【数学模拟卷总结】2023李林六套卷数学二第一套

写个这个系列是为了逼自己总结。

题目复盘

1. 把题给的三个无穷小量的最后一个 γ \gamma γ改写为 γ = 1 e c x \gamma=\frac{1}{e^{cx}} γ=ecx1​，然后比较分母的三个无穷大量，所谓的高阶无穷小就是趋近于0的速度快，其倒数趋近于无穷的速度快，也就是说 α , β , γ \alpha ,\beta, \gamma α,β,γ的分母中那个一个分母趋近于无穷的速度快，其无穷小的阶数越高，本题用一下结论很快判断：当 x → ∞ x\rightarrow \infin x→∞时， ln ⁡ x < x a < b x < x ! < x x ( a > 0 , b > 1 ) \ln x<x^{a}<b^{x}<x !<x^{x}(a>0, b>1) lnx<xa<bx<x!<xx(a>0,b>1)。
2. 参数分离，把要证明的不等式同时取对数变成 l n ( l n x ) ≤ a l n x ln(lnx)\le alnx ln(lnx)≤alnx，然后令辅助函数 F ( x ) = l n ( l n x ) l n x F(x)=\frac{ln(lnx)}{lnx} F(x)=lnxln(lnx)​，求导数画一下图像对比其和 y = a y=a y=a就做出来了。

3. 本题用到这个结论： lim ⁡ n → ∞ a 1 n + a 2 n + … + a m n n = max ⁡ { a 1 , a 2 , … , a m } , a i ≥ 0 , i = 1 , 2 , … , m \lim _{n \rightarrow \infty}\limits \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\ldots+a_{m}^{n}}=\max \left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}\right\}, a_{i} \geq 0, i=1,2, \ldots, m n→∞lim​na1n​+a2n​+…+amn​ ⎨ ⎧​0,x<0+∞,x>01,x=0​，根据这个写分段函数再左加右减平移就好了，除了这个还有另外另个结论需要记住：

   （1） lim ⁡ n → ∞ x 2 n = { ∞ , ∣ x ∣ > 1 1 , x = ± 1 , 0 , ∣ x ∣ < 1 \lim _{n \rightarrow \infty}\limits x^{2 n}=\left\{\begin{array}{l} \infty,|x|>1 \\ 1, x=\pm 1, \\ 0,|x|<1 \end{array}\right. n→∞lim​x2n=⎩ ⎨ ⎧​∞,∣x∣>11,x=±1,0,∣x∣<1​；

   （2） lim ⁡ n → ∞ x n = { 0 , ∣ x ∣ < 1 ∞ , ∣ x ∣ > 1 1 , x = 1  不存在,  x = − 1 \lim _{n \rightarrow \infty}\limits x^{n}=\left\{\begin{array}{l} 0,|x|<1 \\ \infty,|x|>1 \\ 1, x=1 \\ \text { 不存在, } x=-1 \end{array}\right. n→∞lim​xn=⎩ ⎨ ⎧​0,∣x∣<1∞,∣x∣>11,x=1 不存在, x=−1​

4. **新颖的题目，将极坐标改写成关于 θ \theta θ的参数方程，我在模拟考试的时候真想到了，就是思考了半天，这题我和答案思路一样，因为题目新颖，记录一下：

   

   

5. ***这题我以为我算错了，实际上没算错，我以为又是个计算错误的题，要加强计算的准确性，结果是答案是继续算了一步，把 y y y代入了，我没代入，结果是一样，没算错，形式是一样的，重新复盘如下：

   

   

   我觉得我用克拉默法则比答案做的快一些。
6. 代入旋转体公式，然后求出积分（求积分用加1减1的技巧），最后取极限就做出来了
7. 所求行列式的矩阵右侧乘 A \boldsymbol A A就算出来了，就是别忘了这个结论就行：

   

8. 整理后分母趋近于无穷，用广义洛必达法则，然后下一步不能洛了，我是用的泰勒把 s i n 1 x sin\frac{1}{x} sinx1​给展开了，答案拆开做也是一样的，就是注意下不能洛必达的原因：

   

9. ***这题我做错了，这题我没用好雅克比行列式（王谱老师讲二重积分雅克比换元法），我没理解好雅克比行列式求完后要取绝对值，那个微元永远是正的，这个题目用雅克比行列式很简单，比答案做的要爽多了，重新改正如下：

   

再来看看答案的做法

极坐标，也不是太复杂，但是积分形式看着好烦。

1. 根据全微分形式知道 x x x和 y y y的偏导数，解一下关于 x x x偏微分方程，然后再对这个解求关于 y y y偏导数，发现 h ( y ) = ? + ( a − b ) x h(y)=?+(a-b)x h(y)=?+(a−b)x，单独的 h ( y ) h(y) h(y)是不可能出现含 x x x的项的，所以 a = b a=b a=b，或者像答案一样用一下二阶混合偏导数相等也能求出来，然后再带入初值条件第一问做完了，第二问注意一下求的是距离的最大值，求谁，谁就是 g ( x , y ) g(x,y) g(x,y),边界条件是 f ( x , y ) = 0 f(x,y)=0 f(x,y)=0，就设 h ( x , y , λ ) = g ( x , y ) + λ f ( x , y ) h(x,y,\lambda )=g(x,y)+\lambda f(x,y) h(x,y,λ)=g(x,y)+λf(x,y)，解一下就好了，我在模考的时候把两个函数弄反了，不过很快就发现错误改正了。
2. 根据题目条件用弧长公式和定积分做一个变上限积分解微分方程即可，最后可以看到它的解是一个变种的双曲函数（好像考研挺喜欢考双曲函数做解的一阶微分方程的）
3. 函数二阶可导，函数连续，题给极限式能推出 x = 1 x=1 x=1这一点的函数值和一阶导数值， f ( 1 ) = f ( 0 ) f(1)=f(0) f(1)=f(0)用一下罗尔定理，第一问结束，第二问，构造函数，它要二阶导数的，那就一层一层推回一阶导数的形式即可，按答案那种做法就OK
4. ***这题最后一问形式因为着急写错了，又是相似传递性，然后做两个矩阵相乘求出矩阵 P \boldsymbol P P的问题，最后写出来的是一个类似行向量的形式，我写成列向量了，大意了，那样就相当于把矩阵的行数扩大三倍了。

总结

这套卷题目新颖，需要我好好品味，我要继续努力加油