從另一種角度了解量子力學

量子力學的教學，有兩種方法。第一種方法是如今大多數實體學家采用的，以曆史發展的順序，先從經典力學講到電動力學，解一大堆微分方程，然後告訴你黑體輻射悖論和那些奇奇怪怪的實驗結果，這些導緻了實體學的危機。然後你會學習那些實體學家在1900和1926年之間提出來的各種複雜想法來解救這個危機。幸運的話，經過多年的學習你最終接觸到這個中心概念：世界不是由機率（probabilities）描述的，而是由一些叫做振幅（amplitudes）的數字描述的。機率是非負的，而振幅可正可負，甚至可以是複數。

如今是量子資訊時代，所有實體學家都用這種方法來學習量子力學的話就有點可笑。那些受過高等教育的人隻不過記住了這些話：“光具有波粒二象性”，“薛定谔的貓不知是死是活除非你打開箱子瞧一瞧”，“你可以知道位置（position）或動量（momentum），但是不能兩個都知道”，“一個粒子知道另一個粒子的自旋即使距離很遠” 等等。但是我們根本不能了解這些，除非我們痛苦地學習好多年。

第二種教學方法抛棄了量子力學的曆史發展過程，直接跳到其核心概念，也就是一個允許負号的機率理論。一旦你了解了這個理論，你就能品嘗實體，就能計算任意原子的譜帶。這個第二種方法就是我所采用的。

那麼什麼是量子力學？盡管是由實體學家發現的，量子力學和電磁學及廣義相對論相比，并不是同一類的實體學。從科學的繼承性來看，生物學來自化學，化學來自實體，實體來自數學，而量子力學位于實體和數學之間。量子力學就像是個作業系統，而其他實體理論就像是計算機應用程式（除了廣義相對論沒能相容這個系統）。甚至可以用一個詞來形容把一個實體理論安裝到這個作業系統上：“量子化”。

如果量子力學不是關于一般的實體概念（物質，能量，波，粒子），那麼它是關于什麼的？在我看來，量子力學是關于資訊，機率，觀察 以及它們之間的聯系的理論。

我的觀點是，如果你研究機率論，那麼最後肯定會觸及量子力學。是以我們不如把機率這個概念擴大化，讓機率也可以取負數。如果早這麼做的話，19世紀的數學家就可以發明量子力學了，根本就不需要實驗。

Scott: 在我看來，這說明了實驗的重要性。很多時候我們做實驗是因為我們不夠聰明，必須通過分析實驗結果來提出理論。

在這節課上，我将不做任何實驗，來向你展示為什麼當你希望這個宇宙有普遍的屬性時，你必須從這三個中選：（1）确定性，（2）經典機率論，（3）量子力學。

小于0％的機率

什麼是擁有負數概念的“機率論”？ 我們從來沒有聽說過天氣預報說明天有-20％的可能性下雨，這是有悖常理的。先不管這些，讓我們抽象地想想一個事件，擁有N個可能的結果。我們可以将這個事件用一個向量來表示。這個向量由N個實數構成：

(P1,...., Pn)

數學上我們會如何描述這個向量？ 我們會說，這些機率應該是非負的，而且它們加起來等于1。後一條我們可以這樣表示：機率向量的 1-norm 必須是1。（1-norm 指的是每個元的絕對值加和。）

但是 1-norm 并不是這個世界上唯一的 norm ，它并不是定義向量“大小”的唯一方式。還有另外的方式來定義，比如說 2-norm， 又叫 Euclidean norm (歐幾裡德範數）。歐幾裡德範數指的是向量元平方和的開平方值。

如何機率論是基于 2-norm 而不是 1-norm，那麼量子力學就是其結果。

讓我們來考慮一個比特。在機率論裡，我們描述一個比特是 0 的可能性是 p，那麼是 1 的可能性就是 1-p 。如果我們把 1-norm 變為 2-norm， 那麼就不需要要求這兩個數字加起來是1，而是要求它們的平方和是1。（假設這裡讨論的數字還是實數。）換句話說，我們需要的是這樣一個向量 (α,β)， 滿足 α^2 + β^2 = 1 （有誰知道markdown如何插入公式？）。 這樣的向量組會形成一個圓：

我們的理論必須的和觀察有關, 假設有一個比特可以用這個向量(α,β)來描述，那麼我們得說明當我們去看這個比特的時候會發生什麼。既然它是一個比特，我們應該看到0或者1！而且看到0的幾率和看到1的幾率加起來應該是1。那麼對于這個(α,β)向量，我們該如何得到兩個加起來等于1的數字？很簡單，我們可以讓 α^2 作為結果是0的機率，讓 β^2 作為結果是1的機率。

那麼在這個情況下，我們可以不抛棄 α 和 β，直接用機率來描述這個比特？啊....關鍵的差别在于當我們把一個算子作用在向量上面時向量的變化（這個過程稱為operation）。在機率論裡，如果一個比特用向量(p,1-p)來表示，那麼我們可以用一個随機矩陣（stochastic matrix）來表示任何對于向量的操作（operation）。

随機矩陣：一個矩陣由非負實數構成，每一列加起來和為1。

原文釋出時間為：2014.03.07

本文作者：銻星

本文來源：

簡書

，如需轉載請聯系原作者。