盡管幾何學是由世界各地的不同文明所發現和創造的，但人們認為希臘數學家歐幾裡德(Euclid)發展了一套基本真理或公理，所有其他希臘幾何學(大多數現代幾何學)都起源于此。
什麼是公理?
公理是被假定為真實的基本陳述，不需要證明其真實性。它是一組邏輯語句的基礎。不是每件事都可以算作公理的。它必須簡單，對一個未定義的術語作出有用的陳述，用最少的思考就能明顯地正确，并有助于一個公理系統(不是一個随機的構造)。
公理系統
一個公理系統是一組公理的集合，或關于未定義項的陳述。你可以從公理建立證明和定理。邏輯論證是根據公理建立的。
你可以建立自己的人工公理系統，比如下面這個:
- 每個機器人至少有兩條路徑
- 每條路徑至少有兩個機器人
- 至少存在一個機器人
這可能描述了計算機控制倉庫活動的例行程式，但它也是一組公理。我們有兩個未定義的術語，“機器人”和“路徑”我們沒有定義“機器人”或“路徑”，但我們可以在這些未定義的術語上建構各種證明。我們證明一條路徑是存在的:
1. 根據第三個公理，機器人是存在的。
2. 根據第一個公理，現有機器人必須至少有一條路徑。
3. 是以，機器人至少存在一條路徑。
這樣一個不言自明的系統是有限的，但它足以建立一個在倉庫工作的機器人網絡。古希臘數學家歐幾裡得創造了一個包含五個公理的公理系統。從這個基礎上，我們推導出了大部分的幾何(以及所有的歐幾裡德幾何)。
歐幾裡得的5個公理
歐幾裡得(他的名字的意思是“有名的”或“光榮的”)大約生于公元前325年，死于公元前265年。他是幾何學之父，因為他提出了這五個公理，它們一起構成了幾何學的公理系統:
1. 兩點之間可畫一條直線。
2. 任何有端點的直線都可以無限延長。
3. 可以以任意給定的點為圓心，任意給定的半徑畫圓。
4. 所有的直角都相等。
5. 如果兩條直線在平面上與另一條直線相交,如果内部一側角度之和小于兩個直角,那麼這兩條線在其内角和小于兩個直角一側将相交。
幾個世紀以來，數學家們一直接受最初的四個公理，并在此基礎上取得了巨大的成就。第五公理在過去的幾個世紀裡引發了很多争議。另一種不同的翻譯或措辭産生了這樣的選擇:
- 5.對于不在一條直線上的任何一點，都有一條直線通過這一點，它不與這條直線相交。
這就是“平行假設”，但它也是第五公理的重鑄。關于第五個公理的争論的原因是，公理系統通常滿足三個條件，或有三個性質。
公理系統的三個特性
對于一個有效的公理系統，從我們的機器人路徑到歐幾裡得，這個系統必須隻有一個性質:一緻性。
公理系統由于具有獨立性和完整性而更強。讓我們依次看看每一個特性。
一緻性
一個公理系統是一緻的，如果公理不能用來證明一個特定的命題和它的逆命題，或否命題。它不能自相沖突。在我們的簡單例子中，這三個公理不能用來證明某些路徑沒有機器人，同時也不能證明所有路徑都有機器人。
獨立性
一個公理系統必須具有一緻性(一個不自相沖突的内部邏輯)。如果它也有獨立性就更好了，即公理彼此獨立;你不能從一個公理得到另一個公理。所有的公理都是根本的真理，它們的存在并不互相依賴。它們可能指的是未定義的術語，但它們并非一個源于另一個。
完整性
第三個重要的性質是完整性，但這并不是一個公理系統的必要條件。無論我們試圖用這個系統測試什麼，它要麼會被證明，要麼會被證明是負面的。數學家們争論了幾個世紀，認為歐幾裡得的第五個公理是一個真正的定理，但其他人反駁說，其他四個公理不能用來證明它。沒有第五個公理，歐幾裡得的公理系統就缺乏完備性。
你的世界
公理似乎有點遠離你的日常生活。不要指着一些普通的物體說，“這顯示了一個公理”，而是考慮你的心理過程的形成——你思考的方式——依賴于公理。要學好幾何，你得學會邏輯思考，從公理中建立證明。
當你擴充到其他數學領域，比如非歐幾裡德幾何，不同的公理會産生不同的結果，比如允許平行線相交。像這樣的公理系統對于像衛星的地球同步軌道、無線電通信和土地測量這樣的領域很有用。有關幾何原理和平行假設可參見三角形内角和為什麼可以不等于180度？。
