题意:50000位以内的高精度乘法。
思路:熟悉一下FFT的用法。多项式的乘法实际上是多项式系数向量的卷积,利用FFT进行多项式乘法,步骤如下:
1.补零:在两个多项式的最前面补零,得到两个2n次的多项式,设系数向量分别为v1,v2。
2.求值:用FFT计算f1 = DFT(v1), f2 = DFT(v2)。这里得到的f1,分别是两个输入多项式在2n次单位根处的各个取值(即点值表示)。
3.乘法:把两个向量f1, f2的每一维相乘得到向量f。它对应输入多项式的点值表示。
4.插值:用FFT计算v=IDFT(f),其中v就是乘积的系数向量。
关于卷积,有一个神解释..........
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
#define eps 1e-6
#define LL long long
#define pii (pair<int, int>)
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;
const int maxn = 400000;
//const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double PI = acos(-1.0);
//复数结构体
struct complex
{
double r,i;
complex(double _r = 0.0,double _i = 0.0)
{
r = _r; i = _i;
}
complex operator +(const complex &b)
{
return complex(r+b.r,i+b.i);
}
complex operator -(const complex &b)
{
return complex(r-b.r,i-b.i);
}
complex operator *(const complex &b)
{
return complex(r*b.r-i*b.i,r*b.i+i*b.r);
}
};
/*
* 进行FFT和IFFT前的反转变换。
* 位置i和 (i二进制反转后位置)互换
* len必须取2的幂
*/
void change(complex y[],int len)
{
int i,j,k;
for(i = 1, j = len/2;i < len-1; i++)
{
if(i < j)swap(y[i],y[j]);
//交换互为小标反转的元素,i<j保证交换一次
//i做正常的+1,j左反转类型的+1,始终保持i和j是反转的
k = len/2;
while( j >= k)
{
j -= k;
k /= 2;
}
if(j < k) j += k;
}
}
/*
* 做FFT
* len必须为2^k形式,
* on==1时是DFT,on==-1时是IDFT
*/
void fft(complex y[],int len,int on)
{
change(y,len);
for(int h = 2; h <= len; h <<= 1)
{
complex wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h));
for(int j = 0;j < len;j+=h)
{
complex w(1,0);
for(int k = j;k < j+h/2;k++)
{
complex u = y[k];
complex t = w*y[k+h/2];
y[k] = u+t;
y[k+h/2] = u-t;
w = w*wn;
}
}
}
if(on == -1)
for(int i = 0;i < len;i++)
y[i].r /= len;
}
char num1[maxn], num2[maxn];
complex x1[maxn], x2[maxn];
int ans[maxn];
int main() {
//freopen("input.txt", "r", stdin);
while(cin >> num1 >> num2) {
memset(ans, 0, sizeof(ans));
int len = 1, len1 = strlen(num1), len2 = strlen(num2);
while(len<len1+len2+1) len <<= 1;
for(int i = 0; i < len1; i++) x1[len1-1-i] = complex((double)(num1[i]-'0'), 0);
for(int i = len1; i < len; i++) x1[i] = complex(0, 0);
fft(x1, len, 1);
for(int i = 0; i < len2; i++) x2[len2-1-i] = complex((double)(num2[i]-'0'), 0);
for(int i = len2; i < len; i++) x2[i] = complex(0, 0);
fft(x2, len, 1);
for(int i = 0; i < len; i++) x1[i] = x1[i] * x2[i];
fft(x1, len, -1);
for(int i = 0; i < len; i++) ans[i] = (int)(x1[i].r+0.5);
for(int i = 1; i < len; i++) {
ans[i] += ans[i-1]/10;
ans[i-1] %= 10;
}
while(len>0 && !ans[len]) len--;
for(int i = len; i >= 0; i--) printf("%c", ans[i]+'0');
puts("");
}
return 0;
}