反向传播算法（Backpropagation Algorithm，简称BP算法）是深度学习的重要思想基础，对于初学者来说也是必须要掌握的基础知识！本文希望以一个清晰的脉络和详细的说明，来让读者彻底明白BP算法的原理和计算过程。
本文主要介绍BP算法的原理（即公式的推导），介绍完原理之后，我们会将一些具体的数据带入一个简单的三层神经网络中，去完整的体验一遍BP算法的计算过程。
1.BP算法的推导
图1 一个简单的三层神经网络
图1所示是一个简单的三层（两个隐藏层，一个输出层）神经网络结构，假设我们使用这个神经网络来解决二分类问题，我们给这个网络一个输入样本 ，通过前向运算得到输出 。输出值的值域为(0,1)，例如输出的值越接近0，代表该样本是“0”类的可能性越大，反之是“1”类的可能性大。
1.1前向传播的计算
为了便于理解后续的内容，我们需要先搞清楚前向传播的计算过程，以图1所示的内容为例：
输入的样本为：
第一层网络的参数为：
第二层网络的参数为：
第三层网络的参数为：
1.1.1第一层隐藏层的计算
图2 计算第一层隐藏层
1.1.2第二层隐藏层的计算
图3 计算第二层隐藏层
第二层隐藏层有两个神经元：
和
。该层的输入为：
即第二层的输入是第一层的输出乘以第二层的权重，再加上第二层的偏置。因此得到
和
的输入分别为：
该层的输出分别为：
和
.
1.1.3输出层的计算
图4 计算输出层
输出层只有一个神经元：
，该层的输入为：
所以：
单纯的公式推导看起来有些枯燥，下面我们将实际的数据带入图1所示的神经网络中，完整的计算一遍。
2.图解BP算法
图5 图解BP算法
我们依然使用如图5所示的简单的神经网络，其中所有参数的初始值如下：
输入的样本为（假设其真实类标为“1”）：
第一层网络的参数为：
第二层网络的参数为：
第三层网络的参数为：
其实，对该损失函数求导就会得到残差，这个残差就正好是前面所说的误差项 。
2.1前向传播
我们首先初始化神经网络的参数，计算第一层神经元：
=1*0.997510281884102 + 3*0.999874045072167 + 2
= 5.9971324171006
2.2误差反向传播
接着计算第二层隐藏层的误差项，根据误差项的计算公式有：
最后是计算第一层隐藏层的误差项：
2.3更新参数
上一小节中我们已经计算出了每一层的误差项，现在我们要利用每一层的误差项和梯度来更新每一层的参数，权重W和偏置b的更新公式如下：
通常权重W的更新会加上一个正则化项来避免过拟合，这里为了简化计算，我们省去了正则化项。上式中的 是学习率，我们设其值为0.1。参数更新的计算相对简单，每一层的计算方式都相同，因此本文仅演示第一层隐藏层的参数更新：
3.小结
至此，我们已经完整介绍了BP算法的原理，并使用具体的数值做了计算