01背包 题解

题目描述

https://www.acwing.com/problem/content/2/

样例输入

略

样例输出

略

算法描述

我们的状态数组 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]

指在背包有 j j j的容量,只有前 i i i件物品时的最大价值

由于每种物品只有选与不选两种情况

所以如果容量允许,那么 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]只有两种选择

选择第 i i i件物品,或不选

(状态转移方程见代码)

然鹅,我们可以使用一些奇妙的手段去掉数组的一维,是空间复杂度更低

即去掉 i i i这一维,使用数组表示背包有 j j j的容量时的最优解

这里有个细节,就是在进行递推的时候, j j j必须从大到小进行遍历

否则会使用一个更新过的值更新接下来的值

具体见代码

时间复杂度

O ( N ∗ M ) O(N*M) O(N∗M)

示例代码

优化前

#include <iostream>

using namespace std;
int f[1000][1000];
int w[1000];
int v[1000];
int main()
{
    int m,n;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>v[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=w[i])
            {
                if(f[i][j]<f[i-1][j-w[i]]+v[i])
                    f[i][j]=f[i-1][j-w[i]]+v[i];
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}
           

优化后

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
int f[1000];
int w[1000];
int v[1000];
int main()
{
    int m,n;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>v[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=w[i];j--)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout<<f[m];
    return 0;
}