高等数学-导数与微分

1，函数的和、差、积、商的求导法则

（1） [ μ ± v ] ′ = μ ′ ± v ′ [\mu \pm v]'=\mu' \pm v' [μ±v]′=μ′±v′;

（2） [ μ v ] ′ = μ ′ v + μ v ′ [\mu v]'=\mu'v+\mu v' [μv]′=μ′v+μv′;

（3） [ μ v ] ′ = μ ′ v − μ v ′ v 2 [\frac{\mu}{v}]'=\frac{\mu'v-\mu v'}{v^2} [vμ​]′=v2μ′v−μv′​

2，反函数求导法则

如 果 函 数 x = f ( y ) 在 区 间 I y 内 单 调 、 可 导 且 f ′ ( y ) 不 等 于 0 ， 则 它 的 反 函 数 y = f − 1 ( x ) 在 区 间 I x = { x ∣ x = f ( y ) , y ∈ I y } 内 也 可 导 ， 且 如果函数x=f(y)在区间I_y内单调、可导且f'(y)不等于0，则它的反函数y=f^{-1}(x)在区间I_x=\{x|x=f(y), y\in I_y\}内也可导，且 如果函数x=f(y)在区间Iy​内单调、可导且f′(y)不等于0，则它的反函数y=f−1(x)在区间Ix​={x∣x=f(y),y∈Iy​}内也可导，且

[ f − 1 ( x ) ] ′ = 1 f ′ ( y ) 或 d y d x = 1 d x d y [f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(y)}或\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}} [f−1(x)]′=f′(y)1​或dxdy​=dydx​1​。

一言以蔽之：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

3，莱布尼兹公式

( μ v ) ( n ) = μ ( n ) v + n μ ( n − 1 ) v ′ + n ( n − 1 ) 2 ! μ ( n − 2 ) v ′ ′ + . . . + n ( n − 1 ) . . . ( n − k + 1 ) k ! μ n − k v ( k ) + . . . + μ v ( n ) (\mu v)^{(n)}=\mu^{(n)}v+n\mu^{(n-1)}v'+\frac{n(n-1)}{2!}\mu^{(n-2)}v''+...+\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}\mu^{n-k}v^{(k)}+...+\mu v^{(n)} (μv)(n)=μ(n)v+nμ(n−1)v′+2!n(n−1)​μ(n−2)v′′+...+k!n(n−1)...(n−k+1)​μn−kv(k)+...+μv(n)

4，函数的微分

设 函 数 y = f ( x ) 在 某 区 间 内 有 定 义 ， x 0 及 x 0 + Δ x 在 这 个 区 间 内 ， 如 果 增 量 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) 可 表 示 为 Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) ， 其 中 A 是 不 依 赖 于 Δ x 的 常 数 ， 那 么 称 函 数 y = f ( x ) 在 点 x 0 处 是 可 微 的 ， 而 A Δ x 叫 做 函 数 y = f ( x ) 在 点 x 0 相 应 于 自 变 量 增 量 Δ x 的 微 分 ， 记 作 d y ， 即 d y = A Δ x 设函数y=f(x)在某区间内有定义，x_0及x_0+\Delta x在这个区间内，如果增量\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)可表示为\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)，其中A是不依赖于\Delta x的常数，那么称函数y=f(x)在点x_0处是可微的，而A\Delta x叫做函数y=f(x)在点x_0相应于自变量增量\Delta x的微分，记作dy，即dy=A\Delta x 设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0​及x0​+Δx在这个区间内，如果增量Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​)可表示为Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是不依赖于Δx的常数，那么称函数y=f(x)在点x0​处是可微的，而AΔx叫做函数y=f(x)在点x0​相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy=AΔx。

Δ y = d y + o ( d y ) ， d y 是 Δ y 的 线 性 主 部 。 \Delta y=dy+o(dy)，dy是\Delta y的线性主部。 Δy=dy+o(dy)，dy是Δy的线性主部。