【数据挖掘】K-Means 二维数据聚类分析 ( K-Means 迭代总结 | K-Means 初始中心点选择方案 | K-Means 算法优缺点 | K-Means 算法变种 )

文章目录

• • • • K-Means 二维数据 聚类分析 数据样本及聚类要求
      • 二维数据曼哈顿距离计算
      • K-Means 算法 步骤
      • 第一次迭代 : 步骤 ( 1 ) 中心点初始化
      • 第一次迭代 : 步骤 ( 2 ) 计算距离
      • 第一次迭代 : 步骤 ( 3 ) 聚类分组
      • 第二次迭代 : 步骤 ( 1 ) 中心点初始化
      • 第二次迭代 : 步骤 ( 2 ) 计算距离
      • 第二次迭代 : 步骤 ( 3 ) 聚类分组
      • K-Means 迭代总结
      • K-Means 初始中心点选择方案
      • K-Means 算法优缺点
      • K-Means 算法变种

K-Means 二维数据 聚类分析 数据样本及聚类要求

数据样本及聚类要求 :

① 数据样本 : 数据集样本为

6

6

6 个点 ,

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) ,

A

2

(

3

,

7

)

A_2 ( 3 , 7 )

A2​(3,7) ,

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) ,

B

2

(

9

,

5

)

B_2 ( 9 , 5 )

B2​(9,5) ,

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) ,

C

2

(

4

,

9

)

C_2 ( 4 , 9 )

C2​(4,9) ;

② 聚类个数 : 分为

3

3

3 个聚类 ;

③ 距离计算方式 : 使用 曼哈顿距离 , 计算样本之间的相似度 ; 曼哈顿距离的计算方式是 两个维度的数据差 的 绝对值 相加 ;

④ 中心点初始值 : 选取

A

1

,

B

1

,

C

1

A_1 , B_1 , C_1

A1​,B1​,C1​ 三个样本为聚类的初始值 , 这是实点 ; 如果选取非样本的点作为初始值 , 就是虚点 ;

⑤ 要求 : 使用 K-Means 算法迭代

2

2

2 次 ;

⑥ 中心值精度 : 计算过程中中心值小数向下取整 ;

二维数据曼哈顿距离计算

1 . 曼哈顿距离 公式如下 :

d

(

i

,

j

)

=

∣

x

i

1

−

x

j

1

∣

+

∣

x

i

2

−

x

j

2

∣

+

⋯

+

∣

x

i

p

−

x

j

p

∣

d(i, j) = | x_{i1} - x_{j1} | + | x_{i2} - x_{j2} | + \cdots + | x_{ip} - x_{jp} |

d(i,j)=∣xi1​−xj1​∣+∣xi2​−xj2​∣+⋯+∣xip​−xjp​∣

d

(

i

,

j

)

d(i, j)

d(i,j) 表示两个样本之间的距离 , 曼哈顿距离 ;

p

p

p 表示属性的个数 , 每个样本有

p

p

p 个属性 ;

i

i

i 和

j

j

j 表示两个 样本的索引值 , 取值范围是

{

1

,

2

,

⋯

 

,

q

}

\{1 , 2, \cdots , q\}

{1,2,⋯,q} ;

x

i

p

−

x

j

p

x_{ip} - x_{jp}

xip​−xjp​ 表示两个样本 第

p

p

p 个属性值 的差值 ,

x

i

1

−

x

j

1

x_{i1} - x_{j1}

xi1​−xj1​ 表示两个样本 第

1

1

1 个属性值 的差值 ,

x

i

2

−

x

j

2

x_{i2} - x_{j2}

xi2​−xj2​ 表示两个样本 第

2

2

2 个属性值 的差值 ;

2 . 曼哈顿距离图示 : 曼哈顿的街道都是横平竖直的 , 从

A

A

A 点到

B

B

B 点 , 一般就是其

x

x

x 轴坐标差 加上其

y

y

y 轴坐标差 , 即

x

+

y

x + y

x+y ;

3 . 本题目中的样本距离计算示例 : 两个样本的曼哈顿距离是

x

x

x 属性差的绝对值 , 加上

y

y

y 属性差的绝对值 , 之和 ;

计算

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) ,

A

2

(

3

,

7

)

A_2 ( 3 , 7 )

A2​(3,7) 的距离 :

d

(

A

1

,

A

2

)

=

∣

2

−

3

∣

+

∣

4

−

7

∣

=

4

d(A_1 , A_2) = | 2 - 3 | + |4 - 7| = 4

d(A1​,A2​)=∣2−3∣+∣4−7∣=4

A

1

A_1

A1​ 样本与

A

2

A_2

A2​ 样本之间的距离是

4

4

4 ;

K-Means 算法 步骤

K-Means 算法 步骤 : 给定数据集

X

X

X , 该数据集有

n

n

n 个样本 , 将其分成

K

K

K 个聚类 ;

① 中心点初始化 : 为

K

K

K 个聚类分组选择初始的中心点 , 这些中心点称为 Means ; 可以依据经验 , 也可以随意选择 ;

② 计算距离 : 计算

n

n

n 个对象与

K

K

K 个中心点 的距离 ; ( 共计算

n

×

K

n \times K

n×K 次 )

③ 聚类分组 : 每个对象与

K

K

K 个中心点的值已计算出 , 将每个对象分配给距离其最近的中心点对应的聚类 ;

④ 计算中心点 : 根据聚类分组中的样本 , 计算每个聚类的中心点 ;

⑤ 迭代直至收敛 : 迭代执行 ② ③ ④ 步骤 , 直到 聚类算法收敛 , 即 中心点 和 分组 经过多少次迭代都不再改变 , 也就是本次计算的中心点与上一次的中心点一样 ;

第一次迭代 : 步骤 ( 1 ) 中心点初始化

初始化中心点 :

3

3

3 个聚类的中心点 , 在题目中已经给出 ;

① 聚类

1

1

1 中心点 :

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) ;

② 聚类

2

2

2 中心点 :

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) ;

③ 聚类

3

3

3 中心点 :

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) ;

第一次迭代 : 步骤 ( 2 ) 计算距离

距离计算次数 : 这里需要计算所有的样本 , 与所有的中心点的距离 , 每个样本都需要计算与

3

3

3 个中心点的距离 , 共需要计算

6

×

3

=

18

6 \times 3 = 18

6×3=18 次 ;

数据样本 :

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) ,

A

2

(

3

,

7

)

A_2 ( 3 , 7 )

A2​(3,7) ,

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) ,

B

2

(

9

,

5

)

B_2 ( 9 , 5 )

B2​(9,5) ,

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) ,

C

2

(

4

,

9

)

C_2 ( 4 , 9 )

C2​(4,9)

1 . 计算

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) 与 三个中心点

{

A

1

,

B

1

,

C

1

}

\{ A_1 , B_1 , C_1 \}

{A1​,B1​,C1​} 之间的距离 :

①

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) 与

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) 的距离 : ( 最小 )

d

(

A

1

,

A

1

)

=

∣

2

−

2

∣

+

∣

4

−

4

∣

=

d(A_1 , A_1) = | 2-2 | + | 4-4 | = 0

d(A1​,A1​)=∣2−2∣+∣4−4∣=0

②

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) 与

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 的距离 :

d

(

A

1

,

B

1

)

=

∣

2

−

5

∣

+

∣

4

−

8

∣

=

7

d(A_1 , B_1) = | 2-5 | + | 4-8 | = 7

d(A1​,B1​)=∣2−5∣+∣4−8∣=7

③

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) 与

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) 的距离 :

d

(

A

1

,

C

1

)

=

∣

2

−

6

∣

+

∣

4

−

2

∣

=

6

d(A_1 , C_1) = | 2-6 | + | 4-2 | = 6

d(A1​,C1​)=∣2−6∣+∣4−2∣=6

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) 与

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) 的距离最小 ;

2 . 计算

A

2

(

3

,

7

)

A_2 ( 3 , 7 )

A2​(3,7) 与 三个中心点

{

A

1

,

B

1

,

C

1

}

\{ A_1 , B_1 , C_1 \}

{A1​,B1​,C1​} 之间的距离 :

①

A

2

(

3

,

7

)

A_2 ( 3 , 7 )

A2​(3,7) 与

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) 的距离 :

d

(

A

2

,

A

1

)

=

∣

3

−

2

∣

+

∣

7

−

4

∣

=

4

d(A_2 , A_1) = | 3-2 | + | 7-4 | = 4

d(A2​,A1​)=∣3−2∣+∣7−4∣=4

②

A

2

(

3

,

7

)

A_2 ( 3 , 7 )

A2​(3,7) 与

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 的距离 : ( 最小 )

d

(

A

2

,

B

1

)

=

∣

3

−

5

∣

+

∣

7

−

8

∣

=

3

d(A_2 , B_1) = | 3-5 | + | 7-8 | = 3

d(A2​,B1​)=∣3−5∣+∣7−8∣=3

③

A

2

(

3

,

7

)

A_2 ( 3 , 7 )

A2​(3,7) 与

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) 的距离 :

d

(

A

2

,

C

1

)

=

∣

3

−

6

∣

+

∣

7

−

2

∣

=

8

d(A_2 , C_1) = | 3-6 | + | 7-2 | = 8

d(A2​,C1​)=∣3−6∣+∣7−2∣=8

A

2

(

3

,

7

)

A_2 ( 3 , 7 )

A2​(3,7) 与

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 的距离最小 ;

3 . 计算

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 与 三个中心点

{

A

1

,

B

1

,

C

1

}

\{ A_1 , B_1 , C_1 \}

{A1​,B1​,C1​} 之间的距离 :

①

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 与

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) 的距离 :

d

(

B

1

,

A

1

)

=

∣

5

−

2

∣

+

∣

8

−

4

∣

=

7

d(B_1 , A_1) = | 5 -2 | + | 8 -4 | = 7

d(B1​,A1​)=∣5−2∣+∣8−4∣=7

②

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 与

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 的距离 : ( 最小 )

d

(

B

1

,

B

1

)

=

∣

5

−

5

∣

+

∣

8

−

8

∣

=

d(B_1 , B_1) = | 5 -5 | + | 8 -8 | = 0

d(B1​,B1​)=∣5−5∣+∣8−8∣=0

③

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 与

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) 的距离 :

d

(

B

1

,

C

1

)

=

∣

5

−

6

∣

+

∣

8

−

2

∣

=

7

d(B_1 , C_1) = | 5 -6 | + | 8 -2 | = 7

d(B1​,C1​)=∣5−6∣+∣8−2∣=7

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 与

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 的距离最小 ;

4 . 计算

B

2

(

9

,

5

)

B_2 ( 9 , 5 )

B2​(9,5) 与 三个中心点

{

A

1

,

B

1

,

C

1

}

\{ A_1 , B_1 , C_1 \}

{A1​,B1​,C1​} 之间的距离 :

①

B

2

(

9

,

5

)

B_2 ( 9 , 5 )

B2​(9,5) 与

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) 的距离 :

d

(

B

2

,

A

1

)

=

∣

9

−

2

∣

+

∣

5

−

4

∣

=

8

d(B_2 , A_1) = | 9 -2 | + | 5 -4 | = 8

d(B2​,A1​)=∣9−2∣+∣5−4∣=8

②

B

2

(

9

,

5

)

B_2 ( 9 , 5 )

B2​(9,5) 与

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 的距离 :

d

(

B

2

,

B

1

)

=

∣

9

−

5

∣

+

∣

5

−

8

∣

=

7

d(B_2 , B_1) = | 9 -5 | + | 5 -8 | = 7

d(B2​,B1​)=∣9−5∣+∣5−8∣=7

③

B

2

(

9

,

5

)

B_2 ( 9 , 5 )

B2​(9,5) 与

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) 的距离 : ( 最小 )

d

(

B

2

,

C

1

)

=

∣

9

−

6

∣

+

∣

5

−

2

∣

=

6

d(B_2 , C_1) = | 9 -6 | + | 5 -2 | = 6

d(B2​,C1​)=∣9−6∣+∣5−2∣=6

B

2

(

9

,

5

)

B_2 ( 9 , 5 )

B2​(9,5) 与

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) 的距离最小 ;

5 . 计算

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) 与 三个中心点

{

A

1

,

B

1

,

C

1

}

\{ A_1 , B_1 , C_1 \}

{A1​,B1​,C1​} 之间的距离 :

①

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) 与

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) 的距离 :

d

(

C

1

,

A

1

)

=

∣

6

−

2

∣

+

∣

2

−

4

∣

=

6

d(C_1 , A_1) = | 6 -2 | + | 2 -4 | = 6

d(C1​,A1​)=∣6−2∣+∣2−4∣=6

②

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) 与

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 的距离 :

d

(

C

1

,

B

1

)

=

∣

6

−

5

∣

+

∣

2

−

8

∣

=

7

d(C_1 , B_1) = | 6 -5 | + | 2 -8 | = 7

d(C1​,B1​)=∣6−5∣+∣2−8∣=7

③

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) 与

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) 的距离 : ( 最小 )

d

(

C

1

,

C

1

)

=

∣

6

−

6

∣

+

∣

2

−

2

∣

=

d(C_1 , C_1) = | 6 -6 | + | 2 -2 | = 0

d(C1​,C1​)=∣6−6∣+∣2−2∣=0

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) 与

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) 的距离最小 ;

6 . 计算

C

2

(

4

,

9

)

C_2 ( 4 , 9 )

C2​(4,9) 与 三个中心点

{

A

1

,

B

1

,

C

1

}

\{ A_1 , B_1 , C_1 \}

{A1​,B1​,C1​} 之间的距离 :

①

C

2

(

4

,

9

)

C_2 ( 4 , 9 )

C2​(4,9) 与

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) 的距离 :

d

(

C

2

,

A

1

)

=

∣

4

−

2

∣

+

∣

9

−

4

∣

=

7

d(C_2 , A_1) = | 4 -2 | + | 9 -4 | = 7

d(C2​,A1​)=∣4−2∣+∣9−4∣=7

②

C

2

(

4

,

9

)

C_2 ( 4 , 9 )

C2​(4,9) 与

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 的距离 : ( 最小 )

d

(

C

2

,

B

1

)

=

∣

4

−

5

∣

+

∣

9

−

8

∣

=

2

d(C_2 , B_1) = | 4 -5 | + | 9 -8 | = 2

d(C2​,B1​)=∣4−5∣+∣9−8∣=2

③

C

2

(

4

,

9

)

C_2 ( 4 , 9 )

C2​(4,9) 与

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) 的距离 :

d

(

C

2

,

C

1

)

=

∣

4

−

6

∣

+

∣

9

−

2

∣

=

9

d(C_2 , C_1) = | 4 -6 | + | 9 -2 | = 9

d(C2​,C1​)=∣4−6∣+∣9−2∣=9

C

2

(

4

,

9

)

C_2 ( 4 , 9 )

C2​(4,9) 与

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 的距离最小 ;

8 . 生成距离表格 : 将上面计算的内容总结到如下表格中 ;

A 1 ( 2 , 4 ) A_1 ( 2 , 4 ) A1​(2,4)	A 2 ( 3 , 7 ) A_2 ( 3 , 7 ) A2​(3,7)	B 1 ( 5 , 8 ) B_1 ( 5 , 8 ) B1​(5,8)	B 2 ( 9 , 5 ) B_2 ( 9 , 5 ) B2​(9,5)	C 1 ( 6 , 2 ) C_1 ( 6 , 2 ) C1​(6,2)	C 2 ( 4 , 9 ) C_2 ( 4 , 9 ) C2​(4,9)
A 1 ( 2 , 4 ) A_1 ( 2 , 4 ) A1​(2,4)		4 4 4	7 7 7	8 8 8	6 6 6	7 7 7
B 1 ( 5 , 8 ) B_1 ( 5 , 8 ) B1​(5,8)	7 7 7	3 3 3		7 7 7	7 7 7	2 2 2
C 1 ( 6 , 2 ) C_1 ( 6 , 2 ) C1​(6,2)	6 6 6	8 8 8	7 7 7	6 6 6		9 9 9

第一次迭代 : 步骤 ( 3 ) 聚类分组

1 . 聚类分组 : 根据计算出的 , 每个样本与

3

3

3 个中心点的距离 , 将样本划分到 距离该样本最近的中心点 对应的分组中 ;

A 1 ( 2 , 4 ) A_1 ( 2 , 4 ) A1​(2,4)	A 2 ( 3 , 7 ) A_2 ( 3 , 7 ) A2​(3,7)	B 1 ( 5 , 8 ) B_1 ( 5 , 8 ) B1​(5,8)	B 2 ( 9 , 5 ) B_2 ( 9 , 5 ) B2​(9,5)	C 1 ( 6 , 2 ) C_1 ( 6 , 2 ) C1​(6,2)	C 2 ( 4 , 9 ) C_2 ( 4 , 9 ) C2​(4,9)
A 1 ( 2 , 4 ) A_1 ( 2 , 4 ) A1​(2,4)		4 4 4	7 7 7	8 8 8	6 6 6	7 7 7
B 1 ( 5 , 8 ) B_1 ( 5 , 8 ) B1​(5,8)	7 7 7	3 3 3		7 7 7	7 7 7	2 2 2
C 1 ( 6 , 2 ) C_1 ( 6 , 2 ) C1​(6,2)	6 6 6	8 8 8	7 7 7	6 6 6		9 9 9

2 . 根据表格中的距离 , 为每个样本分组 :

①

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) 距离

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) 中心点最近 , 划分到 聚类

1

1

1 中 ;

②

A

2

(

3

,

7

)

A_2 ( 3 , 7 )

A2​(3,7) 距离

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 中心点最近 , 划分到 聚类

2

2

2 中 ;

③

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 距离

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 中心点最近 , 划分到 聚类

2

2

2 中 ;

④

B

2

(

9

,

5

)

B_2 ( 9 , 5 )

B2​(9,5) 距离

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) 中心点最近 , 划分到 聚类

3

3

3 中 ;

⑤

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) 距离

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) 中心点最近 , 划分到 聚类

3

3

3 中 ;

⑥

C

2

(

4

,

9

)

C_2 ( 4 , 9 )

C2​(4,9) 距离

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 中心点最近 , 划分到 聚类

2

2

2 中 ;

3 . 最终的聚类分组为 :

① 聚类

1

1

1 :

{

A

1

}

\{ A_1 \}

{A1​}

② 聚类

2

2

2 :

{

A

2

,

B

1

,

C

2

}

\{ A_2 , B_1 , C_2 \}

{A2​,B1​,C2​}

③ 聚类

3

3

3 :

{

B

2

,

C

1

}

\{ B_2 , C_1 \}

{B2​,C1​}

第二次迭代 : 步骤 ( 1 ) 中心点初始化

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) ,

A

2

(

3

,

7

)

A_2 ( 3 , 7 )

A2​(3,7) ,

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) ,

B

2

(

9

,

5

)

B_2 ( 9 , 5 )

B2​(9,5) ,

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) ,

C

2

(

4

,

9

)

C_2 ( 4 , 9 )

C2​(4,9)

1 . 聚类

1

1

1 中心点计算 : 计算

{

A

1

(

2

,

4

)

}

\{ A_1 ( 2 , 4 ) \}

{A1​(2,4)} 中心点

聚

类

1

中

心

点

=

(

2

,

4

)

聚类 1 中心点 = ( 2 , 4 )

聚类1中心点=(2,4)

2 . 聚类

2

2

2 中心点计算 : 计算

{

A

2

(

3

,

7

)

,

B

1

(

5

,

8

)

,

C

2

(

4

,

9

)

}

\{ A_2 ( 3 , 7 ) , B_1 ( 5 , 8 ) , C_2( 4 , 9 ) \}

{A2​(3,7),B1​(5,8),C2​(4,9)} 中心点

聚

类

2

中

心

点

=

(

3

+

5

+

4

3

,

7

+

8

+

9

3

)

=

(

4

,

8

)

聚类 2 中心点 = ( \frac{3 + 5 + 4}{3} , \frac{7 + 8 + 9}{3}) = ( 4 , 8 )

聚类2中心点=(33+5+4​,37+8+9​)=(4,8)

3 . 聚类

3

3

3 中心点计算 : 计算

{

B

2

(

9

,

5

)

,

C

1

(

6

,

2

)

}

\{ B_2( 9 , 5 ) , C_1 ( 6 , 2 ) \}

{B2​(9,5),C1​(6,2)} 中心点

聚

类

3

中

心

点

=

(

9

+

6

2

,

5

+

2

2

)

=

(

7

,

3

)

聚类 3 中心点 = ( \frac{9 + 6 }{2} , \frac{5 + 2}{2}) = ( 7 , 3 )

聚类3中心点=(29+6​,25+2​)=(7,3)

第二次迭代 : 步骤 ( 2 ) 计算距离

计算

6

6

6 个点 , 到

3

3

3 个中心点的距离 ,

3

3

3 个中心点分别是

{

(

2

,

4

)

,

(

4

,

8

)

,

(

7

,

3

)

}

\{ ( 2 , 4 ) , ( 4 , 8 ) , ( 7 , 3 ) \}

{(2,4),(4,8),(7,3)} , 直接将两个点的曼哈顿距离填在对应的表格中 ;

如 : 第

1

1

1 行 , 第

2

2

2 列 :

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) 样本 与

(

4

,

8

)

( 4 , 8 )

(4,8) 聚类

2

2

2 中心点的 曼哈顿距离 是

6

6

6 , 计算过程如下 :

A

1

(

2

,

4

)

与

(

4

,

8

)

两

点

曼

哈

顿

距

离

=

∣

2

−

4

∣

+

∣

4

−

8

∣

=

6

A_1 ( 2 , 4 ) 与 ( 4 , 8 ) 两点曼哈顿距离 = | 2 - 4 | + | 4 - 8 | = 6

A1​(2,4)与(4,8)两点曼哈顿距离=∣2−4∣+∣4−8∣=6

A 1 ( 2 , 4 ) A_1 ( 2 , 4 ) A1​(2,4)	A 2 ( 3 , 7 ) A_2 ( 3 , 7 ) A2​(3,7)	B 1 ( 5 , 8 ) B_1 ( 5 , 8 ) B1​(5,8)	B 2 ( 9 , 5 ) B_2 ( 9 , 5 ) B2​(9,5)	C 1 ( 6 , 2 ) C_1 ( 6 , 2 ) C1​(6,2)	C 2 ( 4 , 9 ) C_2 ( 4 , 9 ) C2​(4,9)
( 2 , 4 ) ( 2 , 4 ) (2,4)		4 4 4	7 7 7	8 8 8	6 6 6	7 7 7
( 4 , 8 ) ( 4 , 8 ) (4,8)	6 6 6	2 2 2	1 1 1	8 8 8	8 8 8	1 1 1
( 7 , 3 ) ( 7 , 3 ) (7,3)	6 6 6	8 8 8	7 7 7	4 4 4	2 2 2	9 9 9

第二次迭代 : 步骤 ( 3 ) 聚类分组

1 . 聚类分组 : 根据计算出的 , 每个样本与

3

3

3 个中心点的距离 , 将样本划分到 距离该样本最近的中心点 对应的分组中 ;

A 1 ( 2 , 4 ) A_1 ( 2 , 4 ) A1​(2,4)	A 2 ( 3 , 7 ) A_2 ( 3 , 7 ) A2​(3,7)	B 1 ( 5 , 8 ) B_1 ( 5 , 8 ) B1​(5,8)	B 2 ( 9 , 5 ) B_2 ( 9 , 5 ) B2​(9,5)	C 1 ( 6 , 2 ) C_1 ( 6 , 2 ) C1​(6,2)	C 2 ( 4 , 9 ) C_2 ( 4 , 9 ) C2​(4,9)
( 2 , 4 ) ( 2 , 4 ) (2,4)		4 4 4	7 7 7	8 8 8	6 6 6	7 7 7
( 4 , 8 ) ( 4 , 8 ) (4,8)	6 6 6	2 2 2	1 1 1	8 8 8	8 8 8	1 1 1
( 7 , 3 ) ( 7 , 3 ) (7,3)	6 6 6	8 8 8	7 7 7	4 4 4	2 2 2	9 9 9

2 . 根据表格中的距离 , 为每个样本分组 :

①

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) 距离

(

2

,

4

)

( 2 , 4 )

(2,4) 中心点最近 , 划分到 聚类

1

1

1 中 ;

②

A

2

(

3

,

7

)

A_2 ( 3 , 7 )

A2​(3,7) 距离

(

4

,

8

)

( 4 , 8 )

(4,8) 中心点最近 , 划分到 聚类

2

2

2 中 ;

③

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 距离

(

4

,

8

)

( 4 , 8 )

(4,8) 中心点最近 , 划分到 聚类

2

2

2 中 ;

④

B

2

(

9

,

5

)

B_2 ( 9 , 5 )

B2​(9,5) 距离

(

7

,

3

)

( 7 , 3 )

(7,3) 中心点最近 , 划分到 聚类

3

3

3 中 ;

⑤

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) 距离

(

7

,

3

)

( 7 , 3 )

(7,3) 中心点最近 , 划分到 聚类

3

3

3 中 ;

⑥

C

2

(

4

,

9

)

C_2 ( 4 , 9 )

C2​(4,9) 距离

(

4

,

8

)

( 4 , 8 )

(4,8) 中心点最近 , 划分到 聚类

2

2

2 中 ;

3 . 最终的聚类分组为 :

① 聚类

1

1

1 :

{

A

1

}

\{ A_1 \}

{A1​}

② 聚类

2

2

2 :

{

A

2

,

B

1

,

C

2

}

\{ A_2 , B_1 , C_2 \}

{A2​,B1​,C2​}

③ 聚类

3

3

3 :

{

B

2

,

C

1

}

\{ B_2 , C_1 \}

{B2​,C1​}

第二次迭代的聚类分组 , 与第一次迭代的聚类分组 , 没有改变 , 说明聚类算法分析结果已经收敛 , 该聚类结果就是最终的结果 ;

K-Means 迭代总结

1 . 第一次迭代 :

① 设置中心点 : 设置了

3

3

3 个初始中心点 ,

A

1

(

2

,

4

)

A_1 ( 2 , 4 )

A1​(2,4) 对应聚类

1

1

1 中心点 ,

B

1

(

5

,

8

)

B_1 ( 5 , 8 )

B1​(5,8) 对应聚类

2

2

2 中心点 ,

C

1

(

6

,

2

)

C_1 ( 6 , 2 )

C1​(6,2) 对应聚类

3

3

3 中心点 ;

② 计算中心点距离 : 然后就算

6

6

6 个样本距离这

3

3

3 个中心点的距离 ;

③ 根据距离聚类分组 : 每个样本取距离最近的

1

1

1 个中心点 , 将该样本分类成该中心点对应的聚类分组 , 聚类分组结果是 , 聚类

1

1

1 :

{

A

1

}

\{ A_1 \}

{A1​} , 聚类

2

2

2 :

{

A

2

,

B

1

,

C

2

}

\{ A_2 , B_1 , C_2 \}

{A2​,B1​,C2​} , 聚类

3

3

3 :

{

B

2

,

C

1

}

\{ B_2 , C_1 \}

{B2​,C1​} ;

2 . 第二次迭代 :

① 计算中心点 : 根据第一次迭代的聚类分组结果计算

3

3

3 个中心点 ,

(

2

,

4

)

( 2 , 4 )

(2,4) 对应聚类

1

1

1 中心点 , $( 4 , 8 ) $ 对应聚类

2

2

2 中心点 ,

(

7

,

3

)

( 7 , 3 )

(7,3) 对应聚类

3

3

3 中心点 ;

② 计算中心点距离 : 然后就算

6

6

6 个样本距离这

3

3

3 个中心点的距离 ;

③ 根据距离聚类分组 : 每个样本取距离最近的

1

1

1 个中心点 , 将该样本分类成该中心点对应的聚类分组 , 聚类分组结果是 , 聚类

1

1

1 :

{

A

1

}

\{ A_1 \}

{A1​} , 聚类

2

2

2 :

{

A

2

,

B

1

,

C

2

}

\{ A_2 , B_1 , C_2 \}

{A2​,B1​,C2​} , 聚类

3

3

3 :

{

B

2

,

C

1

}

\{ B_2 , C_1 \}

{B2​,C1​} ;

3 . 最终结果 : 经过

2

2

2 次迭代 , 发现 , 根据最初选择中心点 , 进行聚类分组的结果 , 就是最终的结果 , 迭代

2

2

2 次的分组结果相同 , 说明聚类算法已经收敛 , 此时的聚类结果就是最终结果 , 聚类算法终止 ;

K-Means 初始中心点选择方案

1 . 初始中心点选择 :

① 初始种子 : 初始的中心点 , 又称为种子 , 如果种子选择的好 , 迭代的次数就会非常少 , 迭代的最少次数为

2

2

2 , 如上面的示例 ;

② 种子选择影响 : 初始种子选择的好坏 , 即影响算法收敛的速度 , 又影响聚类结果的质量 ; 选择的好 , 迭代

2

2

2 次 , 算法收敛 , 得到最终结果 , 并且聚类效果很好 ; 选择的不好 , 迭代很多次才收敛 , 并且聚类效果很差 ;

2 . 初始中心点选择方案 :

① 随机选择 ;

② 使用已知聚类算法的结果 ;

③ 爬山算法 : K-Means 采用的是爬山算法 , 只找局部最优的中心点 ;

K-Means 算法优缺点

1 . K-Means 算法优点 :

① 算法可扩展性高 : 算法复杂度随数据量增加 , 而线性增加 ;

② 算法的复杂度 : K-Means 的算法复杂度是

O

(

t

k

n

)

O(tkn)

O(tkn) ,

n

n

n 是数据样本个数 ,

k

k

k 是聚类分组的个数 ,

t

t

t 是迭代次数 ,

t

t

t 一般不超过

n

n

n ;

2 . K-Means 算法缺点 :

③ 事先必须设定聚类个数 : K-Means 的聚类分组的个数, 必须事先确定 , 有些应用场景中 , 事先是不知道聚类个数的 ;

④ 有些中心点难以确定 : 有些数据类型的中心点不好确定 , 如字符型的数据 , 离散型数据 , 布尔值数据 等 ;

⑤ 鲁棒性差 : 对于数据样本中的噪音数据 , 异常数据 , 不能有效的排除这些数据的干扰 ;

⑥ 局限性 : 只能处理凸状 , 或 球状分布的样本数据 , 对于 凹形分布 的样本数据 , 无法有效的进行聚类分析 ;

K-Means 算法变种

1 . K-Means 方法有很多变种 :

① K_Modes : 处理离散型的属性值 , 如字符型数据等 ;

② K-Prototypes : 处理 离散型 或 连续型 的属性 ;

③ K-Medoids : 其计算中心点不是使用算术平均值 , 其使用的是中间值 ;

2 . K-Means 变种算法 与 k-Means 算法的区别与联系 :

① 原理相同 : 这些变种算法 与 K-Means 算法原理基本相同 ;