1. 斐波那契数列
509. 斐波那契数
斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n) 。
示例 1：
输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
示例 2：
输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
示例 3：
输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3
提示：
0 <= n <= 30
题解：
class Solution:
def fib(self, n: int) -> int:
if n == 0:
return 0
if n == 1:
return 1
dp = [0] * (n + 1) # 定义 dp 数组
dp[0] = 0 # 初始化
dp[1] = 1
for i in range(2, n+1):
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] # 递推公式
return dp[n]
2. 爬楼梯
70. 爬楼梯
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
示例 1：
输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
示例 2：
输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶
提示：
1 <= n <= 45
爬楼梯实质上也可以看作一个斐波拉契数列：
class Solution:
def climbStairs(self, n: int) -> int:
dp = [0] * (n+1)
dp[0] = 1
dp[1] = 1
for i in range(2, n+1):
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
return dp[n]
类似题目 剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题：
class Solution:
def numWays(self, n: int) -> int:
if n == 0 or n == 1:
return 1
dp = [0] * (n + 1)
dp[0] = 1 # 0 个台阶有 1 种 方法
dp[1] = 1 # 1 个台阶有 1 种方法
for i in range(2, n + 1):
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
return dp[n] % 1000000007
3. 不同路径
62. 不同路径
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6
提示：
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109
题解一：
class Solution:
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
dp = [[0 for i in range(n)] for j in range(m)]
def diff_path(row, col):
# 第一列的任意单元格，只有来自它上一个单元格过来的方法
for i in range(n):
dp[0][i] = 1
# 第一行的任意单元格，只有来自它前一个单元格过来的一种方法
for j in range(m):
dp[j][0] = 1
# 随意一个单元格有来自上或者左的两种路径，第一行、第一列已填充，不用继续填充
for i in range(1, row):
for j in range(1, col):
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
# 返回最后一个单元格的位置
return dp[row - 1][col - 1]
return diff_path(m, n)
题解二：（更容易理解）
class Solution:
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
dp = [[0] * n for i in range(m)]
for row in range(m):
for col in range(n):
# 第一个格子只有一种方法
if row == 0 and col == 0:
dp[row][col] = 1
elif col == 0:
# 第一行的任意单元格，只有来自它前一个单元格过来的一种方法
dp[row][col] = dp[row-1][col]
elif row == 0:
# 第一列的任意单元格，只有来自它上一个单元格过来的方法
dp[row][col] = dp[row][col - 1]
else:
# 其他情况（中间）：任意一个单元格有来自其左或上两个方向的机器人
dp[row][col] = dp[row - 1][col] + dp[row][col - 1]
return dp[m - 1][n - 1]
4. 不同路径 II
63. 不同路径 II
示例 1：
输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2：
输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1
提示：
m == obstacleGrid.length
n == obstacleGrid[i].length
1 <= m, n <= 100
obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1
题解：
class Solution:
def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
row = len(obstacleGrid)
col = len(obstacleGrid[0])
# 只有一个单元格，即一行一列时
if row == 1 and col == 1:
if obstacleGrid[0][0] == 1:
return 0
else:
return 1
dp = [[0] * col for i in range(row)]
for i in range(row):
for j in range(col):
# 遇到阻碍，就跳过当前循环
if obstacleGrid[i][j] == 1:
continue
if i == 0 and j == 0:
dp[i][j] = 1
elif i == 0:
dp[i][j] = dp[i][j - 1]
elif j == 0:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
else:
dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j]
return dp[row - 1][col - 1]
5. 最小路径和
64. 最小路径和
给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
示例 1：
输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
示例 2：
输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12
提示：
m == grid.length
n == grid[i].length
1 <= m, n <= 200
0 <= grid[i][j] <= 100
题解：
class Solution:
def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:
m, n = len(grid), len(grid[0])
# 只有一个单元格时
if m == 1 and n == 1:
return grid[0][0]
dp = [[0] * n for i in range(m)]
for i in range(m):
for j in range(n):
if i == 0:
# 第一行，和 = 当前单元格数字 + 前一个单元格数字
dp[i][j] = dp[i][j - 1] + grid[i][j]
elif j == 0:
# 第一列，和 = 当前单元格数字 + 上一个单元格数字
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + grid[i][j]
else:
# 中间单元格，和 = 当前单元格数字 + 上一个和前一个单元格中最小的数字
dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j]
return dp[m-1][n-1]
注意：代表的是状态转移，它包括前面走过的路径之和，而dp[i][j - 1]、dp[i - 1][j]
代表的仅仅只是当前单元格一个数字，所以是：grid[i][j]
，而不是dp[i][j] = dp[i][j - 1] + grid[i][j]
dp[i][j] = grid[i][j - 1] + grid[i][j]
6. 最长递增子序列
300. 最长递增子序列
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：
输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1
提示：
1 <= nums.length <= 2500
-104 <= nums[i] <= 104
题解：
dp[i]
表示当前元素的递增子集个数
- 元素 1: 因为没有比它小的元素，所以递增子集数为 1
- 元素 7：递增子集有：
1、 17
1 + dp[0]
- 元素 2：递增子集有：因为
7
2
1、 12
1 + dp[0]
- 元素 5：递增子集有：
1 、 15、 125
1 + dp[2]
- 如此类推就能推出
dp[i]
class Solution:
def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
n = len(nums)
if n == 1:
return 1
dp = [1] * n
res = 1
for i in range(n):
for j in range(i):
# 当前元素与它之前所有的元素进行比较，若之前元素比当前元素大，则跳过不考虑，只需要考虑比它小的即可
if nums[i] > nums[j]:
dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i])
res = max(res, dp[i])
return res
参考：【算法太难了】【23】最长递增子序列-动态规划
7. 最长公共子序列
1143. 最长公共子序列
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例 1：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。
示例 2：
输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。
示例 3：
输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。
题解：
对于两个字符串求子序列的问题，都是用两个指针
i
和
j
分别在两个字符串上移动，大概率是动态规划思路
class Solution:
def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
# dp 函数的定义：dp(s1, i, s2, j) 计算 s1[i..]和s2[j..]的最长公共子序列长度
dp = [[-1 for _ in text2] for _ in text1]
def ways(s1, i, s2, j):
# bad case，此时 s1 或 s2 相当于空串了
if len(s1) == i or len(s2) == j:
return 0
# 备忘录，避免重复计算
if dp[i][j] != -1:
return dp[i][j]
# 比较两个字符串是否相等，若相等一定这个字符串一定在 lcs 中
if s1[i] == s2[j]:
dp[i][j] = 1 + ways(s1, i+1, s2, j+1)
else:
# 不相等，则 s1[i] 、s2[j] 至少有一个不在 lcs 中
dp[i][j] = max(
ways(s1, i+1, s2, j), # s1[i] 不在 lcs 中
ways(s1, i, s2, j+1), # s2[j] 不在 lcs 中
ways(s1, i+1, s2, j+1) # 都不在 lcs 中（这一步可省略，因为前面两步已经包含了）
)
return dp[i][j]
return ways(text1, 0, text2, 0)
8. 最长回文子序列
516. 最长回文子序列
给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。
子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。
示例 1：
输入：s = "bbbab"
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 。
示例 2：
输入：s = "cbbd"
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bb" 。
提示：
1 <= s.length <= 1000
s 仅由小写英文字母组成
题解：
用
dp[i][j
表示字符串 s 下标范围
[i, j]
内最长回文子序列的长度，假设字符串 s 的长度为 n，则只有当
0<=i<j<n
时，才会有
dp[i][j] > 0
，否则有
dp[i][j]=0
class Solution:
def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
n = len(s)
dp = [[0] * n for _ in range(n)]
# 倒序递归
for i in range(n-1, -1, -1):
# bad case，若只有一个字符，最长回文子序列长度是 1，dp[i][j] = 1 (i == j)
dp[i][i] = 1
for j in range(i+1, n):
# 它俩一定在最长回文子序列中
if s[i] == s[j]:
dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
else:
# s[i+1..j] 和 s[i..j-1] 谁的回文子序列更长
dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
return dp[0][n-1]
参考：子序列问题通用思路|最长回文子序列
9. 最长回文子串
5. 最长回文子串
给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。
示例 1：
输入：s = "babad"
输出："bab"
解释："aba" 同样是符合题意的答案。
示例 2：
输入：s = "cbbd"
输出："bb"
提示：
1 <= s.length <= 1000
s 仅由数字和英文字母组成
题解：
class Solution:
def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
long_sub = ""
for i in range(len(s)):
odd = self.is_palindrom(s, i, i) # 回文串元素个数为奇数
even = self.is_palindrom(s, i, i + 1) # 回文串元素个数为偶数
long_sub = odd if len(odd) > len(long_sub) else long_sub
long_sub = even if len(even) > len(long_sub) else long_sub
return long_sub
def is_palindrom(self, s, l, r):
"""不超出边界且扩散的两边的元素相等，返回回文子串"""
while l >= 0 and r < len(s) and s[l] == s[r]:
l -= 1
r += 1
return s[l + 1: r]
s = 'babad' n = len(s) = 5
i = 0
奇数：l = 0, r = 0 ==> s[l] == s[r] ==> l = -1, r = 1 ===> s[0: 1] ==> long_sub = "b"
偶数: l = 0, r = 1 ==> s[l] != s[r] ===> s[0: 1] ==> long_sub = "b"
i = 1
奇数：l = 1, r = 1 ==> s[l] == s[r] ==> l = 0, r = 2 ===> l = -1, r = 3 ===> s[0: 3] ==> long_sub = "bab"
偶数: l = 1, r = 2 ==> s[l] != s[r] ===> s[2: 2] ==> long_sub = "bab"
....
![JAVA实现变态跳台阶问题（《剑指offer》）[图]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)