01背包 題解

題目描述

https://www.acwing.com/problem/content/2/

樣例輸入

略

樣例輸出

略

算法描述

我們的狀态數組 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]

指在背包有 j j j的容量,隻有前 i i i件物品時的最大價值

由于每種物品隻有選與不選兩種情況

是以如果容量允許,那麼 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]隻有兩種選擇

選擇第 i i i件物品,或不選

(狀态轉移方程見代碼)

然鵝,我們可以使用一些奇妙的手段去掉數組的一維,是空間複雜度更低

即去掉 i i i這一維,使用數組表示背包有 j j j的容量時的最優解

這裡有個細節,就是在進行遞推的時候, j j j必須從大到小進行周遊

否則會使用一個更新過的值更新接下來的值

具體見代碼

時間複雜度

O ( N ∗ M ) O(N*M) O(N∗M)

示例代碼

優化前

#include <iostream>

using namespace std;
int f[1000][1000];
int w[1000];
int v[1000];
int main()
{
    int m,n;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>v[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=w[i])
            {
                if(f[i][j]<f[i-1][j-w[i]]+v[i])
                    f[i][j]=f[i-1][j-w[i]]+v[i];
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}
           

優化後

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
int f[1000];
int w[1000];
int v[1000];
int main()
{
    int m,n;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>v[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=w[i];j--)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout<<f[m];
    return 0;
}