线性代数（2）—— 矩阵定义及基本运算

• 参考：张宇高等数学基础30讲

文章目录

• 1. 矩阵的本质
• • 1.1 矩阵是系统信息的表示方式
  • 1.2 两个重要观点
• 2. 矩阵的定义及基本运算
• • 2.1 矩阵的定义
  • 2.2 矩阵的基本运算
  • • 2.2.1 相等
    • 2.2.2 加法
    • 2.2.3 数乘矩阵
    • 2.2.4 矩阵乘法
    • 2.2.5 转置矩阵
    • 2.2.6 向量的內积与正交
    • 2.2.7 施密特标准正交化
    • 2.2.8 方阵的幂
  • 2.3 运算律
  • • 2.3.1 线性运算
    • 2.3.2 方阵的行列式
    • 2.3.3 矩阵乘法
    • 2.3.4 矩阵转置
• 3. 几种重要矩阵

1. 矩阵的本质

1.1 矩阵是系统信息的表示方式

• 我们可以把矩阵看作信息的一种表示方式。比如英语系有98个女生，2个男生；机械系有95个男生，5个女生，这个系统可以用矩阵表示如下

  

  矩阵忽略数据的现实含义，矩阵就是一组排列好的数，只要抽象地认为矩阵是一个系统信息的表达即可

1.2 两个重要观点

• 这里从向量组和线性方程组的角度补充两个认识矩阵的观点，以后再详细说明。以以下矩阵为例

  A = [ 1 2 3 6 7 9 2 4 6 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 7 & 9 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} A=⎣⎡​162​274​396​⎦⎤​

1. 重要观点1：矩阵是由若干行（列）向量拼成的： 上面的矩阵可以看成由三个行向量 [1,2,3]，[6,7,9]，[2,4,6] 组成，也可看成由三个列向量组成。
2. 重要观点2：矩阵不能运算,但是其若干行(列)向量之间存在着某种联系：注意 [1,2,3] 与 [2,4,6] 这两个向量是平行的（存在线性关系），而 [1,2,3] 与 [6,7,9] , [2,4,6] 与 [6,7,9] 却不存在这种线性关系。这种关系反映了矩阵的本质 —— 矩阵的秩（示例矩阵的秩是2）

2. 矩阵的定义及基本运算

2.1 矩阵的定义

• 由 m × n m \times n m×n 个数 a i j ( i = 1 , 2 , . . . , m ; j = 1 , 2 , . . . , n ) a_{ij}(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) aij​(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) 排成的m行n列的矩形表格

  A = [ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &\dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\dots & a_{mn} \end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎢⎡​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​………​a1n​a2n​⋮amn​​⎦⎥⎥⎥⎤​

  称为一个

  m x n矩阵

  ，简记为 A \pmb{A} AAA 或 ( a i j ) m × n (a_{ij})_{m \times n} (aij​)m×n​；当 m = n m=n m=n 时，称 A \pmb{A} AAA 为

  n阶方阵

• 两个矩阵 A = ( a i j ) m × n \pmb{A} = (a_{ij})_{m \times n} AAA=(aij​)m×n​， B = ( a i j ) s × k \pmb{B} = (a_{ij})_{s \times k} BBB=(aij​)s×k​，若 m=s，n=k，则称 A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 为

  同型矩阵

2.2 矩阵的基本运算

2.2.1 相等

• 矩阵 A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 为同型矩阵且每个元素相等，则矩阵 A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 相等

  A = ( a i j ) m × n = B = ( a i j ) s × k ⇔ { m = s n = k a i j = b i j ( i = 1 , 2 , . . . , m ; j = 1 , 2 , . . . , n ) \pmb{A} = (a_{ij})_{m \times n} = \pmb{B} = (a_{ij})_{s \times k} \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &m &= & s \\ &n &= & k \\ &a_{ij} &= &b_{ij}(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) \end{aligned} \right. AAA=(aij​)m×n​=BBB=(aij​)s×k​⇔⎩⎪⎨⎪⎧​​mnaij​​===​skbij​(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)​

2.2.2 加法

• 同型矩阵可以相加，做加法时对应元素相加

  A + B = ( a i j ) m × n + ( b i j ) m × n = ( c i j ) m × n = C \pmb{A} + \pmb{B} = (a_{ij})_{m\times n} + (b_{ij})_{m\times n} = (c_{ij})_{m\times n} = \pmb{C} AAA+BBB=(aij​)m×n​+(bij​)m×n​=(cij​)m×n​=CCC

  其中 c i j = a i j + b i j ( i = 1 , 2 , . . . , m ; j = 1 , 2 , . . . , n ) c_{ij} = a_{ij}+b_{ij}(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) cij​=aij​+bij​(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)

2.2.3 数乘矩阵

• 设k是一个数， A \pmb{A} AAA是一个 m × n m \times n m×n 矩阵，数k和 A \pmb{A} AAA 的乘积为数乘矩阵，即

  k A = A k = k [ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ] = [ k a 11 k a 12 … k a 1 n k a 21 k a 22 … k a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ k a m 1 k a m 2 … k a m n ] = ( k a i j ) m × n k\pmb{A} = \pmb{A}k = k \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &\dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\dots & a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} &\dots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} &\dots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ ka_{m1} &ka_{m2} &\dots & ka_{mn} \end{bmatrix} = (ka_{ij})_{m\times n} kAAA=AAAk=k⎣⎢⎢⎢⎡​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​………​a1n​a2n​⋮amn​​⎦⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎡​ka11​ka21​⋮kam1​​ka12​ka22​⋮kam2​​………​ka1n​ka2n​⋮kamn​​⎦⎥⎥⎥⎤​=(kaij​)m×n​

  即 A \pmb{A} AAA 的每个元素都乘以 k

2.2.4 矩阵乘法

• 设 A \pmb{A} AAA 是 m × s m\times s m×s 矩阵， B \pmb{B} BBB 是 s × n s\times n s×n 矩阵，则 A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 可乘（ A \pmb{A} AAA 的列数必须与 B \pmb{B} BBB 的行数相等），乘积 A B \pmb{A}\pmb{B} AAABBB 是 m × n m\times n m×n 矩阵，记 C = A B = ( c i j ) m × n \pmb{C} = \pmb{A}\pmb{B} = (c_{ij})_{m\times n} CCC=AAABBB=(cij​)m×n​，其中

  c i j = ∑ k = 1 s a i k b k j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + . . . + a i s b s j , ( i = 1 , 2 , . . . , m ; j = 1 , 2 , . . . , n ) c_{ij} = \sum^s_{k=1}a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} +...+ a_{is}b_{sj}, (i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) cij​=k=1∑s​aik​bkj​=ai1​b1j​+ai2​b2j​+...+ais​bsj​,(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)

2.2.5 转置矩阵

• 将 m × n m\times n m×n 矩阵 A = ( a i j ) m × n \pmb{A} = (a_{ij})_{m\times n} AAA=(aij​)m×n​ 的行与列互换得到的 n × m n\times m n×m 矩阵，称为 A \pmb{A} AAA 的转置矩阵，记为 A T A^T AT，即

  A T = [ a 11 a 21 … a m 1 a 12 a 22 … a m 2 ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n a 2 n … a m n ] A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} &\dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} &\dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{1n} &a_{2n} &\dots & a_{mn} \end{bmatrix} AT=⎣⎢⎢⎢⎡​a11​a12​⋮a1n​​a21​a22​⋮a2n​​………​am1​am2​⋮amn​​⎦⎥⎥⎥⎤​

2.2.6 向量的內积与正交

• 设 α = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] T , β = [ b 1 , b 2 , . . . , b n ] T \pmb{\alpha} = [a_1,a_2,...,a_n]^T,\pmb{\beta} = [b_1,b_2,...,b_n]^T ααα=[a1​,a2​,...,an​]T,β​β​​β=[b1​,b2​,...,bn​]T，则

  1. 內积

     ：向量 α , β \pmb{\alpha},\pmb{\beta} ααα,β​β​​β 的內积为

     α T β = ∑ i = 1 n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n \pmb{\alpha}^T\pmb{\beta} = \sum_{i=1}^na_ib_i = a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n αααTβ​β​​β=i=1∑n​ai​bi​=a1​b1​+a2​b2​+...+an​bn​

     记为 ( α , β ) (\pmb{\alpha},\pmb{\beta}) (ααα,β​β​​β)，即 ( α , β ) = α T β (\pmb{\alpha},\pmb{\beta}) = \pmb{\alpha}^T\pmb{\beta} (ααα,β​β​​β)=αααTβ​β​​β，内积计算的实际是向量 β \pmb{\beta} β​β​​β 在向量 α \pmb{\alpha} ααα 方向上投影的长度值放大 ∣ ∣ α ∣ ∣ ||\alpha|| ∣∣α∣∣倍，是一个数 ，设向量 α , β \pmb{\alpha},\pmb{\beta} ααα,β​β​​β 夹角为 θ \theta θ，有

     ( α , β ) = ∣ ∣ α ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ β ∣ ∣ ⋅ c o s θ (\pmb{\alpha},\pmb{\beta}) = ||\pmb{\alpha}|| · ||\pmb{\beta}||·cos\theta (ααα,β​β​​β)=∣∣ααα∣∣⋅∣∣β​β​​β∣∣⋅cosθ

  2. 正交

     ：当 α T β = 0 \pmb{\alpha}^T\pmb{\beta} = 0 αααTβ​β​​β=0 时，称向量 ( α , β ) (\pmb{\alpha},\pmb{\beta}) (ααα,β​β​​β) 是正交向量。所谓正交，在几何意义上就是两向量相互垂直

  3. 模

     ：模即为向量的长度，向量 α \pmb{\alpha} ααα 的模为

     ∣ ∣ α ∣ ∣ = ∑ i = 1 n a i 2 ||\pmb{\alpha}|| = \sqrt{\sum_{i=1}^na_i^2} ∣∣ααα∣∣=i=1∑n​ai2​

     ​

     当 ∣ ∣ α ∣ ∣ = 1 ||\pmb{\alpha}|| = 1 ∣∣ααα∣∣=1 时，称 α \pmb{\alpha} ααα 为

     单位向量

  4. 标准正交向量组

     ：若向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1​,ααα2​,...,αααs​ 满足

     α i T α j = { 0 , i ≠ j ⇒ α i ⊥ α j 1 , i = j ⇒ ∣ ∣ α i ∣ ∣ = 1 \pmb{\alpha}_i^T\pmb{\alpha}_j = \left\{ \begin{aligned} &0&,i\neq j &\Rightarrow \pmb{\alpha}_i \perp \pmb{\alpha}_j \\ &1&,i=j &\Rightarrow ||\pmb{\alpha}_i|| = 1 \end{aligned} \right. αααiT​αααj​={​01​,i​=j,i=j​⇒αααi​⊥αααj​⇒∣∣αααi​∣∣=1​

     则称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1​,ααα2​,...,αααs​ 为标准正交向量组（单位正交向量组），笛卡尔坐标的三个方向向量就是一组标准正交向量组。关键：每个向量都是单位向量，且两两正交

2.2.7 施密特标准正交化

• 施密特标准正交化可以将任意线性无关向量组 α 1 , α 2 \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2 ααα1​,ααα2​ 转换为标准正交向量组 η 1 , η 2 \pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2 η​η​​η1​,η​η​​η2​，其分为两步进行

  1. 正交化：将任意线性无关向量组 α 1 , α 2 \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2 ααα1​,ααα2​ 转换为正交向量组 β 1 , β 2 \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2 β​β​​β1​,β​β​​β2​

     { β 1 = α 1 , β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 \left\{ \begin{aligned} &\pmb{\beta}_1 = \pmb{\alpha}_1, \\ &\pmb{\beta}_2 = \pmb{\alpha}_2 - \frac{(\pmb{\alpha}_2,\pmb{\beta}_1)}{(\pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_1)} \pmb{\beta}_1 \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧​​β​β​​β1​=ααα1​,β​β​​β2​=ααα2​−(β​β​​β1​,β​β​​β1​)(ααα2​,β​β​​β1​)​β​β​​β1​​

     从几何角度理解一下，是这样的

     

  t = ∣ ∣ α 2 ∣ ∣ ⋅ c o s θ ⋅ α 1 ∣ ∣ α 1 ∣ ∣ = ∣ ∣ α 2 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ ⋅ c o s θ ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ 2 ⋅ β 1 = ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 \begin{aligned} \pmb{t} &= ||\pmb{\alpha}_2||·cos\theta·\frac{\pmb{\alpha}_1}{||\pmb{\alpha}_1||} \\ &=\frac{||\pmb{\alpha}_2||·||\pmb{\beta}_1||·cos\theta}{||\pmb{\beta}_1||^2}·\pmb{\beta}_1 \\ &=\frac{(\pmb{\alpha}_2,\pmb{\beta}_1)}{(\pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_1)} \pmb{\beta}_1 \end{aligned} ttt​=∣∣ααα2​∣∣⋅cosθ⋅∣∣ααα1​∣∣ααα1​​=∣∣β​β​​β1​∣∣2∣∣ααα2​∣∣⋅∣∣β​β​​β1​∣∣⋅cosθ​⋅β​β​​β1​=(β​β​​β1​,β​β​​β1​)(ααα2​,β​β​​β1​)​β​β​​β1​​

  1. 单位化：将正交向量组 β 1 , β 2 \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2 β​β​​β1​,β​β​​β2​ 单位化，即得标准正交向量组 η 1 , η 2 \pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2 η​η​​η1​,η​η​​η2​

     { η 1 = β 1 ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ , η 2 = β 2 ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ \left\{ \begin{aligned} &\pmb{\eta}_1 = \frac{\pmb{\beta}_1}{||\pmb{\beta}_1||}, \\ &\pmb{\eta}_2 = \frac{\pmb{\beta}_2}{||\pmb{\beta}_2||} \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​​η​η​​η1​=∣∣β​β​​β1​∣∣β​β​​β1​​,η​η​​η2​=∣∣β​β​​β2​∣∣β​β​​β2​​​

2.2.8 方阵的幂

• 设 A \pmb{A} AAA 是一个n阶方阵，则 A m = A A . . . A ⏞ m个 \pmb{A}^m = \overbrace{\pmb{A}\pmb{A}...\pmb{A}}^{\text{m个}} AAAm=AAAAAA...AAA

  m个 称为 A \pmb{A} AAA 的m次幂

2.3 运算律

2.3.1 线性运算

• A , B , C \pmb{A},\pmb{B},\pmb{C} AAA,BBB,CCC 是同型矩阵， k , l k,l k,l 是任意常数
  1. 交换律： A + B = B + A \pmb{A} + \pmb{B} = \pmb{B} + \pmb{A} AAA+BBB=BBB+AAA
  2. 结合律： ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (\pmb{A}+\pmb{B})+\pmb{C} = \pmb{A}+(\pmb{B}+\pmb{C}) (AAA+BBB)+CCC=AAA+(BBB+CCC)
  3. 分配率： k ( A + B ) = k A + k B , ( k + l ) A = k A + l A k(\pmb{A}+\pmb{B})=k\pmb{A}+k\pmb{B},(k+l)\pmb{A} = k\pmb{A} + l\pmb{A} k(AAA+BBB)=kAAA+kBBB,(k+l)AAA=kAAA+lAAA
  4. 数乘结合律： k ( l A ) = ( k l ) A = l ( k A ) k(l\pmb{A}) = (kl)\pmb{A} = l(k\pmb{A}) k(lAAA)=(kl)AAA=l(kAAA)

2.3.2 方阵的行列式

• 当n阶方阵 A \pmb{A} AAA 计算行列式时，记作 ∣ A ∣ |\pmb{A}| ∣AAA∣，设 A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 是同阶方阵，则
  1. ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ ≠ k ∣ A ∣ ( n ≥ 2 , k ≠ 0 , 1 ) |k\pmb{A}| = k^n|\pmb{A}| \neq k|\pmb{A}|(n\geq2,k\neq0,1) ∣kAAA∣=kn∣AAA∣​=k∣AAA∣(n≥2,k​=0,1)
  2. 一般， ∣ A + B ∣ ≠ ∣ A ∣ + ∣ B ∣ |\pmb{A}+\pmb{B}| \neq |\pmb{A}|+|\pmb{B}| ∣AAA+BBB∣​=∣AAA∣+∣BBB∣
     • 比如 A = [ 1 0 0 1 ] , B = [ − 1 0 0 − 1 ] \pmb{A}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\pmb{B} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix} AAA=[10​01​],BBB=[−10​0−1​]，此时 ∣ A + B ∣ = 0 , ∣ A ∣ + ∣ B ∣ = 2 |\pmb{A}+\pmb{B}| = 0,|\pmb{A}|+|\pmb{B}|=2 ∣AAA+BBB∣=0,∣AAA∣+∣BBB∣=2
  3. ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |\pmb{A}\pmb{B}|=|\pmb{A}||\pmb{B}| ∣AAABBB∣=∣AAA∣∣BBB∣
  4. A ≠ 0 ⇏ ∣ A ∣ ≠ 0 \pmb{A}\neq \pmb{0} \nRightarrow |\pmb{A}|\neq 0 AAA​=000⇏∣AAA∣​=0
     • 比如 A = [ 1 1 1 1 ] \pmb{A}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix} AAA=[11​11​]
  5. A ≠ B ⇏ ∣ A ∣ ≠ ∣ B ∣ \pmb{A}\neq \pmb{B} \nRightarrow |\pmb{A}|\neq |\pmb{B}| AAA​=BBB⇏∣AAA∣​=∣BBB∣
     • 比如 A = [ 1 0 0 1 ] , B = [ − 1 0 0 − 1 ] \pmb{A}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\pmb{B} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix} AAA=[10​01​],BBB=[−10​0−1​]

2.3.3 矩阵乘法

• A , B , C \pmb{A},\pmb{B},\pmb{C} AAA,BBB,CCC 是矩阵， k k k 是任意常数
  1. 结合律： ( A m × s B s × r ) C r × n = A m × s ( B s × r C r × n ) (\pmb{A}_{m\times s}\pmb{B}_{s\times r})\pmb{C}_{r\times n} = \pmb{A}_{m\times s}(\pmb{B}_{s\times r}\pmb{C}_{r\times n}) (AAAm×s​BBBs×r​)CCCr×n​=AAAm×s​(BBBs×r​CCCr×n​)
  2. 分配率： A m × s ( B s × n + C s × n ) = A m × s B s × n + A m × s C s × n \pmb{A}_{m\times s}(\pmb{B}_{s\times n}+\pmb{C}_{s\times n}) = \pmb{A}_{m\times s}\pmb{B}_{s\times n}+\pmb{A}_{m\times s}\pmb{C}_{s\times n} AAAm×s​(BBBs×n​+CCCs×n​)=AAAm×s​BBBs×n​+AAAm×s​CCCs×n​
  3. 数乘与矩阵乘积的结合律： ( k A m × s ) B s × n = A m × s ( k B s × n ) = k ( A m × s B s × n ) (k\pmb{A}_{m\times s})\pmb{B}_{s\times n} = \pmb{A}_{m\times s}(k\pmb{B}_{s\times n})=k(\pmb{A}_{m\times s}\pmb{B}_{s\times n}) (kAAAm×s​)BBBs×n​=AAAm×s​(kBBBs×n​)=k(AAAm×s​BBBs×n​)
• 矩阵乘法通常不满足交换律：

  

  • 给上面（3）举个例子，比如 A = [ 1 0 0 1 ] , B = [ − 1 0 0 − 1 ] , C = [ 0 0 0 0 ] \pmb{A}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\pmb{B} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix},\pmb{C} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} AAA=[10​01​],BBB=[−10​0−1​],CCC=[00​00​]，此时 A B = A C = [ 0 0 0 0 ] \pmb{A}\pmb{B}=\pmb{A}\pmb{C} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} AAABBB=AAACCC=[00​00​]

  

2.3.4 矩阵转置

• 设 A \pmb{A} AAA 是 m × n m\times n m×n 矩阵
  1. ( A T ) T = A (\pmb{A}^T)^T = \pmb{A} (AAAT)T=AAA
  2. ( k A ) T = k A T (k\pmb{A})^T = k\pmb{A}^T (kAAA)T=kAAAT
  3. ( A + B ) T = A T + B T (\pmb{A}+\pmb{B})^T = \pmb{A}^T+\pmb{B}^T (AAA+BBB)T=AAAT+BBBT
  4. ( A B ) T = B T A T (\pmb{A}\pmb{B})^T = \pmb{B}^T\pmb{A}^T (AAABBB)T=BBBTAAAT
  5. m=n时， A \pmb{A} AAA是方阵，此时根据行列式性质，有 ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |\pmb{A}^T|=|\pmb{A}| ∣AAAT∣=∣AAA∣

3. 几种重要矩阵

1. 零矩阵 （ 0 \pmb{0} 000）：每个元素均为0的矩阵
2. 单位矩阵 （ E \pmb{E} EEE 或 I \pmb{I} III）：主对角线全为1，其余元素全为0的n阶方阵
3. 数量矩阵：数 k k k 和单位矩阵的乘积称为数量矩阵，主对角线全为 k k k，其余元素全为 0 的n阶方阵
4. 对角矩阵：非主对角线元素均为 0 的矩阵
5. 上（下）三角矩阵：当 i > ( < ) j i>(<)j i>(<)j 时， a i j = 0 a_{ij}=0 aij​=0 的矩阵称为上（下）三角矩阵

6. 对称矩阵：满足条件 A T = A \pmb{A}^T = \pmb{A} AAAT=AAA 的矩阵 A \pmb{A} AAA 称为对称矩阵，

   A T = A ⇔ a i j = a j i   例 如 A = [ 1 2 3 2 7 9 3 9 6 ] \pmb{A}^T = \pmb{A} \Leftrightarrow a_{ij}=a_{ji}\\ \\\space\\ 例如A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 7 & 9 \\ 3 & 9 & 6 \end{bmatrix} AAAT=AAA⇔aij​=aji​ 例如A=⎣⎡​123​279​396​⎦⎤​

7. 反对称矩阵：满足条件 A T = − A \pmb{A}^T = -\pmb{A} AAAT=−AAA 的矩阵 A \pmb{A} AAA 称为反对称矩阵

   A T = − A ⇔ { a i j = − a j i , i ≠ j a i i = 0   例 如 A = [ 0 2 3 − 2 0 9 − 3 − 9 0 ] \pmb{A}^T = -\pmb{A} \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &a_{ij} = -a_{ji}&,i\neq j \\ &a_{ii} = 0 \end{aligned} \right. \\\space\\ 例如A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ -2 & 0& 9 \\ -3 & -9 & 0 \end{bmatrix} AAAT=−AAA⇔{​aij​=−aji​aii​=0​,i​=j 例如A=⎣⎡​0−2−3​20−9​390​⎦⎤​

8. 正交矩阵：设 A \pmb{A} AAA 是n阶方阵，满足 A T A = E \pmb{A}^T\pmb{A} = \pmb{E} AAATAAA=EEE，则称 A \pmb{A} AAA 是正交矩阵。

   A 是 正 交 矩 阵 ⇔ A T A = E ⇔ A 的 行 （ 列 ） 向 量 是 标 准 正 交 向 量 组 \pmb{A}是正交矩阵 \Leftrightarrow \pmb{A}^T\pmb{A} = \pmb{E} \Leftrightarrow \pmb{A}的行（列）向量是标准正交向量组 AAA是正交矩阵⇔AAATAAA=EEE⇔AAA的行（列）向量是标准正交向量组

   分析：设 A = [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] \pmb{A} = \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3 \\b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3\end{bmatrix} AAA=⎣⎡​a1​b1​c1​​a2​b2​c2​​a3​b3​c3​​⎦⎤​，且记

   α = [ a 1 , a 2 , a 3 ] T ， β = [ b 1 , b 2 , b 3 ] T ， γ = [ c 1 , c 2 , c 3 ] T   ∴ A T A = [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] = E = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]   ∴ { α T α = 1 ⇒ ∣ ∣ α ∣ ∣ = 1 β T β = 1 ⇒ ∣ ∣ β ∣ ∣ = 1 γ T γ = 1 ⇒ ∣ ∣ γ ∣ ∣ = 1 α T β = 0 ⇒ ( α , β ) = 0 , 即 α , β 正 交 α T γ = 0 ⇒ ( α , γ ) = 0 , 即 α , γ 正 交 β T γ = 0 ⇒ ( β , γ ) = 0 , 即 β , γ 正 交 \pmb{\alpha} = [a_1,a_2,a_3]^T，\pmb{\beta} = [b_1,b_2,b_3]^T，\pmb{\gamma} = [c_1,c_2,c_3]^T \\ \\\space \\ \therefore \pmb{A}^T\pmb{A} = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} = \pmb{E} = \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \\\space \\ \therefore \left\{ \begin{aligned} & \pmb{\alpha}^T\pmb{\alpha} = 1 \Rightarrow ||\pmb{\alpha}|| = 1 \\ & \pmb{\beta}^T\pmb{\beta} = 1 \Rightarrow ||\pmb{\beta}|| = 1 \\ & \pmb{\gamma}^T\pmb{\gamma} = 1 \Rightarrow ||\pmb{\gamma}|| = 1 \\ & \pmb{\alpha}^T\pmb{\beta} = 0 \Rightarrow (\pmb{\alpha},\pmb{\beta}) = 0,即\pmb{\alpha},\pmb{\beta}正交\\ & \pmb{\alpha}^T\pmb{\gamma} = 0 \Rightarrow (\pmb{\alpha},\pmb{\gamma}) = 0,即\pmb{\alpha},\pmb{\gamma}正交\\ & \pmb{\beta}^T\pmb{\gamma} = 0 \Rightarrow (\pmb{\beta},\pmb{\gamma}) = 0,即\pmb{\beta},\pmb{\gamma}正交 \end{aligned} \right. ααα=[a1​,a2​,a3​]T，β​β​​β=[b1​,b2​,b3​]T，γ​γ​​γ=[c1​,c2​,c3​]T ∴AAATAAA=⎣⎡​a1​b1​c1​​a2​b2​c2​​a3​b3​c3​​⎦⎤​⎣⎡​a1​a2​a3​​b1​b2​b3​​c1​c2​c3​​⎦⎤​=EEE=⎣⎡​100​010​001​⎦⎤​ ∴⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​​αααTααα=1⇒∣∣ααα∣∣=1β​β​​βTβ​β​​β=1⇒∣∣β​β​​β∣∣=1γ​γ​​γTγ​γ​​γ=1⇒∣∣γ​γ​​γ∣∣=1αααTβ​β​​β=0⇒(ααα,β​β​​β)=0,即ααα,β​β​​β正交αααTγ​γ​​γ=0⇒(ααα,γ​γ​​γ)=0,即ααα,γ​γ​​γ正交β​β​​βTγ​γ​​γ=0⇒(β​β​​β,γ​γ​​γ)=0,即β​β​​β,γ​γ​​γ正交​

   则 A \pmb{A} AAA 是由两两正交的单位向量组（称为规范正交基）组成

9. 分块矩阵：
   1. 矩阵的分块

      

   2. 分块矩阵的基本运算（以 2 × 2 2\times 2 2×2型分块矩阵为例）