那樣。
圖1.10
圖1.10 用4個相同的三角形和一些空白，構造一個正方形中的另一個正方形。這樣就能用我們熟悉的東西（正方形的面積）來談論我們不熟悉的東西（捷徑）。
我們用4份原來的三角形構造了一個大正方形，同時捷徑又在中間組成了一個正方形的空白區域。與我們在第1章發明撕東西顯然律類似，在紙上畫圖不會改變面積，從這一點可以擠出許多知識。在這個例子中，我們實際上是在一個大正方形中畫了一個傾斜的正方形。正方形的面積是我們目前知道的少數知識之一，是以這個技巧讓我們可以用還十分有限的詞彙表組成關于捷徑的語句。用兩種方式談論整個圖形的面積就可以得出這樣的語句。結果如圖1.11所示。
圖1.11
圖1.11 将總面積寫成不同的形式，我們就可以發明出捷徑的公式，在教科書中也稱為“勾股定理（畢達哥拉斯定理）”。
一方面，我們畫了一個大正方形，邊長是a+b，是以面積是(a+b)²。在第1章，我們通過畫圖知道了（a+b）²=a²+2ab+b²。這樣就有了一種描述這幅圖的面積的方式，但我們還可以用另一種方式描述。整個圖形的面積正好就是空白區域的面積（c²）加上所有三角形的面積。我們不知道如何求三角形的面積，但我們可以将兩個相同的三角形挨着放到一起（就像第一次的失敗嘗試那樣），這樣就能得到一個面積為ab的矩形。我們有4個三角形，是以可以拼出兩個矩形。通過這種分割方式，我們可以得到整個圖形的面積為c²+2ab。我們用兩種方式描述了同一個事物，是以可以在兩種描述之間放個等号，就像這樣：a²+2ab+b²=c²+2ab。
下面這一部分極為重要，請仔細閱讀。上面的數學語句說的是一個事物等于另一個事物。如果兩個事物真的相等（或一樣），并且我們以完全相同的方式改變兩者，則（雖然兩者都改變了）它們在改變之後應當仍然相等。如果兩個盒子裡裝有相同的東西，在我們對兩者做相同的事情之後，則兩個盒子裡的東西應該還是一樣的。無論做的什麼事情（例如“拿掉所有的石頭”，或“添加7塊大理石”，或“數一下有多少頂帽子，然後将數量加倍”），隻要所做的事情是一樣的，這個結論都應當成立。這就是為什麼我們現在可以（用标準行話）說“從上面的等式兩邊減去2ab項”。請确定你自己了解了這個。這不是數學或等式的特性，也不是什麼神秘的“代數律”。這就是我們關于兩個事物相同的日常觀念：對相同的兩個事物做相同的改變，必然會導緻相同的結果。[1]如果不是這樣，肯定是我們對“相同”一詞的使用有誤。是以，這樣改變後，我們就得到了這個語句：
a²+b²=c²。
這個語句告訴了我們如何用水準和垂直量談論捷徑，是以我們可以稱它為“捷徑公式”。教科書上通常稱之為“勾股定理”，這個名字聽起來有些古怪，好像某些很不幹淨的地方。
[1]對這個簡單事實及其推論的了解将讓我們可以跳過典型的代數入門課程的一大部分。
本節内容來自：
書名：燒掉數學書：重新發明數學
作者：（美）傑森·威爾克斯
譯者：唐璐
出版社：湖南科學技術出版社
出版日期：2020-09-01
ISBN：9787571004071
探究開平方
掌握了勾股定理，就無法回避開平方。已知a和b，必須學會開平方才能求出c。
下面推薦一種比較簡單的求平方根的方法。
圖檔來自《趣味幾何學》，作者是蘇聯科普作家别萊利曼（я.и.пЕРЕльМАН，1882～1942），譯者符其珣，中國青年出版社，2008年3月，北京第三版。
以上内容并不複雜，我相信難不住七年級學生。
學習勾股定理之後，還有很多相關問題需要探究，限于篇幅，就此打住。
科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。