开场故事：从印度算术说起
古老的印度算术，像魔术一样神奇。可以说是印度一项令世界瞩目的国粹，帮助学生成为最酷的算术达人！
问题1：减肥目标用心算
雅子小姐决心减肥，目标是每天减75克。如果计划顺利，75天会能减多少克？
75克×75天=？
题目1
只需两次乘法就OK！
7×8=56，这是答案的百位与千位。
5×5=25，这是答案的个位与十位。
合在一起就得到答案：5625克。
答案1
同理，举一反三，72×78=5616，等等。
这种算法道理何在？请看下图：
解析1
苏联教育学家苏霍姆林斯基说过：直观是认识的途径，是照亮认识途径的光辉。借助几何的直观，我们容易理解这种算法的原理。
上图所示，把长方形分为①～④共四个部分，它们的面积之和等于72×78。
速算法利用等量代换的数学思想，把图形③移动到虚线所示的图形⑤，构成长方形，先算①+②+⑤=70×80，再加上图形④=2×8，就快速得到了答案。
如果把具体的数字用字母代换，我们就把问题从特殊情况推广到一般情况了。
再看下一个问题。
问题2
答案见下图：
答案2
再看下一个问题：
问题3
答案见下图，解法具有普遍性。
答案3
上图所示的答案告诉我们：
（a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
同理，在草稿纸上画个图，把长方形的长和宽各分为三部分，类似九宫格，就能够得到：
(a+b+c)(d+e+f)的展开式。
再看一个问题，请看下图：
问题4
答案见下图：与前面的问题解法类似，略施小计而已。
答案4
再看最后一个问题，引出另一个乘法公式：
问题5
小望如果在学校附近的DIY店做零工，既可以赚足学费，又可以丰富她所喜欢的园艺知识，因此查找了招聘广告，每小时820日元。每天打工2～3小时，每月应该能打工约78小时。零工收入是多少？
820日元×78小时=？
这个题目的关键是(a+b)(a－b)=？
答案5
运用乘法公式：
(a+b)(a－b)=a²－b²
可以速算得到答案：
78×82=(80+2)(80－2)=80²－2²
=6400－4
=6396
乘法公式是恒等式，怎么证明呢？
有无字证明！
请看下图：
平分差公式的图形证明
接下来，我们来探究乘法公式。请看下节。
图说乘法公式
在上一节的问题3，我们找到了答案，并得到了乘法公式的一般形式：
接下来，我们探究完全平方公式。
完全平方公式1
从上图可以得到完全平方公式：
(a+b)²=a²+2ab+b²=(a－b)²+4ab
还可以推出
(a－b)²=(a+b)²－4ab
完全平方公式2
上图告诉我们：
(a－b)²=a²－2ab+b²
图中的拐尺形=②+③+④=2ab－b²
所以
①=a²－(2ab－b²)=a²－2ab+b²
再加上上一节得到的平方差公式：
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
七年级下册的乘法公式就全齐了。平方差公式和完全平方公式都是重要的整式乘法公式。不用图形，只用代数的力量也能够推导出来。
根据一般情况：
照上式代入并化简就能够得到相应的乘法公式。
理解了乘法公式，就可以证明勾股定理了。不过，这对七年级学生来说，超纲了。因为，七年级不会学习勾股定理。
下节供学有余力的同学阅读。
赵君卿证明勾股定理
三国时期，吴国著名数学家赵爽（字君卿）证明了勾股定理。他用勾股弦方图巧妙地证明了勾股定理。
勾股弦方图
有一个直角三角形，短直角边称为勾，长直角边称为股，斜边称为弦。如何证明勾方加股方等于弦方？
这个问题有些棘手。一个直角三角形不好办，如果有四个全等的直角三角形呢？会不会容易一些？试试看。
把四个直角三角形像玩七巧板一样，东拼西凑，偶然得到上面的勾股弦方图。再仔细一看，目瞪口呆五分钟，一拍大腿，有了。
上图有两个正方形，大正方形等于弦方（c²），小正方形等于勾股之差的平方
(a－b)²，四个三角形面积为2ab，再联系前面的乘法公式，就能够证明勾股定理了。
下面请看赵君卿的证明：
由勾股弦方图可得
c²=(a－b)²+2ab
=a²－2ab+b²+2ab
=a²+b²
证毕。
美国数学家谈捷径公式
不是所有东西都是水平或垂直的。东西可以向任何方向倾斜，这很不幸，因为我们得到的信息经常是以两个“相互垂直的”方向的形式出现，这两个方向（在模糊的意义上）可以被认为是水平和垂直的。例如，“往东3个街区往北4个街区”，或“大约100米高200米长”。假设这两个距离就是我们所拥有的全部信息：我们把一个称为水平，另一个称为垂直。我们可以画一个有垂直边和水平边的三角形来讨论这个问题。三角形不是重点，只是用来帮助我们抽象地讨论问题，从而无需关注不重要的细节。我们将这个三角形的边命名为a、b和c（图1.9），并假设a和b为已知。只利用这些信息，我们能求出“捷径”c的长度吗？
图1.9
对于如何根据a和b求出长度c的问题，我们目前还毫无头绪。既然无法推进，唯一的希望就是看能否将困难的问题转变成我们熟悉的东西。我们还没有发明太多数学，因此也没有太多熟悉的东西，不过我们知道矩形的面积。因此用这个三角形的几份拷贝组成一个矩形也许是个不错的主意，这样我们说不定能取得一点进展（也许不能，但值得尝试一下）。顺着这条思路，我个人能想到的第一件事情是用两个相同的三角形，将它们粘到一起，这样我们就得到了一个宽为a高为b的矩形。可是盯着这个矩形看了一会之后，我们还是很糊涂，这个最简单的构成矩形的方式似乎没有告诉我们太多关于捷径的东西。不过另一种简单的组合方式很有用，就像图1.10那样。
图1.10
图1.10 用4个相同的三角形和一些空白，构造一个正方形中的另一个正方形。这样就能用我们熟悉的东西（正方形的面积）来谈论我们不熟悉的东西（捷径）。
我们用4份原来的三角形构造了一个大正方形，同时捷径又在中间组成了一个正方形的空白区域。与我们在第1章发明撕东西显然律类似，在纸上画图不会改变面积，从这一点可以挤出许多知识。在这个例子中，我们实际上是在一个大正方形中画了一个倾斜的正方形。正方形的面积是我们目前知道的少数知识之一，因此这个技巧让我们可以用还十分有限的词汇表组成关于捷径的语句。用两种方式谈论整个图形的面积就可以得出这样的语句。结果如图1.11所示。
图1.11
图1.11 将总面积写成不同的形式，我们就可以发明出捷径的公式，在教科书中也称为“勾股定理（毕达哥拉斯定理）”。
一方面，我们画了一个大正方形，边长是a+b，因此面积是(a+b)²。在第1章，我们通过画图知道了（a+b）²=a²+2ab+b²。这样就有了一种描述这幅图的面积的方式，但我们还可以用另一种方式描述。整个图形的面积正好就是空白区域的面积（c²）加上所有三角形的面积。我们不知道如何求三角形的面积，但我们可以将两个相同的三角形挨着放到一起（就像第一次的失败尝试那样），这样就能得到一个面积为ab的矩形。我们有4个三角形，因此可以拼出两个矩形。通过这种分割方式，我们可以得到整个图形的面积为c²+2ab。我们用两种方式描述了同一个事物，因此可以在两种描述之间放个等号，就像这样：a²+2ab+b²=c²+2ab。
下面这一部分极为重要，请仔细阅读。上面的数学语句说的是一个事物等于另一个事物。如果两个事物真的相等（或一样），并且我们以完全相同的方式改变两者，则（虽然两者都改变了）它们在改变之后应当仍然相等。如果两个盒子里装有相同的东西，在我们对两者做相同的事情之后，则两个盒子里的东西应该还是一样的。无论做的什么事情（例如“拿掉所有的石头”，或“添加7块大理石”，或“数一下有多少顶帽子，然后将数量加倍”），只要所做的事情是一样的，这个结论都应当成立。这就是为什么我们现在可以（用标准行话）说“从上面的等式两边减去2ab项”。请确定你自己理解了这个。这不是数学或等式的特性，也不是什么神秘的“代数律”。这就是我们关于两个事物相同的日常观念：对相同的两个事物做相同的改变，必然会导致相同的结果。[1]如果不是这样，肯定是我们对“相同”一词的使用有误。因此，这样改变后，我们就得到了这个语句：
a²+b²=c²。
这个语句告诉了我们如何用水平和垂直量谈论捷径，因此我们可以称它为“捷径公式”。教科书上通常称之为“勾股定理”，这个名字听起来有些古怪，好像某些很不干净的地方。
[1]对这个简单事实及其推论的理解将让我们可以跳过典型的代数入门课程的一大部分。
本节内容来自：
书名：烧掉数学书：重新发明数学
作者：（美）杰森·威尔克斯
译者：唐璐
出版社：湖南科学技术出版社
出版日期：2020-09-01
ISBN：9787571004071
探究开平方
掌握了勾股定理，就无法回避开平方。已知a和b，必须学会开平方才能求出c。
下面推荐一种比较简单的求平方根的方法。
图片来自《趣味几何学》，作者是苏联科普作家别莱利曼（я.и.пЕРЕльМАН，1882～1942），译者符其珣，中国青年出版社，2008年3月，北京第三版。
以上内容并不复杂，我相信难不住七年级学生。
学习勾股定理之后，还有很多相关问题需要探究，限于篇幅，就此打住。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。