【NOIP2012模拟10.31】掷骰子

题目

太郎和一只免子正在玩一个掷骰子游戏。有一个有N个格子的长条棋盘，太郎和兔子轮流掷一个有M面的骰子，骰子M面分别是1到M的数字.且掷到任意一面的概率是相同的.掷到几.就往前走几步.当谁走到第N格时，谁就获胜了。游戏中还有一个规则“反弹”.就是当一位选手要走到第N格外时.他就会后退(就像飞行棋进营一样)。

假设现在一位追手在A格.当他掷出B时：


1.A+B<N，走到第A+B.络，


2.A+B=N，走到第N格，获胜。


3.A+B≥N，走到第(N-(A+B-N)格


现在太郎和兔子分别在第x和y格.接下来是太郎掷骰子，太郎想知道他赢得比赛的概率就多少。
           

分析

设 fi,j 表示太郎在i，兔子在j，太郎的胜率。我们从后往前转移。

我们分四种情况：

、i+m<=n and j+m<=n
、i+m>n and j+m<=n
、i+m<=n and j+m>n
、i+m>n and j+m>n
           

why?

因为发现，当 i+m>n 时，i怎么跳总是 i+m>n ，那么就可以把它们当做同一种状态。j也一样。

情况一：i+m<=n and j+m<=n

因为i走到k的概率为 1m ，j走到l的概率也为 1m ，

那么状态(i,j)的胜率就是状态(k,l)胜率的总和。

fi,j=1m2∑k=i+1i+m+1∑l=j+1j+m+1fk,l

情况二：i+m>n and j+m<=n

fi,j=(m−1)∑j+m+1l=j+1fi,lm2+1m

显然i有 1m 的概率到达终点，而i有m种可能，又那么既然已经算了到达终点的概率，那么就不用在计算，所以乘以(m-1)。

情况三：i+m<=n and j+m>n

fi,j=(m−1)∑i+m+1k=i+1fk,jm2+x(如果i=n−m，x=1，否则x=0)m

同样j有m种可能，但不能让他到达终点，那么就不用在计算，所以乘以(m-1)。

而当i在n-m这个位置时，i也有 1m 的概率到达终点，有可能出现状态(n,n)，由于太郎是先手，所以算太郎赢，而前面有减去了j到达终点的情况，所以加上去。

情况四：i+m>n and j+m>n

要求i赢，所以

当i第一回合就走到了n，概率为 1m ，

当i第一回合没有走到n，而j也不能走到n，在第二回合i走到了n概率为 1m（1−1m）2

如果在第二回合i还是没有走到n，而j还是不能走到n，在第三回合i走到了n概率为 1m（1−1m）4

如此类推，

fi,j=limitn→∞1m+1m（1−1m）2+1m（1−1m）4+...+1m（1−1m）2n

=1m（1+（1−1m）2+（1−1m）4+...）+（1−1m）2n

等比数列求和

=1m1∗[1−(1−1m）2n]1−（1−1m）2

因为数列的公比小于1， [1−(1−1m）2n] 无限趋近于1，所以

=1m11−（1−1m）2

解得

fi,j=m2m−1

但是这样是 O(n4) 的，用矩阵后缀和优化，变成 O(n2) 。

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
const int maxlongint=;
const int mo=;
const int N=;
using namespace std;
double f[N][N],n,m,x,y;
double val(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
    return f[x1][y1]-f[x1][y2]-f[x2][y1]+f[x2][y2];
}
int main()
{
    scanf("%lf%lf%lf%lf",&n,&m,&x,&y);
    for(int i=n;i>=;i--)
        for(int j=n;j>=;j--)
        {
            f[i][j]=f[i+][j]+f[i][j+]-f[i+][j+];
            if(i==n)
            {
                f[i][j]++;
                continue;
            }
            if(j==n) continue;
            if(i+m>n && j+m>n)
                f[i][j]+=m/(*m-);
            else
            if(i+m>n)
                f[i][j]+=val(i,j+,i+,j+m+)*(m-)/m/m+/m;
            else
            if(j+m>n)
                f[i][j]+=(m-)*val(i+,j,i++m,j+)/m/m+(i==n-m)/m/m;
            else
                f[i][j]+=val(i+,j+,i+m+,j+m+)/(m*m);

        }
    printf("%.6lf",val(x,y,x+,y+));
}