出棧次序
一個棧(無窮大)的進棧序列為1，2，3，…，n，有多少個不同的出棧序列?
正常分析
首先，我們設 f(n)=序列個數為n的出棧序列種數。（我們假定，最後出棧的元素為k，顯然，k取不同值時的情況是互相獨立的，也就是求出每種k最後出棧的情況數後可用加法原則，由于k最後出棧，是以，在k入棧之前，比k小的值均出棧，此處情況有f(k-1)種，而之後比k大的值入棧，且都在k之前出棧，是以有f(n-k)種方式，由于比k小和比k大的值入棧出棧情況是互相獨立的，此處可用乘法原則，f(n-k)*f(k-1)種，求和便是Catalan遞歸式。）
首次出空之前第一個出棧的序數k将1~n的序列分成兩個序列，其中一個是1~k-1，序列個數為k-1，另外一個是k+1~n，序列個數是n-k。
此時，我們若把k視為确定一個序數，那麼根據乘法原理，f（n）的問題就等價于——序列個數為k-1的出棧序列種數乘以序列個數為n - k的出棧序列種數，即選擇k這個序數的 f(n) =f(k-1) × f(n-k)。而k可以選1到n，是以再根據加法原理，将k取不同值的序列種數相加，得到的總序列種數為：f(n) = f(0)f(n-1) + f(1)f(n-2) + …… + f(n-1)f(0)。
看到此處，再看看卡特蘭數的遞推式，答案不言而喻，即為 f(n) = h(n) = C(2n,n) / (n+1) = C(2n,n) - C(2n,n-1)（n=0,1,2 ……）。
最後，令f（0）=1，f（1）=1。
非正常分析
對于每一個數來說，必須進棧一次、出棧一次。我們把進棧設為狀态‘1’，出棧設為狀态‘0’。n個數的所有狀态對應n個1和n個0組成的2n位二進制數。由于等待入棧的操作數按照1‥n的順序排列、入棧的操作數b大于等于出棧的操作數a(a≤b)，是以輸出序列的總數目=由左而右掃描由n個1和n個0組成的2n位二進制數，1的累計數不小于0的累計數的方案種數。
在2n位二進制數中填入n個1的方案數為c(2n,n),不填1的其餘n位自動填0。從中減去不符合要求（由左而右掃描，0的累計數大于1的累計數）的方案數即為所求。
不符合要求的數的特征是由左而右掃描時，必然在某一奇數位2m+1位上首先出現m+1個0的累計數和m個1的累計數，此後的2(n-m)-1位上有n-m個 1和n-m-1個0。如若把後面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成為n-m個0和n-m-1個1，結果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即一個不合要求的數對應于一個由n+1個0和n-1個1組成的排列。
反過來，任何一個由n+1個0和n-1個1組成的2n位二進制數，由于0的個數多2個，2n為偶數，故必在某一個奇數位上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面部分0和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位數，即n+1個0和n-1個1組成的2n位數必對應一個不符合要求的數。
因而不合要求的2n位數與n+1個0，n－1個1組成的排列一一對應。
顯然，不符合要求的方案數為c(2n,n+1)。由此得出輸出序列的總數目=c(2n,n)-c(2n,n-1)=h(n)。
類似問題
n對括号正确比對數目
給定n對括号，求括号正确配對的字元串數，例如：
0對括号：[空序列] 1種可能
1對括号：() 1種可能
2對括号：()() (()) 2種可能
3對括号：((())) ()(()) ()()() (())() (()()) 5種可能
将上例的1換成左括号，0換成右括号，則所有包含n對括号的合法運算式的個數也是卡特蘭數
買票找零
有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中隻有n個人有一張5元鈔票，另外n人隻有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少種方法使得隻要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零(将持5元者到達視作将5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
計算長度為2n的Dyck Words的個數
h(n) 表示長度2n的dyck word的個數。Dyck詞是一個有n個X和n個Y組成的字串，且所有的字首字串皆滿足X的個數大于等于Y的個數。以下為長度為6的dyck words:
XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
計算n×n格點中單調路徑的個數
h(n)表示所有在n×n格點中不越過對角線的單調路徑的個數。一個單調路徑從格點左下角出發，在格點右上角結束，每一步均為向上或向右。計算這種路徑的個數等價于計算Dyck word的個數：X代表“向右”，Y代表“向上”。下圖為n = 4的情況：