尽管几何学是由世界各地的不同文明所发现和创造的，但人们认为希腊数学家欧几里德(Euclid)发展了一套基本真理或公理，所有其他希腊几何学(大多数现代几何学)都起源于此。
什么是公理?
公理是被假定为真实的基本陈述，不需要证明其真实性。它是一组逻辑语句的基础。不是每件事都可以算作公理的。它必须简单，对一个未定义的术语作出有用的陈述，用最少的思考就能明显地正确，并有助于一个公理系统(不是一个随机的构造)。
公理系统
一个公理系统是一组公理的集合，或关于未定义项的陈述。你可以从公理建立证明和定理。逻辑论证是根据公理建立的。
你可以创建自己的人工公理系统，比如下面这个:
- 每个机器人至少有两条路径
- 每条路径至少有两个机器人
- 至少存在一个机器人
这可能描述了计算机控制仓库活动的例行程序，但它也是一组公理。我们有两个未定义的术语，“机器人”和“路径”我们没有定义“机器人”或“路径”，但我们可以在这些未定义的术语上构建各种证明。我们证明一条路径是存在的:
1. 根据第三个公理，机器人是存在的。
2. 根据第一个公理，现有机器人必须至少有一条路径。
3. 因此，机器人至少存在一条路径。
这样一个不言自明的系统是有限的，但它足以建立一个在仓库工作的机器人网络。古希腊数学家欧几里得创造了一个包含五个公理的公理系统。从这个基础上，我们推导出了大部分的几何(以及所有的欧几里德几何)。
欧几里得的5个公理
欧几里得(他的名字的意思是“有名的”或“光荣的”)大约生于公元前325年，死于公元前265年。他是几何学之父，因为他提出了这五个公理，它们一起构成了几何学的公理系统:
1. 两点之间可画一条直线。
2. 任何有端点的直线都可以无限延长。
3. 可以以任意给定的点为圆心，任意给定的半径画圆。
4. 所有的直角都相等。
5. 如果两条直线在平面上与另一条直线相交,如果内部一侧角度之和小于两个直角,那么这两条线在其内角和小于两个直角一侧将相交。
几个世纪以来，数学家们一直接受最初的四个公理，并在此基础上取得了巨大的成就。第五公理在过去的几个世纪里引发了很多争议。另一种不同的翻译或措辞产生了这样的选择:
- 5.对于不在一条直线上的任何一点，都有一条直线通过这一点，它不与这条直线相交。
这就是“平行假设”，但它也是第五公理的重铸。关于第五个公理的争论的原因是，公理系统通常满足三个条件，或有三个性质。
公理系统的三个特性
对于一个有效的公理系统，从我们的机器人路径到欧几里得，这个系统必须只有一个性质:一致性。
公理系统由于具有独立性和完整性而更强。让我们依次看看每一个特性。
一致性
一个公理系统是一致的，如果公理不能用来证明一个特定的命题和它的逆命题，或否命题。它不能自相矛盾。在我们的简单例子中，这三个公理不能用来证明某些路径没有机器人，同时也不能证明所有路径都有机器人。
独立性
一个公理系统必须具有一致性(一个不自相矛盾的内部逻辑)。如果它也有独立性就更好了，即公理彼此独立;你不能从一个公理得到另一个公理。所有的公理都是根本的真理，它们的存在并不相互依赖。它们可能指的是未定义的术语，但它们并非一个源于另一个。
完整性
第三个重要的性质是完整性，但这并不是一个公理系统的必要条件。无论我们试图用这个系统测试什么，它要么会被证明，要么会被证明是负面的。数学家们争论了几个世纪，认为欧几里得的第五个公理是一个真正的定理，但其他人反驳说，其他四个公理不能用来证明它。没有第五个公理，欧几里得的公理系统就缺乏完备性。
你的世界
公理似乎有点远离你的日常生活。不要指着一些普通的物体说，“这显示了一个公理”，而是考虑你的心理过程的形成——你思考的方式——依赖于公理。要学好几何，你得学会逻辑思考，从公理中建立证明。
当你扩展到其他数学领域，比如非欧几里德几何，不同的公理会产生不同的结果，比如允许平行线相交。像这样的公理系统对于像卫星的地球同步轨道、无线电通信和土地测量这样的领域很有用。有关几何原理和平行假设可参见三角形内角和为什么可以不等于180度？。
