测度论与概率论基础（程士宏）学习笔记（二）

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第一章 可测空间和可测映射

§ \text{\S} § 2 集合系

以空间 X X X 中的一些集合为元素组成的集合被称为 X X X 上的 集合系，一般用花体字母 A , B , … \mathscr{A,B,\dots} A,B,… 表示

在抽象空间中，我们总结出了很多特殊的集合系，它们可以宽松到严紧地、一步步地构建出严密的集合系，并最终建立起严格的 测度

π \pi π 系

π \pi π 系：如果 X X X 上的非空集合系 P \mathscr{P} P 满足 ∀ A , B ∈ P , A ∩ B ∈ P \forall A,B \in \mathscr{P},A \cap B \in \mathscr{P} ∀A,B∈P,A∩B∈P我们称其对交 封闭，并称集合系 P \mathscr{P} P 为空间 X X X 上的 π \pi π 系

例 1   \bm{1}\text{ } 1  记 R \bm{R} R 为全体实数组成的集合，对任何的 a ∈ R a \in \bm{R} a∈R，令 ( − ∞ , a ] = { x ∈ R , − ∞ < x ≤ a } (-\infin,a]=\{x \in \bm{R},-\infin \lt x \le a\} (−∞,a]={x∈R,−∞<x≤a}求证：全体从负无穷到 a a a 的区间组成的集合系 P R = d e f { ( − ∞ , a ] : a ∈ R } \mathscr{P}_{\bm{R}} \xlongequal{def}\{(-\infin,a]:a\in \bm{R}\} PR​def

{(−∞,a]:a∈R}是实数空间 R \bm{R} R 上的 π \pi π 系

证：任取 A , B ∈ P R A,B\in \mathscr{P}_{\bm{R}} A,B∈PR​，设 A = ( − ∞ , a ] , B = ( − ∞ , b ] A=(-\infin,a],B=(-\infin, b] A=(−∞,a],B=(−∞,b]，则 A ∩ B = { ( − ∞ , a ] , a ≥ b ; ( − ∞ , b ] , b > a ; ∈ P R A \cap B=\begin{cases}( -\infin, a], &a \ge b;\\(-\infin, b], &b \gt a;\end{cases} \in \mathscr{P}_{\bm{R}} A∩B={(−∞,a],(−∞,b],​a≥b;b>a;​∈PR​因此 P R \mathscr{P}_{\bm{R}} PR​ 对交封闭， P R \mathscr{P}_{\bm{R}} PR​ 是实数空间 R \bm{R} R 上的 π \pi π 系

半环

半环：如果 X X X 上的 π \pi π 系 Q \mathscr{Q} Q 满足 ∀ A , B ∈ Q ∧ A ⊃ B , ∃ { C k ∈ Q , k = 1 , … , n , ∀ i ≠ j , C i ∩ C j = ∅ } , s.t.  A ∖ B = ⋃ k = 1 n C k \forall A,B \in \mathscr{Q} \land A \supset B,\exist \{C_k\in \mathscr{Q},k=1,\dots,n,\forall i \not = j,C_i\cap C_j=\varnothing\},\text{s.t. } A \setminus B=\bigcup\limits_{k=1}^{n}C_k ∀A,B∈Q∧A⊃B,∃{Ck​∈Q,k=1,…,n,∀i​=j,Ci​∩Cj​=∅},s.t. A∖B=k=1⋃n​Ck​则称集合系 Q \mathscr{Q} Q 为空间 X X X 上的 半环

光从定义上看，半环显得非常的抽象难懂，实际上我们可以把半环理解成对真差的不完全封闭：真差运算的结果并不一定在半环内，而是需要拆解成有限个半环内两两不交的元素的并

再举一个具体的例子，设空间 X = { 1 , 2 , 3 , 4 } X=\{1,2,3,4\} X={1,2,3,4}，取 X X X 上的集合系 Q = { { 1 } , { 2 , 3 } , { 4 } , { 1 , 2 , 3 , 4 } } \mathscr{Q}=\{ \{1\},\{2,3\},\{4\},\{1,2,3,4\} \} Q={{1},{2,3},{4},{1,2,3,4}}，从集合系 Q \mathscr{Q} Q 中取元素 A = { 1 , 2 , 3 , 4 } A=\{1,2,3,4\} A={1,2,3,4}， B = { 2 , 3 } B=\{2,3\} B={2,3}，满足条件 A ⊃ B A \supset B A⊃B，真差运算 A ∖ B = { 1 , 4 } ∉ Q A \setminus B=\{1,4\} \notin \mathscr{Q} A∖B={1,4}∈/​Q，但真差运算的结果可以分解为两两不交的元素 C 1 = { 1 } , C 2 = { 4 } C_1=\{1\},C_2=\{4\} C1​={1},C2​={4} 的并

例 2   \bm{2}\text{ } 2  对任何 a , b ∈ R a,b\in \bm{R} a,b∈R，我们将 ( a , b ) = { x ∈ R : a < x < b } ; ( a , b ] = { x ∈ R : a < x ≤ b } ; [ a , b ) = { x ∈ R : a ≤ x < b } ; [ a , b ] = { x ∈ R : a ≤ x ≤ b } ; \begin{aligned} (a, b)=\{x \in \bm{R}:a \lt x \lt b\};\\ (a, b]=\{x \in \bm{R}:a \lt x \le b\};\\ [a, b)=\{x \in \bm{R}:a \le x \lt b\};\\ [a, b]=\{x \in \bm{R}:a \le x \le b\}; \end{aligned} (a,b)={x∈R:a<x<b};(a,b]={x∈R:a<x≤b};[a,b)={x∈R:a≤x<b};[a,b]={x∈R:a≤x≤b};​分别称为 R \bm{R} R 中的 开区间，左开右闭区间，左闭右开区间 和 闭区间

求证：全体左开右闭区间组成的集合系 Q R = d e f { ( a , b ] : a , b ∈ R } \mathscr{Q}_{\bm{R}} \xlongequal{def}\{(a,b]:a,b\in \bm{R}\} QR​def

{(a,b]:a,b∈R}是一个半环

证：首先验证 Q R \mathscr{Q}_{\bm{R}} QR​ 是一个 π \pi π 系，显然当 b ≤ a b \le a b≤a 时，有 ∅ = ( a , b ] = { x ∈ R : a < x ≤ b } ∈ Q R \varnothing=(a,b]=\{x\in \bm{R}:a \lt x \le b \} \in \mathscr{Q}_{\bm{R}} ∅=(a,b]={x∈R:a<x≤b}∈QR​

任取 A , B ∈ Q R A,B\in\mathscr{Q}_{\bm{R}} A,B∈QR​，设 A = ( a , b ] , B = ( c , d ] A=(a,b],B=(c,d] A=(a,b],B=(c,d] 且满足 a < b , c < d a \lt b,c \lt d a<b,c<d，则

A ∩ B = { ( c , b ] , a < c ∧ c < b ≤ d ; ( c , d ] , a < c ∧ b > d ; ( a , d ] , a ≥ c ∧ b > d ; ( a , b ] , a ≥ c ∧ c < b ≤ d ; ∅ , e l s e ; ∈ Q R A \cap B= \begin{cases} (c,b], &a \lt c \land c \lt b \le d;\\ (c,d] , &a \lt c \land b\gt d;\\ (a,d], &a \ge c \land b \gt d;\\ (a,b], &a \ge c \land c \lt b \le d;\\ \varnothing, &else; \end{cases} \in \mathscr{Q}_{\bm{R}} A∩B=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​(c,b],(c,d],(a,d],(a,b],∅,​a<c∧c<b≤d;a<c∧b>d;a≥c∧b>d;a≥c∧c<b≤d;else;​∈QR​因此 Q R \mathscr{Q}_{\bm{R}} QR​ 对交封闭， Q R \mathscr{Q}_{\bm{R}} QR​ 是实数空间 R \bm{R} R 上的 π \pi π 系

任取 C ∈ Q R C \in \mathscr{Q}_{\bm{R}} C∈QR​ 且满足 C ⊂ A C \subset A C⊂A，设 C = ( e , f ] ( e < f ) C=(e,f](e \lt f) C=(e,f](e<f)，那么一定有 A ∖ C = ( a , e ] ∪ ( f , b ] A \setminus C = (a,e] \cup (f,b] A∖C=(a,e]∪(f,b]，显然 ( a , e ] , ( f , b ] ∈ Q R (a,e],(f,b] \in \mathscr{Q}_{\bm{R}} (a,e],(f,b]∈QR​，因此 Q R \mathscr{Q}_{\bm{R}} QR​ 上元素的真差可以被拆解为其中元素的有限并，即 Q R \mathscr{Q}_{\bm{R}} QR​ 是实数空间 R \bm{R} R 上的半环

例 3   \bm{3}\text{ } 3  如果 X = { x 1 , … , x n } X=\{x_1,\dots,x_n\} X={x1​,…,xn​} 是由有限个元素组成的集合，求证：由 X X X 上所有单点集 与空集（原书此处有误，漏掉了空集）组成的集合系 P = { ∅ , { x 1 } , … , { x n } } \mathscr{P}=\{\varnothing,\{x_1\},\dots,\{x_n\}\} P={∅,{x1​},…,{xn​}}是一个半环

证：首先验证 P \mathscr{P} P 是一个 π \pi π 系，由于 P \mathscr{P} P 是由空集与单点集组成的集合系，显然它们两两不交，即 ∀ A , B ∈ P , A ∩ B = ∅ \forall A,B\in\mathscr{P},A \cap B=\varnothing ∀A,B∈P,A∩B=∅，又因为 ∅ ∈ P \varnothing \in \mathscr{P} ∅∈P，故 P \mathscr{P} P 对交封闭，是空间 X X X 上的 π \pi π 系

为验证 P \mathscr{P} P 对真差运算的封闭性， ∀ A , B ∈ P \forall A,B\in\mathscr{P} ∀A,B∈P，考虑到 X X X 上的单点集 { x 1 } , … , { x n } \{x_1\},\dots,\{x_n\} {x1​},…,{xn​} 两两不交，所以为达成 A ⊃ B A \supset B A⊃B 的条件，只能取 B = ∅ B=\varnothing B=∅，显然有 A ∖ B = A ∖ ∅ = A ∈ P A \setminus B=A\setminus \varnothing=A\in\mathscr{P} A∖B=A∖∅=A∈P，因此 P \mathscr{P} P 对真差封闭，即 P \mathscr{P} P 是空间 X X X 上的半环

环

环：如果 X X X 上的非空集合系 R \mathscr{R} R 满足 ∀ A , B ∈ R ⇒ A ∪ B , A ∖ B ∈ R \forall A,B \in \mathscr{R} \Rightarrow A \cup B,A \setminus B \in \mathscr{R} ∀A,B∈R⇒A∪B,A∖B∈R也即其对交和差封闭，则称 R \mathscr{R} R 为空间 X X X 上的 环

例 4   \bm{4}\text{ } 4  求证：定义在实数空间上的集合系 R R = d e f ⋃ n = 1 ∞ { ⋃ k = 1 n ( a k , b k ] : a k , b k ∈ R } \mathscr{R}_{\bm{R}} \xlongequal{def} \bigcup \limits_{n=1}^{\infin} \Big\{\bigcup \limits_{k=1}^{n} (a_k,b_k]:a_k,b_k \in \bm{R} \Big\} RR​def

n=1⋃∞​{k=1⋃n​(ak​,bk​]:ak​,bk​∈R}是 R \bm{R} R 上的环

证：因为 a k , b k a_k,b_k ak​,bk​ 是任取的，所以当 n = 1 n=1 n=1 时， { ⋃ k = 1 n ( a k , b k ] : a k , b k ∈ R } \Big\{\bigcup \limits_{k=1}^{n} (a_k,b_k]:a_k,b_k \in \bm{R} \Big\} {k=1⋃n​(ak​,bk​]:ak​,bk​∈R} 代表了全体左开右闭集合组成的集合系，同理，当 n = 2 n=2 n=2 时， { ⋃ k = 1 n ( a k , b k ] : a k , b k ∈ R } \Big\{\bigcup \limits_{k=1}^{n} (a_k,b_k]:a_k,b_k \in \bm{R} \Big\} {k=1⋃n​(ak​,bk​]:ak​,bk​∈R} 代表了任意两个左开右闭集合的并集组成的集合系，以此类推

由于 R R \mathscr{R}_{\bm{R}} RR​ 是可列的，不妨设其中的元素 X i X_i Xi​ 代表 R R \mathscr{R}_{\bm{R}} RR​ 的第 n i n_i ni​ 项，即 { ⋃ k = 1 n i ( a k , b k ] : a k , b k ∈ R } \Big\{\bigcup \limits_{k=1}^{n_i} (a_k,b_k]:a_k,b_k \in \bm{R} \Big\} {k=1⋃ni​​(ak​,bk​]:ak​,bk​∈R}，注意到当 n i > n j n_i \gt n_j ni​>nj​ 时， ∀ x ∈ X j , ∃ y ∈ X i , s.t.  y = ⋃ k = 1 n j ( a k , b k ] ∪ ⋃ k = n j + 1 n i ∅ = x ∪ ∅ = x \forall x \in X_j,\exist y \in X_i, \text{s.t. }y=\bigcup \limits_{k=1}^{n_j}(a_k,b_k] \cup \bigcup \limits_{k=n_j+1}^{n_i}\varnothing=x \cup \varnothing=x ∀x∈Xj​,∃y∈Xi​,s.t. y=k=1⋃nj​​(ak​,bk​]∪k=nj​+1⋃ni​​∅=x∪∅=x，也即 n i > n j ⇒ X i ⊃ X j n_i \gt n_j \Rightarrow X_i \supset X_j ni​>nj​⇒Xi​⊃Xj​

这可以理解为，对于 X j X_j Xj​ 中的任一元素，我们可以在 X i X_i Xi​ 中通过令大于 n j n_j nj​ 的项全部为空集 ( b k ≤ a k ) (b_k \le a_k) (bk​≤ak​)，以此在 X i X_i Xi​ 上构造出它，因此 ∀ X A , X B ∈ R R \forall X_A,X_B\in \mathscr{R}_{\bm{R}} ∀XA​,XB​∈RR​，我们有 X A ∪ X B = { ⋃ k = 1 n A ( a k , b k ] : a k , b k ∈ R } ∪ { ⋃ k = 1 n B ( a k , b k ] : a k , b k ∈ R } = { { ⋃ k = 1 n A ( a k , b k ] : a k , b k ∈ R } , n A ≥ n B ; { ⋃ k = 1 n B ( a k , b k ] : a k , b k ∈ R } , n A < n B ; ∈ R R \begin{aligned} X_A \cup X_B & = \Big\{\bigcup \limits_{k=1}^{n_A} (a_k,b_k]:a_k,b_k \in \bm{R} \Big\} \cup \Big\{\bigcup \limits_{k=1}^{n_B} (a_k,b_k]:a_k,b_k \in \bm{R} \Big\}\\ & =\begin{cases} \Big\{\bigcup \limits_{k=1}^{n_A} (a_k,b_k]:a_k,b_k \in \bm{R} \Big\}, &n_A \ge n_B;\\ \Big\{\bigcup \limits_{k=1}^{n_B} (a_k,b_k]:a_k,b_k \in \bm{R} \Big\}, &n_A \lt n_B; \end{cases} \in \mathscr{R}_{\bm{R}} \end{aligned} XA​∪XB​​={k=1⋃nA​​(ak​,bk​]:ak​,bk​∈R}∪{k=1⋃nB​​(ak​,bk​]:ak​,bk​∈R}=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​{k=1⋃nA​​(ak​,bk​]:ak​,bk​∈R},{k=1⋃nB​​(ak​,bk​]:ak​,bk​∈R},​nA​≥nB​;nA​<nB​;​∈RR​​即 R R \mathscr{R}_{\bm{R}} RR​ 对并封闭，以此类推，可以得到 X A ∖ X B = { ⋃ k = 1 n A ( a k , b k ] : a k , b k ∈ R } ∖ { ⋃ k = 1 n B ( a k , b k ] : a k , b k ∈ R } = { { ⋃ k = n B + 1 n A ( a k , b k ] : a k , b k ∈ R } , n A > n B ; ∅ , n A ≤ n B ; \begin{aligned} X_A \setminus X_B & = \Big\{\bigcup \limits_{k=1}^{n_A} (a_k,b_k]:a_k,b_k \in \bm{R} \Big\} \setminus \Big\{\bigcup \limits_{k=1}^{n_B} (a_k,b_k]:a_k,b_k \in \bm{R} \Big\}\\ &= \begin{cases} \Big\{\bigcup \limits_{k=n_B+1}^{n_A} (a_k,b_k]:a_k,b_k \in \bm{R} \Big\}, &n_A \gt n_B;\\ \varnothing, &n_A \le n_B; \end{cases} \end{aligned} XA​∖XB​​={k=1⋃nA​​(ak​,bk​]:ak​,bk​∈R}∖{k=1⋃nB​​(ak​,bk​]:ak​,bk​∈R}=⎩⎨⎧​{k=nB​+1⋃nA​​(ak​,bk​]:ak​,bk​∈R},∅,​nA​>nB​;nA​≤nB​;​​显然当 n A ≤ n B n_A \le n_B nA​≤nB​ 时， X A ∖ X B = ∅ ∈ R R X_A \setminus X_B = \varnothing \in \mathscr{R}_{\bm{R}} XA​∖XB​=∅∈RR​，那么当 n A > n B n_A \gt n_B nA​>nB​ 时， ∀ x ∈ X A ∖ X B , ∃ y ∈ X n A − n B − 1 , s.t.  ⋃ k x = n B + 1 n A ( a k x , b k x ] = ⋃ k y = 1 n A − n B ( a k y , b k y ] \forall x \in X_A \setminus X_B,\exist y \in X_{n_A-n_B-1},\text{s.t. }\bigcup \limits_{k_x=n_B+1}^{n_A}(a_{k_x},b_{k_x}]=\bigcup \limits_{k_y=1}^{n_A-n_B}(a_{k_y},b_{k_y}] ∀x∈XA​∖XB​,∃y∈XnA​−nB​−1​,s.t. kx​=nB​+1⋃nA​​(akx​​,bkx​​]=ky​=1⋃nA​−nB​​(aky​​,bky​​]，因此当 n A > n B n_A \gt n_B nA​>nB​ 时，我们可以在 X n A − n B X_{n_A-n_B} XnA​−nB​​ 上构造出任意一个 X A ∖ X B X_A \setminus X_B XA​∖XB​ 中的元素，也即 n A > n B ⇒ X A ∖ X B ⊂ X n A − n B ∈ R R n_A \gt n_B \Rightarrow X_A \setminus X_B \subset X_{n_A-n_B} \in \mathscr{R}_{\bm{R}} nA​>nB​⇒XA​∖XB​⊂XnA​−nB​​∈RR​，这说明 R R \mathscr{R}_{\bm{R}} RR​ 对差封闭

综上， R R \mathscr{R}_{\bm{R}} RR​ 是实数空间 R \bm{R} R 上的环

例 5   \bm{5}\text{ } 5  求证：由有限个元素组成的集合 X X X 的一切子集组成的集合系 T \mathscr{T} T 构成一个环

证：显然我们有 ∅ , X ∈ T \varnothing, X \in \mathscr{T} ∅,X∈T，那么 ∀ A , B ∈ T \forall A, B \in \mathscr{T} ∀A,B∈T，我们有 A ∪ B ⊂ X A \cup B \subset X A∪B⊂X，根据集合系 T \mathscr{T} T 的定义可知 A ∪ B ∈ T A \cup B \in \mathscr{T} A∪B∈T，同理可知 A ∖ B ⊂ X A \setminus B \subset X A∖B⊂X，因而 A ∖ B ∈ T A \setminus B \in \mathscr{T} A∖B∈T，至此，集合系 T \mathscr{T} T 对并和差均封闭，因此 T \mathscr{T} T 是空间 X X X 上的环

域

域：如果 X X X 上的 π \pi π 系 A \mathscr{A} A 满足 X ∈ A ; A ∈ A ⇒ A c ∈ A X \in \mathscr{A};A \in \mathscr{A} \Rightarrow A^c \in \mathscr{A} X∈A;A∈A⇒Ac∈A也即对差封闭且包含空间，则称 A \mathscr{A} A 为空间 X X X 上的 域（也称 代数）

命题 1.2.1   \bm{1.2.1}\text{ } 1.2.1  半环是 π \pi π 系；环是半环；域是环

证：由半环定义可知，半环是 π \pi π 系；考虑任意环 R \mathscr{R} R，我们有 ∀ A , B ∈ R ⇒ A ∪ B , A ∖ B , B ∖ A ∈ R ⇒ A ∩ B = ( A ∪ B ) ∖ [ ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) ] ∈ R \begin{aligned} \forall A, B \in \mathscr{R} & \Rightarrow A \cup B, A \setminus B, B \setminus A \in \mathscr{R}\\& \Rightarrow A \cap B = (A \cup B) \setminus [(A \setminus B) \cup (B \setminus A)] \in \mathscr{R} \end{aligned} ∀A,B∈R​⇒A∪B,A∖B,B∖A∈R⇒A∩B=(A∪B)∖[(A∖B)∪(B∖A)]∈R​故而环是半环；考虑任意域 A \mathscr{A} A，那么有 ∀ A , B ∈ A ⇒ A ∪ B = ( A c ∩ B c ) c ∈ A \forall A, B \in \mathscr{A} \Rightarrow A \cup B = (A^c \cap B^c)^c \in \mathscr{A} ∀A,B∈A⇒A∪B=(Ac∩Bc)c∈A故而域是环

因为 π \pi π 系、半环、环、域都是对有限运算的定义，而想要建立测度的话，只有有限运算是不够的，因此我们需要引入下列在可列运算下封闭的集合系

单调系

单调系：如果 X X X 上的集合系 M \mathscr{M} M 上的任意单调序列 { A n , n = 1 , 2 , …   } \{A_n,n=1,2,\dots\} {An​,n=1,2,…} 满足 lim ⁡ n → ∞ A n ∈ M \lim\limits_{n \rightarrow \infin}A_n \in \mathscr{M} n→∞lim​An​∈M则称 M \mathscr{M} M 为空间 X X X 上的 单调系

我们可以形象地把单调系理解为对极限运算封闭的集合系

λ \lambda λ 系

λ \lambda λ 系：如果 X X X 上的集合系 L \mathscr{L} L 满足 X ∈ L ; ∀ A , B ∈ L ∧ A ⊃ B ⇒ A ∖ B ∈ L ; ∀ A n ∈ L ∧ A n ↑ ⇒ ⋃ n = 1 ∞ A n ∈ L ; \begin{aligned} & X \in \mathscr{L};\\ & \forall A, B \in \mathscr{L} \land A \supset B \Rightarrow A \setminus B \in \mathscr{L};\\ & \forall A_n \in \mathscr{L} \land A_n \uparrow \Rightarrow \bigcup \limits_{n=1}^{\infin}A_n \in \mathscr{L}; \end{aligned} ​X∈L;∀A,B∈L∧A⊃B⇒A∖B∈L;∀An​∈L∧An​↑⇒n=1⋃∞​An​∈L;​则称 L \mathscr{L} L 为空间 X X X 上的 λ \lambda λ 系

我们可以形象地把 λ \lambda λ 系理解为包含空间 X X X 本身的、对真差运算与极限运算封闭的集合系，不难发现 λ \lambda λ 系定义的第三条可以变形为 ∀ A n ∈ L ∧ A n ↑ ⇒ ⋃ n = 1 ∞ A n = lim ⁡ n → ∞ A n ∈ L \forall A_n \in \mathscr{L} \land A_n \uparrow \Rightarrow \bigcup \limits_{n=1}^{\infin}A_n = \lim\limits_{n \rightarrow \infin}A_n \in \mathscr{L} ∀An​∈L∧An​↑⇒n=1⋃∞​An​=n→∞lim​An​∈L，故其本质是在说对极限运算封闭

σ \sigma σ 域

σ \sigma σ 域：如果 X X X 上的集合系 F \mathscr{F} F 满足 X ∈ F ; ∀ A ∈ F ⇒ A c ∈ F ; ∀ A n ∈ F , n = 1 , 2 , ⋯ ⇒ ⋃ n = 1 ∞ A n ∈ F ; \begin{aligned} & X \in \mathscr{F};\\ & \forall A \in \mathscr{F} \Rightarrow A^c \in \mathscr{F};\\ & \forall A_n \in \mathscr{F},n=1,2,\dots \Rightarrow \bigcup \limits_{n=1}^{\infin}A_n \in \mathscr{F}; \end{aligned} ​X∈F;∀A∈F⇒Ac∈F;∀An​∈F,n=1,2,⋯⇒n=1⋃∞​An​∈F;​则称 F \mathscr{F} F 为空间 X X X 上的 σ \sigma σ 域（也称 σ \sigma σ 代数）

同理，我们可以形象地把 σ \sigma σ 域理解为包含空间 X X X 本身的、对补运算与可列并运算封闭的集合系

命题 1.2.2   \bm{1.2.2}\text{ } 1.2.2  求证： σ \sigma σ 域是域； λ \lambda λ 系是单调系； σ \sigma σ 域是 λ \lambda λ 系

证：对于任意的 σ \sigma σ 域 F \mathscr{F} F，根据定义第一条可知 X ∈ F X \in \mathscr{F} X∈F，第二条可知 F \mathscr{F} F 对补封闭，第三条可知 ∀ A n ∈ F , n = 1 , 2 , ⋯ ⇒ ⋂ n = 1 ∞ A n = { ⋃ n = 1 ∞ A n c } c ∈ F \forall A_n \in \mathscr{F},n=1,2,\dots \Rightarrow \bigcap \limits_{n=1}^{\infin} A_n=\Big\{\bigcup \limits_{n=1}^{\infin}{A_n}^c\Big\}^c \in \mathscr{F} ∀An​∈F,n=1,2,⋯⇒n=1⋂∞​An​={n=1⋃∞​An​c}c∈F，即 F \mathscr{F} F 对可列交是封闭的，现取 ∀ A , B ∈ F \forall A,B \in \mathscr{F} ∀A,B∈F，那么 A ∩ B = A ∩ B ∩ X ∩ ⋯ ∈ F A \cap B = A \cap B \cap X \cap \dots \in \mathscr{F} A∩B=A∩B∩X∩⋯∈F，因此可以得出 F \mathscr{F} F 对交封闭，故 σ \sigma σ 域是域；

对于任意的 λ \lambda λ 系 L \mathscr{L} L，根据定义第三条，它对任意非降集合序列封闭，现取 ∀ A n ∈ L \forall A_n \in \mathscr{L} ∀An​∈L 且满足 A n ↓ A_n \downarrow An​↓，根据定义第一、第二条可知， ∀ A ∈ L , A c = X ∖ A ∈ L \forall A \in \mathscr{L},A^c=X \setminus A \in \mathscr{L} ∀A∈L,Ac=X∖A∈L，那么可知 lim ⁡ n → ∞ A n = ⋂ n = 1 ∞ A n = { ⋃ n = 1 ∞ A n c } c ∈ L \lim\limits_{n \rightarrow \infin}A_n=\bigcap \limits_{n=1}^{\infin}A_n=\Big\{\bigcup \limits_{n=1}^{\infin}{A_n}^c\Big\}^c \in \mathscr{L} n→∞lim​An​=n=1⋂∞​An​={n=1⋃∞​An​c}c∈L，故 λ \lambda λ 系是单调系；

对于任意的 σ \sigma σ 域 F \mathscr{F} F，由 σ \sigma σ 域的定义第一、第三条可知，它必然满足 λ \lambda λ 系定义的第一、第三条，并且由于 σ \sigma σ 域是域，因此 σ \sigma σ 域满足 λ \lambda λ 系定义的第二条，故 σ \sigma σ 域是 λ \lambda λ 系

小结

通过以上的讨论，我们得到了所定义的七个集合系之间的由宽松到严紧的下列顺序： π   系 → 半 环 → 环 → 域 → σ   域 单 调 系 → λ   系 → σ   域 \begin{aligned} & \pi \text{ } 系 \rightarrow 半环 \rightarrow 环 \rightarrow 域 \rightarrow \sigma \text{ } 域\\ & 单调系 \rightarrow \lambda \text{ } 系 \rightarrow \sigma \text{ } 域 \end{aligned} ​π 系→半环→环→域→σ 域单调系→λ 系→σ 域​从而构造出了我们所需的、可以建立严谨测度的 σ \sigma σ 域，今后我们将空间 X X X 与其上的一个 σ \sigma σ 域 F \mathscr{F} F 放在一起写作 ( X , F ) (X, \mathscr{F}) (X,F)，称其为 可测空间，对于 σ \sigma σ 域的判定，我们有如下命题：

命题 1.2.3   \bm{1.2.3}\text{ } 1.2.3  求证：一个既是单调系又是域的集合系是 σ \sigma σ 域（简记为 M + A = σ – A \mathscr{M}+\mathscr{A}=\sigma \text{--} \mathscr{A} M+A=σ–A）

证：记这个集合系为 F \mathscr{F} F，因为 F \mathscr{F} F 是域，所以它对有限并封闭，又因为 F \mathscr{F} F 是单调系，所以它对极限封闭，因此对任意序列 A n A_n An​ 我们有        ∀ A n ∈ F n = 1 , 2 , … ⇒ ⋃ k = 1 n A k ∈ F , n = 1 , 2 , … ⇒ ⋃ n = 1 ∞ A n = ⋃ n = 1 ∞ ⋃ k = 1 n A k = lim ⁡ n → ∞ ⋃ k = 1 n A k ∈ F n = 1 , 2 , … \begin{aligned} & \text{\ \ \ \ \ \ } \forall A_n \in \mathscr{F} & n=1,2,\dots\\ & \Rightarrow \bigcup \limits_{k=1}^{n}A_k \in \mathscr{F}, & n=1,2,\dots\\ & \Rightarrow \bigcup \limits_{n=1}^{\infin}A_n = \bigcup \limits_{n=1}^{\infin} \bigcup \limits_{k=1}^{n}A_k = \lim \limits_{n \rightarrow \infin} \bigcup \limits_{k=1}^{n} A_k \in \mathscr{F} & n=1,2,\dots\\ \end{aligned} ​      ∀An​∈F⇒k=1⋃n​Ak​∈F,⇒n=1⋃∞​An​=n=1⋃∞​k=1⋃n​Ak​=n→∞lim​k=1⋃n​Ak​∈F​n=1,2,…n=1,2,…n=1,2,…​故 F \mathscr{F} F 对可列并封闭， F \mathscr{F} F 是空间 X X X 上的 σ \sigma σ 域

命题 1.2.4   \bm{1.2.4}\text{ } 1.2.4  求证：一个既是 π \pi π 系又是 λ \lambda λ 系的集合系是 σ \sigma σ 域（简记为 P + L = σ – A \mathscr{P}+\mathscr{L}=\sigma \text{--} \mathscr{A} P+L=σ–A）

证：记这个集合系为 F \mathscr{F} F，因为 F \mathscr{F} F 是 λ \lambda λ 系，因此我们有 X ∈ F ; ∀ A ∈ F ⇒ A c = X ∖ A ∈ F \begin{aligned} & X \in \mathscr{F};\\ & \forall A \in \mathscr{F} \Rightarrow A^c =X \setminus A \in \mathscr{F} \end{aligned} ​X∈F;∀A∈F⇒Ac=X∖A∈F​又因为 F \mathscr{F} F 是一个 π \pi π 系，所以 F \mathscr{F} F 是一个域，同时因为 F \mathscr{F} F 是一个 λ \lambda λ 系，所以它是一个单调系，由命题 1.2.3 1.2.3 1.2.3 可知 F \mathscr{F} F 是空间 X X X 上的 σ \sigma σ 域

除却这七个基本集合系，还有一个特殊集合系被称为 σ \sigma σ 环

σ \sigma σ 环：如果非空集合系 R \mathscr{R} R 满足 ∀ A , B ∈ R ⇒ A ∖ B ∈ R ; ∀ A n ∈ R , n = 1 , 2 , ⋯ ⇒ ⋃ n = 1 ∞ A n ∈ R \begin{aligned} & \forall A, B \in \mathscr{R} \Rightarrow A \setminus B \in \mathscr{R};\\ & \forall A_n \in \mathscr{R}, n=1,2,\dots \Rightarrow \bigcup \limits_{n=1}^{\infin}A_n \in \mathscr{R} \end{aligned} ​∀A,B∈R⇒A∖B∈R;∀An​∈R,n=1,2,⋯⇒n=1⋃∞​An​∈R​则称 R \mathscr{R} R 为空间 X X X 上的 σ \sigma σ 环

显然：一个对可列并运算封闭的环是 σ \sigma σ 环，一个包含空间 X X X 的 σ \sigma σ 环是 σ \sigma σ 域