二重背包问题 动态规划求解

多重背包问题

考虑最一般形式的背包问题（动态规划算法)，如下：

输入一个整数W和V,W和V代表背包可容纳的最大重量和最大体积；

输入N个整数，代表N种物品；每个物品有4种属性，分别是重量、体积、价值、数量；

以下依次输入的N行数，每行的四个数分别代表四种属性；

求可以获得的最大价值；

sample input:

215 130

10

12 9 16 4

16 4 5 4

15 12 11 3

7 17 5 2

12 9 16 4

13 2 17 1

19 14 6 5

9 8 1 2

14 8 6 5

18 1 12 3

sample output:

219

//s 数组存储了物品的四个属性，w,v分别为最大载重和最大容纳的体积

1.最为基本的考虑方式是使用一个三维数组来存储：

f[i][j][k]表示考虑前i个物品，背包载重为j，容纳体积为k时可获得的最大价值

public static int F(int[][] s, int w, int v, int n){
        int[][][] f = new int[n + 1][w + 1][v + 1];
        int i, j, k, r;
        for(i = 1; i <= n; i ++){
            for(j = 1; j <= w; j++){
                for(k = 1; k <= v; k ++){
                        for (r = 0; r <= s[i - 1][3] && j - r * s[i - 1][0] >= 0 && k - r * s[i - 1][1] >= 0; r++) {
                            f[i][j][k] = Math.max(f[i - 1][j][k], f[i - 1][j - r * s[i - 1][0]][k - r * s[i - 1][1]] + s[i - 1][2] * r);
                        }
                }
            }
        }
           

2、上述方式的内存占用较大，发现迭代时只用了前一组数据和当前的数据，故可以考虑如下的简化：

倒序遍历时之前的数据还没被更新，不用额外去存储一次

public static int H(int[][] s, int w, int v, int n){
        int[][] f = new int[w + 1][v + 1];
        int i, j, k, r;
        for(i = 1; i <= n; i ++){
            for(j = w; j >=0; j --) {
                for (k = v; k >= 0; k--) {
                    r = 0;
                    while (r <= s[i - 1][3] && j - r * s[i - 1][0] >= 0 && k - r * s[i - 1][1] >= 0) {
                        f[j][k] = Math.max(f[j][k], f[j - r * s[i - 1][0]][k - r * s[i - 1][1]] + s[i - 1][2] * r);
                        r ++;
                    }
                }
            }
        }
        return f[w][v];
    }
           

3、对于数据量较大的问题，2中代码运行相对较慢，故考虑用二进制优化

获取输入并存储物品属性的时候改用Arraylist,方便进行二进制优化

Scanner input = new Scanner(System.in);
        ArrayList<int[]> tab = new ArrayList<>();
        int W = input.nextInt();
        int V = input.nextInt();
        int n = input.nextInt();
        int num, t;
        int[] p = new int[3];
        for(int i = 0; i < n; i ++){
            for(int j = 0; j < 3; j ++)
                p[j] = input.nextInt();
            num = input.nextInt();
            t = 1;
            while(num - t > 0){
                int[] temp = new int[3];
                for(int k = 0; k < 3; k ++)
                    temp[k] = p[k] * t;
                tab.add(temp);
                num -= t;
                t <<= 1;
            }
            if(num - t <= 0){
                int[] temp = new int[3];
                for(int k = 0; k < 3; k ++)
                    temp[k] = p[k] * num;
                tab.add(temp);
            }
        }
        input.close();
           

进一步的DP计算：

public static int F(ArrayList<int[]> s, int w, int v){
        int[][] f = new int[w + 1][v + 1];
        int i, j;
        for(int[] p : s){
            for(i = w; i >= 0; i --){
                for(j = v; j >= 0; j--){
                    if(i - p[0] >=0 && j - p[1] >=0)
                        f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i - p[0]][j - p[1]] + p[2]);
                }
            }
        }
        return f[w][v];
    }
           

//二进制优化的想法来源于其他大佬，笔者发现网上绝大多数是c++代码，没有发现java版本的，故尝试写了个java版本的