hdu3032 Nim or not Nim?

题目：

给定 n n n堆石子，第 i i i堆有 a i a_i ai​个石子，Alice和Bob两个人轮流操作，每次可以从任意一堆中取走若干或将1堆石子拆成两个非空石子堆，两个人采取最优策略，Alice先手，问谁赢。

( 1 ≤ n ≤ 1 0 6 , 1 ≤ a i < 2 31 ) (1 \le n \le 10^6,1 \le a_i < 2^{31}) (1≤n≤106,1≤ai​<231)

题解：

这种博弈叫 L a s k e r ′ s N i m Lasker's Nim Lasker′sNim。

首先每个石堆都是独立的，所以我们可以算出单堆的 S G SG SG函数，然后套用 S G SG SG的和。将一堆中还剩的石子数作为游戏的状态， S G ( [ 0 ] ) = 0 , S G ( [ 1 ] ) = 1 SG([0])=0,SG([1])=1 SG([0])=0,SG([1])=1， [ k ] [k] [k]的后继状态可以为 [ 0 ] , [ 1 ] , . . . , [ k − 1 ] , [ i ] + [ k − i ] ( 1 ≤ i ≤ k − 1 ) [0],[1],...,[k-1],[i]+[k-i](1 \le i \le k-1) [0],[1],...,[k−1],[i]+[k−i](1≤i≤k−1)。求出 0 − n 0-n 0−n的 S G SG SG的复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，但这道题石子的值域很大，无法直接求 S G SG SG，考虑小范围进行 S G SG SG打表，找规律。可得规律为：当 n % 4 = 1 n\%4=1 n%4=1或 n % 4 = 2 n\%4=2 n%4=2时 S G ( [ n ] ) = n SG([n])=n SG([n])=n；当 n % 4 = 3 n \% 4=3 n%4=3时 S G ( [ n ] ) = n + 1 SG([n])=n+1 SG([n])=n+1；当 n % 4 = 0 n \% 4=0 n%4=0时 S G ( [ n ] ) = n − 1 SG([n])=n-1 SG([n])=n−1。因为有 n n n堆，所以将 n n n堆的 S G SG SG异或一下，如果为0，Bob赢，否则Alice赢。

复杂度： O ( n ) O(n) O(n)

代码：

内附打表程序

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<string>
#include<bitset>
#include<sstream>
#include<ctime>
//#include<chrono>
//#include<random>
//#include<unordered_map>
using namespace std;

#define ll long long
#define ls o<<1
#define rs o<<1|1
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
const double pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-6;
const int mod=1e9+7;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e5+5;
ll read(){
	ll x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
//打表
int sg[maxn],vis[1005];
void sg_table(int n){
	sg[0]=0;sg[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		for(int j=0;j<=i-1;j++)vis[sg[j]]=1;
		for(int j=1;j<=i-1;j++){
			vis[sg[j]^sg[i-j]]=1;
		}
		for(int j=0;;j++){
			if(!vis[j]){
				sg[i]=j;
				break;
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<=n;i++){
		printf("%d %d\n",i,sg[i]);
	}
}
//==========================================
int T,n;
int a[maxn];
int main(void){
	//freopen("in.txt","r",stdin);
	// sg_table(50);
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		int ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&a[i]);
			int cur;
			if(a[i]%4==1||a[i]%4==2)cur=a[i];
			else if(a[i]%4==3)cur=a[i]+1;
			else cur=a[i]-1;
			ans^=cur;
		}
		if(ans==0){
			puts("Bob");
		}
		else{
			puts("Alice");
		}
	}
	return 0;
}