NumPy 線性代數

NumPy 提供了線性代數函數庫 linalg，該庫包含了線性代數所需的所有功能，可以看看下面的說明：

函數

描述

兩個數組的點積，即元素對應相乘。

兩個向量的點積

<code>inner</code>

兩個數組的内積

<code>matmul</code>

兩個數組的矩陣積

<code>determinant</code>

數組的行列式

<code>solve</code>

求解線性矩陣方程

計算矩陣的乘法逆矩陣

numpy.dot() 對于兩個一維的數組，計算的是這兩個數組對應下标元素的乘積和(數學上稱之為内積)；對于二維數組，計算的是兩個數組的矩陣乘積；對于多元數組，它的通用計算公式如下，即結果數組中的每個元素都是：數組a的最後一維上的所有元素與數組b的倒數第二位上的所有元素的乘積和：

dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])。

參數說明：

a : ndarray 數組

b : ndarray 數組

out : ndarray, 可選，用來儲存dot()的計算結果

import numpy.matlib

import numpy as np

a = np.array([[1,2],[3,4]])

b = np.array([[11,12],[13,14]])

print(np.dot(a,b))

輸出結果為：

計算式為：

numpy.vdot() 函數是兩個向量的點積。如果第一個參數是複數，那麼它的共轭複數會用于計算。如果參數是多元數組，它會被展開。

# vdot 将數組展開計算内積

print (np.vdot(a,b))

numpy.inner() 函數傳回一維數組的向量内積。對于更高的次元，它傳回最後一個軸上的和的乘積。

print (np.inner(np.array([1,2,3]),np.array([0,1,0])))

# 等價于 1*0+2*1+3*0

a = np.array([[1,2], [3,4]])

print ('數組 a：')

print (a)

b = np.array([[11, 12], [13, 14]])

print ('數組 b：')

print (b)

print ('内積：')

print (np.inner(a,b))

内積計算式為：

numpy.matmul 函數傳回兩個數組的矩陣乘積。雖然它傳回二維數組的正常乘積，但如果任一參數的維數大于2，則将其視為存在于最後兩個索引的矩陣的棧，并進行相應廣播。

另一方面，如果任一參數是一維數組，則通過在其次元上附加 1 來将其提升為矩陣，并在乘法之後被去除。

對于二維數組，它就是矩陣乘法：

a = [[1,0],[0,1]]

b = [[4,1],[2,2]]

print (np.matmul(a,b))

二維和一維運算：

b = [1,2]

print (np.matmul(b,a))

次元大于二的數組：

a = np.arange(8).reshape(2,2,2)

b = np.arange(4).reshape(2,2)

numpy.linalg.det() 函數計算輸入矩陣的行列式。

行列式線上性代數中是非常有用的值。它從方陣的對角元素計算。對于 2×2 矩陣，它是左上和右下元素的乘積與其他兩個的乘積的差。

換句話說，對于矩陣[[a，b]，[c，d]]，行列式計算為 ad-bc。較大的方陣被認為是 2×2 矩陣的組合。

print (np.linalg.det(a))

b = np.array([[6,1,1], [4, -2, 5], [2,8,7]])

print (np.linalg.det(b))

print (6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2))

numpy.linalg.solve() 函數給出了矩陣形式的線性方程的解。

考慮以下線性方程：

可以使用矩陣表示為：

如果矩陣成為A、X和B，方程變為：

numpy.linalg.inv() 函數計算矩陣的乘法逆矩陣。

逆矩陣（inverse matrix）：設A是數域上的一個n階矩陣，若在相同數域上存在另一個n階矩陣B，使得： AB=BA=E ，則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱為可逆矩陣。注：E為機關矩陣。