高斯，羅巴切夫斯基和黎曼：彎曲空間思維的引入
對人類來說，自然界是個永遠也解不開的迷，科學的高速發展從文藝複興開始已經經曆了幾百年，進步可謂神速，但留下的思考空間仍然巨大。數學作為科學發展的尖兵，更是有太多地方需要探索。
大家好，今天偉崗繼續給大家聊聊幾何發展的話題，尤其是從歐氏幾何到非歐幾何的飛躍，這個飛躍其實産生于數學家對自然界空間的深邃思考。
從數學發展史上看，是羅巴切夫斯基第一個提出了非歐幾何的概念，但是大家公認的事實是，高斯是數學史上第一個思考到非歐幾何的存在。
歐氏幾何的第五公設展示了空間的複雜和神秘，這在高斯之前幾乎沒有任何人思考到這個問題。由于我們受限于眼睛等五官的限制，直接是觀察不到彎曲空間的。人類第一想象隻能從二維的紙平面開始，肉眼隻能觀察到平的紙面，這也是第五公設存在的基礎。但是面不隻是有平面，還有球面，馬鞍面等，雖然球面等形成的幾何面突破了二維的限制，也就是說球面，馬鞍面隻能在三維中才能實作，但是如果在二維上，所有幾何圖形的形成必須滿足球面或者馬鞍面的要求怎麼辦？這個聽起來似乎是天方夜譚，但是高斯估計思維就是從這裡開始的。
由于我們所提到的空間，往往是指自然界存在的三維空間，把二維紙平面想象成彎曲的球面或者馬鞍面，這一點非常難說服人，畢竟你觀察不到彎曲的二維面，如果能發現我們生活的三維空間可能是彎曲的，這樣才最終推翻第五公設，高斯就是考慮這麼做的。
人們在高斯去世之後，在他的筆記裡發現了關于測量自然界大三角形内角和的資料，究竟這樣的三角形有多大，文獻沒有記載，不過很顯然，高斯是想從測量中發現，如果在自然界存在的三角形邊長足夠大，它的内角和會大于或者小于180度。
這一點雖然跟愛因斯坦的廣義相對論不謀而合，但是說高斯有相對論思想，這個肯定言過其實了。不過高斯肯定想到了空間的複雜性，第五公設無法解釋所有的自然現象。既然第五公設在自然界中會産生沖突，那麼肯定存在歐氏幾何以外的非歐幾何。
高斯有沒有深入研究非歐幾何，這個已經無法考證。由于高斯的數論理論已經對與他同時代的數學家來說太高深了，高斯估計沒有勇氣再在幾何方面發起一場革命。
非歐幾何的出現，可以說完全颠覆了幾何學的觀念。幾何最顯著的特點是要做圖，也就是說幾何跟物體的形狀有密切關系，而非歐幾何假設下的物體，它們又是什麼形狀呢？
這其實也是困擾數學家的大問題，也就是說非歐幾何研究什麼？在平行公設體系下，我們可以研究全等，相似，邊長，角度等，這些離開了平行公設就完全失去了意義。既然直線的平行線不止一條或者完全沒有，任何角度的概念就無法定義，長度的概念也需要更新。
打破這個僵局的功勞自然歸于兩個數學家，一個是羅巴切夫斯基，另一個就是黎曼了。羅巴切夫斯基可以說是告訴後來的數學家，非歐幾何是存在的，我們可以去研究它。而黎曼是指導後續天才如何去研究非歐幾何。
現在市面上讨論羅巴切夫斯基的書籍非常少了，偉崗隻找到一本俄羅斯數學家諾爾金寫的羅巴切夫斯基幾何學初步，而且羅巴切夫斯基的原文也在網際網路上搜尋不到，說明這個研究方向，基本被現代數學家放棄。
按照諾爾金的說法（不知道是不是羅巴切夫斯基的原意），羅巴切夫斯基的非歐幾何研究是給出了一個所謂羅巴切夫斯基公理：在平面上存在這樣的直線和這樣的點，在點上對于直線的平行角為銳角。那麼什麼是平行角呢？諾爾金是這樣定義的：垂直于直線的指針和平行于直線的半線所夾的角。通俗地解釋就是說，過直線外一點可以做出直線的多條平行線，因為除了不相交垂直于平行角某條線的直線外，還有其它夾角為銳角的直線也可能是平行線。
諾爾金從這個羅巴切夫斯基公理出發，開始了一系列非歐幾何命題的推導，他甚至還在書裡畫了很多幾何圖形，試圖直覺地解釋羅巴切夫斯基公理下幾何命題的結果，結果自然是一塌糊塗，圖形根本不能說明任何問題。當然不能說羅巴切夫斯基公理推論下的結論是錯的，隻能是這些結論實際上沒有直覺性，需要想象力才能了解。
比如，諾爾金第一個證明的定理是，若兩平行線與第三直線相交，則在平行半線方向的半平面上它們所成的外角大于同位角。諾爾金甚至還畫出了直線外的兩條平行線，隻可惜有一條平行線怎麼看也不像平行線，因為你如果想象延長那一條平行線，它似乎肯定要跟直線相交，也就是說，那一條多出的平行線根本不是平行線，至少不是圖上畫出的平行線。你必須用羅巴切夫斯基的思維來看平行線，把紙平面了解成彎曲的，羅巴切夫斯基在生前不被當時的數學界認可也不是完全沒有道理。
反觀黎曼就聰明得多，黎曼甚至不提自己對第五公設的否定，那些說他認為過直線外一點不能做出直線的平行線都是後人從他的文獻推理出來的，黎曼沒有直接說，這一點就避免了很多沖突，給當時的數學家一個思考的空間。
當然要說黎曼完全被當時的數學家認可，也是言過其實。黎曼隻活了40歲，當時為了成為哥廷根大學教授，可謂費了九牛二虎之力，那篇黎曼幾何第一次出現江湖史詩般的文章，就是他成為教授的敲門磚，當時似乎隻有高斯能夠了解，其他數學家沒見到特别興奮。
後來的情況就大不一樣了，現在關于黎曼幾何的書籍可以說是漫山遍野，微分幾何更是成了現代數學家研究的金礦，黎曼開了好頭，引出的數學内容如此豐富，估計黎曼自己也沒有想到。
那麼微分幾何到底是研究什麼的呢？由于微分幾何大部分内容都是屬于數學專業研究所學生階段的内容，是以說明還是非常有難度的，今天偉崗也賣個關子，下次再跟大家聊聊微分幾何，今天就跟大家聊到這裡，謝謝大家的閱讀。