反向傳播算法（Backpropagation Algorithm，簡稱BP算法）是深度學習的重要思想基礎，對于初學者來說也是必須要掌握的基礎知識！本文希望以一個清晰的脈絡和詳細的說明，來讓讀者徹底明白BP算法的原理和計算過程。
本文主要介紹BP算法的原理（即公式的推導），介紹完原理之後，我們會将一些具體的資料帶入一個簡單的三層神經網絡中，去完整的體驗一遍BP算法的計算過程。
1.BP算法的推導
圖1 一個簡單的三層神經網絡
圖1所示是一個簡單的三層（兩個隐藏層，一個輸出層）神經網絡結構，假設我們使用這個神經網絡來解決二分類問題，我們給這個網絡一個輸入樣本 ，通過前向運算得到輸出 。輸出值的值域為(0,1)，例如輸出的值越接近0，代表該樣本是“0”類的可能性越大，反之是“1”類的可能性大。
1.1前向傳播的計算
為了便于了解後續的内容，我們需要先搞清楚前向傳播的計算過程，以圖1所示的内容為例：
輸入的樣本為：
第一層網絡的參數為：
第二層網絡的參數為：
第三層網絡的參數為：
1.1.1第一層隐藏層的計算
圖2 計算第一層隐藏層
1.1.2第二層隐藏層的計算
圖3 計算第二層隐藏層
第二層隐藏層有兩個神經元：
和
。該層的輸入為：
即第二層的輸入是第一層的輸出乘以第二層的權重，再加上第二層的偏置。是以得到
和
的輸入分别為：
該層的輸出分别為：
和
.
1.1.3輸出層的計算
圖4 計算輸出層
輸出層隻有一個神經元：
，該層的輸入為：
是以：
單純的公式推導看起來有些枯燥，下面我們将實際的資料帶入圖1所示的神經網絡中，完整的計算一遍。
2.圖解BP算法
圖5 圖解BP算法
我們依然使用如圖5所示的簡單的神經網絡，其中所有參數的初始值如下：
輸入的樣本為（假設其真實類标為“1”）：
第一層網絡的參數為：
第二層網絡的參數為：
第三層網絡的參數為：
其實，對該損失函數求導就會得到殘差，這個殘差就正好是前面所說的誤差項 。
2.1前向傳播
我們首先初始化神經網絡的參數，計算第一層神經元：
=1*0.997510281884102 + 3*0.999874045072167 + 2
= 5.9971324171006
2.2誤差反向傳播
接着計算第二層隐藏層的誤差項，根據誤差項的計算公式有：
最後是計算第一層隐藏層的誤差項：
2.3更新參數
上一小節中我們已經計算出了每一層的誤差項，現在我們要利用每一層的誤差項和梯度來更新每一層的參數，權重W和偏置b的更新公式如下：
通常權重W的更新會加上一個正則化項來避免過拟合，這裡為了簡化計算，我們省去了正則化項。上式中的 是學習率，我們設其值為0.1。參數更新的計算相對簡單，每一層的計算方式都相同，是以本文僅示範第一層隐藏層的參數更新：
3.小結
至此，我們已經完整介紹了BP算法的原理，并使用具體的數值做了計算