【數學模拟卷總結】2023李林六套卷數學二第一套

寫個這個系列是為了逼自己總結。

題目複盤

1. 把題給的三個無窮小量的最後一個 γ \gamma γ改寫為 γ = 1 e c x \gamma=\frac{1}{e^{cx}} γ=ecx1​，然後比較分母的三個無窮大量，所謂的高階無窮小就是趨近于0的速度快，其倒數趨近于無窮的速度快，也就是說 α , β , γ \alpha ,\beta, \gamma α,β,γ的分母中那個一個分母趨近于無窮的速度快，其無窮小的階數越高，本題用一下結論很快判斷：當 x → ∞ x\rightarrow \infin x→∞時， ln ⁡ x < x a < b x < x ! < x x ( a > 0 , b > 1 ) \ln x<x^{a}<b^{x}<x !<x^{x}(a>0, b>1) lnx<xa<bx<x!<xx(a>0,b>1)。
2. 參數分離，把要證明的不等式同時取對數變成 l n ( l n x ) ≤ a l n x ln(lnx)\le alnx ln(lnx)≤alnx，然後令輔助函數 F ( x ) = l n ( l n x ) l n x F(x)=\frac{ln(lnx)}{lnx} F(x)=lnxln(lnx)​，求導數畫一下圖像對比其和 y = a y=a y=a就做出來了。

3. 本題用到這個結論： lim ⁡ n → ∞ a 1 n + a 2 n + … + a m n n = max ⁡ { a 1 , a 2 , … , a m } , a i ≥ 0 , i = 1 , 2 , … , m \lim _{n \rightarrow \infty}\limits \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\ldots+a_{m}^{n}}=\max \left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}\right\}, a_{i} \geq 0, i=1,2, \ldots, m n→∞lim​na1n​+a2n​+…+amn​ ⎨ ⎧​0,x<0+∞,x>01,x=0​，根據這個寫分段函數再左加右減平移就好了，除了這個還有另外另個結論需要記住：

   （1） lim ⁡ n → ∞ x 2 n = { ∞ , ∣ x ∣ > 1 1 , x = ± 1 , 0 , ∣ x ∣ < 1 \lim _{n \rightarrow \infty}\limits x^{2 n}=\left\{\begin{array}{l} \infty,|x|>1 \\ 1, x=\pm 1, \\ 0,|x|<1 \end{array}\right. n→∞lim​x2n=⎩ ⎨ ⎧​∞,∣x∣>11,x=±1,0,∣x∣<1​；

   （2） lim ⁡ n → ∞ x n = { 0 , ∣ x ∣ < 1 ∞ , ∣ x ∣ > 1 1 , x = 1  不存在,  x = − 1 \lim _{n \rightarrow \infty}\limits x^{n}=\left\{\begin{array}{l} 0,|x|<1 \\ \infty,|x|>1 \\ 1, x=1 \\ \text { 不存在, } x=-1 \end{array}\right. n→∞lim​xn=⎩ ⎨ ⎧​0,∣x∣<1∞,∣x∣>11,x=1 不存在, x=−1​

4. **新穎的題目，将極坐标改寫成關于 θ \theta θ的參數方程，我在模拟考試的時候真想到了，就是思考了半天，這題我和答案思路一樣，因為題目新穎，記錄一下：

   

   

5. ***這題我以為我算錯了，實際上沒算錯，我以為又是個計算錯誤的題，要加強計算的準确性，結果是答案是繼續算了一步，把 y y y代入了，我沒代入，結果是一樣，沒算錯，形式是一樣的，重新複盤如下：

   

   

   我覺得我用克拉默法則比答案做的快一些。
6. 代入旋轉體公式，然後求出積分（求積分用加1減1的技巧），最後取極限就做出來了
7. 所求行列式的矩陣右側乘 A \boldsymbol A A就算出來了，就是别忘了這個結論就行：

   

8. 整理後分母趨近于無窮，用廣義洛必達法則，然後下一步不能洛了，我是用的泰勒把 s i n 1 x sin\frac{1}{x} sinx1​給展開了，答案拆開做也是一樣的，就是注意下不能洛必達的原因：

   

9. ***這題我做錯了，這題我沒用好雅克比行列式（王譜老師講二重積分雅克比換元法），我沒了解好雅克比行列式求完後要取絕對值，那個微元永遠是正的，這個題目用雅克比行列式很簡單，比答案做的要爽多了，重新改正如下：

   

再來看看答案的做法

極坐标，也不是太複雜，但是積分形式看着好煩。

1. 根據全微分形式知道 x x x和 y y y的偏導數，解一下關于 x x x偏微分方程，然後再對這個解求關于 y y y偏導數，發現 h ( y ) = ? + ( a − b ) x h(y)=?+(a-b)x h(y)=?+(a−b)x，單獨的 h ( y ) h(y) h(y)是不可能出現含 x x x的項的，是以 a = b a=b a=b，或者像答案一樣用一下二階混合偏導數相等也能求出來，然後再帶入初值條件第一問做完了，第二問注意一下求的是距離的最大值，求誰，誰就是 g ( x , y ) g(x,y) g(x,y),邊界條件是 f ( x , y ) = 0 f(x,y)=0 f(x,y)=0，就設 h ( x , y , λ ) = g ( x , y ) + λ f ( x , y ) h(x,y,\lambda )=g(x,y)+\lambda f(x,y) h(x,y,λ)=g(x,y)+λf(x,y)，解一下就好了，我在模考的時候把兩個函數弄反了，不過很快就發現錯誤改正了。
2. 根據題目條件用弧長公式和定積分做一個變上限積分解微分方程即可，最後可以看到它的解是一個變種的雙曲函數（好像考研挺喜歡考雙曲函數做解的一階微分方程的）
3. 函數二階可導，函數連續，題給極限式能推出 x = 1 x=1 x=1這一點的函數值和一階導數值， f ( 1 ) = f ( 0 ) f(1)=f(0) f(1)=f(0)用一下羅爾定理，第一問結束，第二問，構造函數，它要二階導數的，那就一層一層推回一階導數的形式即可，按答案那種做法就OK
4. ***這題最後一問形式因為着急寫錯了，又是相似傳遞性，然後做兩個矩陣相乘求出矩陣 P \boldsymbol P P的問題，最後寫出來的是一個類似行向量的形式，我寫成列向量了，大意了，那樣就相當于把矩陣的行數擴大三倍了。

總結

這套卷題目新穎，需要我好好品味，我要繼續努力加油