907. 子数组的最小值之和 : 常规「单调栈 + 数学」运用题

题目描述

这是 LeetCode 上的 ​​908. 最小差值 I​​ ，难度为 中等。

Tag : 「数学」、「单调栈」

给定一个整数数组 ​

​arr​

​​，找到 ​

​min(b)​

​​ 的总和，其中 ​

​b​

​​ 的范围为 ​

​arr​

​ 的每个（连续）子数组。

由于答案可能很大，因此 返回答案模

示例 1：

输入：arr = [3,1,2,4]

输出：17

解释：
子数组为 [3]，[1]，[2]，[4]，[3,1]，[1,2]，[2,4]，[3,1,2]，[1,2,4]，[3,1,2,4]。
最小值为 3，1，2，4，1，1，2，1，1，1，和为 17。      

示例 2：

输入：arr = [11,81,94,43,3]

输出：444      

提示：

单调栈 + 数学

原题解链接在 ​​这里​​，本次增加了更为详细的细节说明。

原问题为求所有子数组的最小值之和。

统计所有子数组需要枚举左右端点，复杂度为 ，对于每个子数组，我们还需要通过线性扫描的方式找到其最小值，复杂度为 ，因此朴素解法的整体复杂度为 ，题目给定数据范围为 ，会 ​​

​TLE​

​。

由于我们是从子数组中取最小值来进行累加，即参与答案构成的每个数必然某个具体的 。

因此我们可以将原问题转化为「考虑统计每个

对于某一个

我们可以想象以 为中心，分别往两端进行拓展，只要新拓展的边界不会改变「

换句话说，我们需要找到 作为最小值的最远左右边界，即找到 左右最近一个比其小的位置 ​​

​l​

​​ 和 ​

​r​

​。

在给定序列中，找到任意

到这里，我们会自然想到，通过单调栈的方式，分别预处理除 ​

​l​

​​ 和 ​

​r​

​ 数组：

• ​

  ​l[i] = loc​

  ​​ 含义为下标 ​

  ​i​

  ​​ 左边最近一个比 ​

  ​arr[i]​

  ​​ 小的位置是 ​

  ​loc​

  ​​（若在 左侧不存在比其小的数，则 ​​

  ​loc = -1​

  ​）
• ​

  ​r[i] = loc​

  ​​ 含义为下标 ​

  ​i​

  ​​ 右边最近一个比 ​

  ​arr[i]​

  ​​ 大的位置是 ​

  ​loc​

  ​​（若在 左侧不存在比其大的数，则 ​​

  ​loc = n​

  ​）

当我们预处理两数组后，通过简单「乘法原理」即可统计以

• 包含 的子数组左端点个数为
• 包含 的子数组右端点个数为

子数组的个数 子数组最小值 ，即是当前 对答案的贡献：。

统计所有 对答案的贡献即是最终答案，但我们忽略了「当 ​

​arr​

​ 存在重复元素，且该元素作为子数组最小值时，最远左右端点的边界越过重复元素时，导致重复统计子数组」的问题。

我们不失一般性的举个 🌰 来理解（下图）：

为了消除这种重复统计，我们可以将「最远左右边界」的一端，从「严格小于」调整为「小于等于」，从而实现半开半闭的效果。

Java 代码：

class Solution {
    int MOD = (int)1e9+7;
    public int sumSubarrayMins(int[] arr) {
        int n = arr.length, ans = 0;
        int[] l = new int[n], r = new int[n];
        Arrays.fill(l, -1); Arrays.fill(r, n);
        Deque<Integer> d = new ArrayDeque<>();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            while (!d.isEmpty() && arr[d.peekLast()] >= arr[i]) r[d.pollLast()] = i;
            d.addLast(i);
        }
        d.clear();
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            while (!d.isEmpty() && arr[d.peekLast()] > arr[i]) l[d.pollLast()] = i;
            d.addLast(i);
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int a = i - l[i], b = r[i] - i;
            ans += a * 1L * b % MOD * arr[i] % MOD;
            ans %= MOD;
        }
        return ans;
    }
}      

TypeScript 代码：

const MOD = 1000000007
function sumSubarrayMins(arr: number[]): number {
    let n = arr.length, ans = 0
    const l = new Array<number>(n).fill(-1), r = new Array<number>(n).fill(n)
    const stk = new Array<number>(n).fill(0)
    let he = 0, ta = 0
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        while (he < ta && arr[stk[ta - 1]] >= arr[i]) r[stk[--ta]] = i
        stk[ta++] = i
    }
    he = ta = 0
    for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
        while (he < ta && arr[stk[ta - 1]] > arr[i]) l[stk[--ta]] = i
        stk[ta++] = i
    }
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        const a = i - l[i], b = r[i] - i
        ans += a * b % MOD * arr[i] % MOD
        ans %= MOD
    }
    return ans
}      

Python 代码：

class Solution:
    def sumSubarrayMins(self, arr: List[int]) -> int:
        n, ans = len(arr), 0
        l, r = [-1] * n, [n] * n
        stk = []
        for i in range(n):
            while stk and arr[stk[-1]] >= arr[i]:
                r[stk.pop()] = i
            stk.append(i)
        stk = []
        for i in range(n - 1, -1, -1):
            while stk and arr[stk[-1]] > arr[i]:
                l[stk.pop()] = i
            stk.append(i)
        for i in range(n):
            a, b = i - l[i], r[i] - i
            ans += a * b * arr[i]
        return ans % (10 ** 9 + 7)      

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：

优化

实际上，当我们从栈中弹出某个 时，其右边界必然是导致其弹出的 ​​

​arr[r]​

​​（当前所遍历到的元素），而 若存在左边界，必然是位于 栈中的前一位置，即 弹出后的新栈顶元素（若不存在物理左边界，则左边界为 ）。

Java 代码：

class Solution {
    int MOD = (int)1e9+7;
    public int sumSubarrayMins(int[] arr) {
        int n = arr.length, ans = 0;
        Deque<Integer> d = new ArrayDeque<>();
        for (int r = 0; r <= n; r++) {
            int t = r < n ? arr[r] : 0;
            while (!d.isEmpty() && arr[d.peekLast()] >= t) {
                int cur = d.pollLast();
                int l = d.isEmpty() ? -1 : d.peekLast();
                int a = cur - l, b = r - cur;
                ans += a * 1L * b % MOD * arr[cur] % MOD;
                ans %= MOD;
            }
            d.addLast(r);
        }
        return ans;
    }
}      

TypeScript 代码：

const MOD = 1000000007
function sumSubarrayMins(arr: number[]): number {
    let n = arr.length, ans = 0
    const stk = new Array<number>(n).fill(0)
    let he = 0, ta = 0
    for (let r = 0; r <= n; r++) {
        const t = r < n ? arr[r] : 0
        while (he < ta && arr[stk[ta - 1]] >= t) {
            const cur = stk[--ta]
            const l = he < ta ? stk[ta - 1] : -1
            const a = cur - l, b = r - cur
            ans += a * b % MOD * arr[cur] % MOD
            ans %= MOD
        }
        stk[ta++] = r
    }
    return ans
}      

Python 代码：

class Solution:
    def sumSubarrayMins(self, arr: List[int]) -> int:
        n, ans = len(arr), 0
        stk = []
        for r in range(n + 1):
            t = arr[r] if r < n else 0
            while stk and arr[stk[-1]] >= t:
                cur = stk.pop()
                l = stk[-1] if stk else -1
                a, b = cur - l, r - cur
                ans += a * b * arr[cur]
            stk.append(r)
        return ans % (10 ** 9 + 7)      

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​

​No.907​

​ 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。