目錄
序言
向量究竟是什麼？
線性組合、張成的空間與基
矩陣與線性變換的關系
行列式
逆矩陣、列空間、零空間
點積與對偶性
叉積
基變換
特征向量與特征值
抽象向量空間
通過直覺的動畫示範，了解線性代數的大部分核心概念 ，不是教你學習線性代數，而是幫助你更高效的學習。
學校的課程對矩陣的要求比較高，但是對于潛在的幾何直覺知之甚少，但是現在我們有計算機，是以我認為更應該了解概念層面的東西。
在數值水準與幾何水準了解線性代數有着本質的差別。幾何水準的了解能讓你判斷出特定問題應該用什麼樣的工具來求解、感受它們為什麼有用、以及解釋最終結果。是以學習線性代數需要幾何上的直覺了解作為堅實的基礎。
本筆記的目的是線性代數數值與幾何之間給關系。
向量相加，可以把它看做數軸上加法的一種擴充。
線性代數中最基礎最根源組成部分就是向量。
那麼向量是什麼呢？
一般來說有三種不同的觀點來看待向量。分别以實體、計算機、數學的視角來看待向量。
實體：具有大小和方向的箭頭；
計算機：向量是有序的數字清單；
數學：結合實體和計算機兩種觀點，向量可以是任何數，隻要符合加法和乘法的定義。
向量之是以要豎着寫，是為了和點坐标相差別，向量可以看成一個起始點在坐标原點的帶有方向的線段。向量的加法c=a+b可以看成一個動态運動的過程，先走到a，在以a的結尾開始走b，最終從原點到b的終點就是c。其中a也是先走再走j。i，j為基向量。向量的乘法可以了解成縮放。
數學需要的不是天賦，而是少量的自由想象，但想象太過自由又會陷入瘋狂。
線性代數圍繞兩種基本運算，向量加法與向量數乘。
線性組合：兩個數乘向量的和；
張成的空間：v向量與w向量全部線性組合的集合；
基：向量空間的一組基是由張成該空間的一個線性無關的向量集；
當我們用數字描述向量時，它都依賴于我們正在使用的基。
線性變換有輸入有輸出，可以了解成一個将向量作為輸入輸出的函數，該函數保持網格線平行且等距分布，并且保持原點不動。
這一性質有個重要的推論，即變換後的v(x,y)依舊是x與變換後的i之積，加上y與變換後的j之積。
關于v，i，j之間的線性組合關系是不變的。也就是說隻要知道了變換後的i，j的坐标，就能夠推斷出任意向量在變換之後的位置。
一種了解“向量的函數“的方法是使用運動，如果一個變換接收一個向量并輸出一個向量，我們想象這個輸入向量移動到輸出向量的位置。接下來，要了解整個變換，我們可以想象每一個輸入向量都移動到對應輸出向量的位置。
總之線性變換是操作空間的一種手段，是對空間的擠壓伸展, 是一種使向量運動的函數。
線性變換由它對空間的基向量的作用完全決定。隻需要基向量變了，整個空間也就跟着變了，基坐标線性變換後，為新的基坐标。每當看到一個矩陣時，都可以解讀為對空間的一種特定變換。
矩陣隻是一種記号，它含有描述一個線性變換的資訊，是變換後的(i, j)和在一起的寫法。我們完全可以把矩陣的列看成是變換後的基向量。矩陣看作線性變換，那麼矩陣乘法，行列式，基變換等都會更加容易了解。
矩陣乘法與線性變換複合
矩陣乘法可以了解為特定的線性變換.
兩個矩陣相乘有着幾何意義，也就是兩個線性變換相繼作用，即一個表換之後再進行另一個變換。這個乘積要從右向左《----讀，先用右邊的作用在用左邊的作用，這起源于函數的記号，因為我們将函數寫在變量的左側。
計算“i”
計算“j”
這一方法具有普适性。
矩陣相乘時，它們的先後順序影響結果嗎？？
很明顯，影響！
但是結合律：（AB）C = A（BC），可以觀察到它們的變化順序都是C--》B--》A，是以結果自然是相同的。
行列式的絕對值表示區域面積的縮放比例。二維
行列式為零說明矩陣的列線性相關。
det(M1M2) = det(M1)*det(M2)
那出現負數怎麼解釋呢？
改變了空間的定向，類似一張紙翻面。此時的絕對值仍然是表示 面積的縮放比例。
逆矩陣也是一種變換，A逆乘以A等于一個什麼都不做的矩陣。
不管是一條直線、 一個平面還是三維空間等，所有可能的變換結果的集合被稱為矩陣的“列空間”。
列空間就是矩陣的列張成的空間。是以更精确的 秩定義了列空間的維數。當秩達到最大，意味着秩與列數相等。稱之為“滿秩”。
對線性方程組來說,當向量v恰好為零向量時，零空間給出的就是這個向量方程所有可能的解。
注意點積的順序，看，紅色--》黃色的趨勢變換。
來，我們來看看叉積。
用線性變化的角度看待點積
每個人可以標明不同的“參考”。
特征向量：僅有一個拉伸的作用，仍然是留在原有的張成空間内，這些特殊的向量就被稱為“特征向量”。
每一個特征向量都有一個特殊的值，稱為特征值。即衡量特征向量在變化中拉伸或者壓縮比例的因子。
有什麼作用呢？
例如：這個3D立方體的旋轉軸就是特征向量。并且此時的特征值是1，不能有縮放效果。
充分了解這個公式：
我們舉一個例子：
函數實際上是另外一種意義的向量。
就很妙~~矩陣向量乘法和求導聯系了起來。
是以，數學中有許多類似向量的事物，隻要你處理的對象集具有合理的數乘和相加的概念。
如果你現在是線性代數的創始人，你需要滿足這些“公理”。
到了這兒，也就明白為什麼課堂是比較抽象的概念了，普适的代價是抽象。