为什么自然指数函数是周期性的，虚周期为2πi？一个数的对数怎么会有无穷多个（复数）？
如果我告诉你它与无限圆上的点有关，你可能会认为我是个疯子！所以我现在不会那样做 - 但我认为你会感到惊讶。
在本文中，我将向您展示上述内容的直观几何解释。在此之后，我们将使用限制对其进行备份。
事实证明，根和对数之间存在美丽的几何联系，真正解释了为什么指数函数是周期性的（不需要欧拉公式）。
理解这种联系的第一步是理解一个数的n次方根。
n 次根的对称性
通常，当我们谈论正实数r的平方根时，通常是指满足方程x² = r的正数√r。但当然，这个方程有两个解，另一个是-√r。所以一个正实数确实有两个实平方根。
当我们转向立方根的情况时，我们已经习惯了这样一个事实，即任何实数总是恰好有一个实立方根。人们可能会认为实数只有一个立方根，但事实证明这是一种欺骗。真相隐藏在更高的维度——即复平面。
回想一下，复数被视为平面中的点，实轴嵌入为一维子空间。在这个二维空间中，点(r, 0)被标识为实数r，更一般地，点(a, b)被标识为数字a + bi，其中i是虚数单位（满足i ² = -1)。
因此，复平面中的每个点都是一个复数，我们将其模数定义为到原点的距离，并将其参数定义为与实轴的角度（以弧度为单位）。
例如，由于虚数单位i由点(0, 1)标识，因此其模数为1，其自变量为π/2 + 2πk，其中k为任意整数。
理解这种多值性非常重要，因为它可以为不同的值创建截然不同的结果。
一个明确的例子是自然对数，我们将在本文中用ln表示。当我们要求正实数a 的对数时，我们通常指的是具有e^b = a属性的（唯一）实数b。
但是就像根的情况一样，有很多数字满足这个性质，它们只是不在实数线上，而是再次隐藏在复数的更高维度中。
事实上，有无穷多个满足此属性的复数，包括ln(a)，即每个整数k的ln(a) + 2πik。
因此，当ln(10)被视为多值函数时，它看起来真的像下面这样
其中数字都位于复平面中的一条直线上，相邻距离为2π均匀分布。实线上的数字是通常的实对数ln(10)。
因此自然对数实际上可以理解为多值函数。
根也是如此。
事实证明，任何非零复数z 恰好有三个立方根。为了稍微简化计算，我们将限制自己使用正实数的根和对数，但相同的论点适用于所有复数“mutatis mutandis”。
实数r > 0的立方根是复平面中构成等边三角形顶点的三个点，等边三角形内切于以原点为中心的圆，半径等于r的实立方根，其顶点之一等于r的实立方根。
例如，10的立方根是复平面中的以下点
更一般地，实数 r > 0 的n次根形成一个正n 边形，其顶点均匀分布在以原点为中心的圆上，半径等于r的实数n次根，并且其顶点之一恰好是r 的正实数n次方根。
例如 72 的 12 个根是点
信不信由你，但如果你将这些复数中的任何一个计算为 12 的幂，你就会得到 72。
从某种意义上说，这就是我们有两个形式为 -√r 和 √r 的实数平方根的原因；它们需要均匀分布在一个半径为√r 的圆上，其中一个为√r。这迫使另一个为-√r。
好的，但这与对数有什么关系？
很高兴你问。
指数和对数
我们在本文中的目标是解释对数的多值性质或等效的指数函数的周期性。为此，我们将从定义一个有趣的函数序列开始。
特别地，对于任何自然数n，我们定义函数
例如，我们也可以使用泰勒级数定义e^x ，然后证明它等价于上述定义。这只是品味和偏好的问题。
请注意，我们没有在L_n的定义中指定第n个根的含义。实际上，很容易看出n 个根中的任何一个都将定义E_n的反函数。
为了在这里看到全局，我们将考虑所有这些！
对于给定的 x 值，当我们增加n 时，E_n(x)会越来越接近数字e^x ，但是L_n(x)表达式中的n 个根会发生什么变化？
如果我们假设x > 0，那么至少有一个根将趋向于实数ln(x)。让我们为x = 10和n的不同值绘制一些图，因为我们增加它。
展开括号后再看L_n(x)的定义
很明显，这个函数的 n 个值仍然会形成一个圆圈。毕竟，按 n 缩放和平移不会改变圆的形状，只会改变它的大小和位置。
在下图中，我们看到将 L_12(10) 定义为多值函数时的值。
让n增加到 30 会产生以下结果。注意轴上圆的大小是如何增长的。
在下图中，我们让n = 1000并放大右弧。
请注意，这些点几乎排在一条垂直线上，但分布仍然均匀。当我们增加n 时，它们之间的距离似乎也接近2π 。当我们让n趋于无穷大时，唯一不会趋于无穷大的点是那些最终落在极限垂直线上的点。
这解释了为什么数字x的对数具有无限多个等效值z_m （在它们都具有e^(z_m) = x 的性质的意义上是等效的） ，并且到它们的两个邻居都具有相同的距离。因为它们均匀分布在复平面的无限大圆上！
这也解释了为什么指数函数有一个纯虚周期。
但是为什么这些数的虚部是2kπ的形式呢？
对数作为无限圆上的点
让我们使用几何风格的论证来证明x的所有等效对数值都具有ln(x) + 2kπi的形式。
第一步是为函数L_n(x)给出的所有 n 个点编写一个表达式。
它们由形式的复数给出
请注意，当n → ∞时， x的第n个实根接近1，因此我们将其忽略。这清楚地显示了指数周期的来源！它是围绕一个圆的根的膨胀和平移的极限，在该圆的极限内变成复平面中的一条线。
最后的评论
多值函数的标准方法是使用分支切割和主值甚至黎曼曲面！然而，在某些情况下，我实际上喜欢多值性，因为我们可以一次性处理所有情况。
不过我们需要小心。就像我们需要就符号√r和ln(a)的含义达成一致一样，我们也需要了解我们正在尝试做什么。
例如，如果您要解决的问题是纯实数，那么ln(a)可能应该是实数，但是，如果您正在处理复数，并且它来自求解涉及复指数函数的方程式，那么它不是很清楚。
众所周知，e^( πi) = -1。这是否意味着ln(-1) = πi？
好吧，这取决于您对函数ln的定义。我们可以定义无限多个对数。例如，主对数Log是虚部位于区间 (- π, π]的对数，实际上会给出 Log (-1) = πi，但我们可以定义另一个对数来计算log(-1 ) = -πi.在任何一种情况下，我们都会得到e^Log(-1) = e^log(-1) = -1。
对于某个整数k，任何对数都应具有值 log(-1) = ( π + 2kπ)i并且多值定义输出所有对数的集合。然后问题是将其变成一个连续函数，但我们要到此为止，以便您可以考虑一些事情。
这个反演问题也存在于许多其他著名的函数中，例如“反”三角函数。