George Lusztig 教授
策划 | 刘太平
访问 | 程舜仁、 王伟强、David Vogan
时间 | 2016 年1月6日
地点 | 中央研究院数学研究所（台湾）
整理 | 黄馨霈
来源 |《数学传播》2016年12月（160），好玩的数学获授权转载，在此感谢！
George Lusztig 教授1946 年生于罗马尼亚, 1968 年自University of Bucharest 毕业, 1971 年取得美国普林斯顿大学硕士和博士学位。现为麻省理工学院Abdun-Nur 数学讲座教授, 以在表现理论及代数群的工作为人所知。2005 年获罗马尼亚科学院数学研究所授予荣誉院士, 为英国皇家学会、 美国人文与科学学院及美国国家科学院院士。2014年获颁邵逸夫数学科学奖。2022年沃尔夫数学奖得主，表彰“其对表示论及其相关领域的开创性贡献”。
程舜仁(以下简称“程”): 首先, George 谢谢你愿意接受访谈。我们先从下面的问题开始: 你什么时候知道自己对数学感兴趣?在怎样的年纪? 怎样的时间点?
Lusztig (以下简称“L”): 大概是14 岁, 在那之前我对数学就很有兴趣, 但14 岁才下定决心要当一位数学家。
程: 所以在进大学前, 你就知道自己想当数学家。
L: 对。
程: 了解。不过, 可能你也知道在华人的文化里, 父母通常……
L: 是因为八年级参加奥林匹亚竞赛, 那时我对这种国家奥林匹亚没什么概念, 不期待会有好的表现, 结果却出乎意料, 我就决定要认真花很多时间在上面。
王伟强(以下简称“王”): 在你初中的时候? 14岁?
L: 高中第一年的时候。
程: 你就读University of Bucharest 的时候, 当时的数学系与西方的学校相较, 在课程上有什么不同？
L: 嗯, 很难比较, 非常不一样。首先, 大学要念五年, 但在最后两年必须做一些专题, 也许比较像硕士的学程。
程: 我要问的是, 进到大学只需要修数学课, 还是也需要修其它的?
L: 必须进到数学系, 通过入学考试, 决定自己喜欢的校系。
程: 所以不像在美国, 必须修其它数学以外的课……
L: 也不是, 举例来说, 学生得修马克思主义。每年都要修某些马克思主义的课, 五年中大概有两年要修。
程: 你学了什么? 我的意思是, 这些课教什么?
王: 我们在中国大陆有一门类似的课, 要学中国共产党的历史。
L: 对, 有一门辩证唯物主义, 是某种马克思主义哲学, 还有政治经济这类的主题, 但也都是马克思主义。此外我们还有教学教法的课。因为这个系基本上是为了培育师资, 所以我们要上教学教法, 另外第一年要上物理, 还有力学。
程: 所以是数学和力学的系, 跟俄罗斯的体系一样, 这回答了我第二个问题: 罗马尼亚的教育体系是否受到苏联影响? 显然在这所大学答案是肯定的。
L: 有个影响是, 市面上有许多俄文数学书, 翻译所有来自西方的东西, 每卷Bourbaki 都有俄文翻译, 这些书定价极为低廉, 我能轻松购买, 相形之下比现在更负担得起。
程: 现在我们没人能买得起, 特别是Elsevier的期刊。
王: 你能读俄文吗?
L: 可以。
程: 想来你们在高中或大学俄文是必修?
L: 我们4 年级到11 年级都要学俄文, 大一大二也要。
程: 满多的。
王: 俄文是第二官方语言吗?
L: 不是。我们要修两种外语, 俄文是必修, 另一种可以选英文、法文或德文。
程: 所以你选的是?
L: 虽然理论上如此, 但也要看实际的开课状况, 不是每间学校都有这些选项。我修法文。
程: George, 你读University of Bucharest 时, 有没有哪位教授影响你最深?
L: 有, 有位教授叫Teleman。叫Teleman 的有好几位, 来自同一个家族, 有血缘关系。这位教授有四个兄弟都是数学家, 其中一位是我的教授。
程: 为什么你要到西方去?怎么去的?你离开罗马尼亚后直接去美国?
L: 不, 其实我先前到过西方一次, 又回到罗马尼亚。1968年我参加意大利的暑期学术活动, 会后去了英国, 这其实是不被允许的, 但我去大使馆申请溯及既往的许可。回国半年后到德国波昂, 再去美国。其实, 我收到普林斯顿大学的邀请是因为Atiyah的关系。我第一次和Atiyah 见面在牛津。
程: 我想不是每个人都知道Atiyah 那时在普林斯顿。
L: 我1968 年在牛津第一次见到他的时候, 他正要到普林斯顿。应聘的同时可以推荐一些年轻人到高等研究所, 他推荐我和他一起工作。所以1969 年他已经在普林斯顿了。
程: 不, 你说过你先去了意大利。
L: 不是, 那是另一次, 是我第一次出国。先到意大利, 再到英国, 而后回罗马尼亚。我在牛津时就收到普林斯顿的邀请, 回国后申请去普林斯顿, 却遭到拒绝。
程: 那你怎么办?
L: 不过同时我也收到波昂Arbeitstagung 的邀请。那个邀请被批准了, 因为时间短, 只有一周, 算是地方当局的权限, 长途旅行则需要中央批准。所以同一时间, 一个批准, 一个驳回。因此, 我先去了波昂, 从那里绕道去美国, 因为我没有美国签证。
程: 但你有普林斯顿的邀请函?
L: 对, 实际上我先去加拿大, 参加一场会议。在加拿大申请美国签证, 待了两个月, 之后才到普林斯顿。
程: 和Michael Atiyah 一起做研究是怎样的情况?
L: 当然我不是他正式的学生, 他是非常杰出的数学家, 为人极好, 给了我很大的帮助。其实我们讨论, 又讨论, 几乎天天都在讨论, 那真的……
王: 你去Warwick 之前在普林斯顿待了一年?
L: 两年。
Vogan (以下简称“V”): 他必须拿到博士学位。
王: 对, 才可以教书。但你的论文做的不全是Lie theory, 对吗?
王: 你是怎样逐渐地或者迅速地转向Lie theory, 或Lie type 有限群(finite groups) 的研究?
L: Atiyah 当然懂一些Lie theory, 对古典群表现(classical group representation) 知道的既多又精。但他对例外群(exceptional groups) 评价不高, 觉得不重要, 可以忽略。因此我知道的全都是指标理论(index theory) 的东西, Michael Atiyah 其实是拓朴学家。但是后来因为Quillen 的一场演讲, 那时Quillen 也在普林斯顿, 他用有限群表现(representation of finite groups) 的方法解决拓朴里的一些问题；事实上, 他利用Brauer lifting 把有限群的模表现(modular representation) 提升成以复数为系数的virtual representation, 类似Green 以前做过的东西。其实那是非常深奥的定理, 没有其他拓朴学家意识到这样做, 很令人赞叹。他运用那个方法解决某些拓朴的东西, 我很感兴趣, 问Atiyah 对于Brauer lifting 有没有更明确的了解。因为Quillen 从有限体 的自然表现着手, 以某种方式与某些复表现, 它的virtual representation 连结。我问他是否已经知道virtual representation 的分量(components)? Atiyah 告诉我, 特征标(characters) 已经知道, 但实际的表现仍未知, 特征标是经由Green 的工作为人所知。
王: 在type A?
L: 那只是标准的 表现。这些分量中有一个是离散级数表现(discrete series representation), 仍未知, 已知的只有它的特征标。我开始有兴趣, 所以学的基本上是我需要的, 后来我对表现理论越来越感兴趣。
王: 那时已经有Green 的 特征标理论?
L: 对, 1955 年就出来了。有趣的是, 离开普林斯顿前我得到Warwick 大学的聘书, Green 正好在那。我以为对于我想解决的这个问题那里会是个好地方。但我错了, 其实他身体不太好, 几乎从没到系里来。
王: 之后你在Warwick 持续做哪方面的研究?
L: 对, 但Carter在那, 我跟他讨论, 他为我解释各种代数群, 我们合写了一些论文。最后我终于能解决这个问题。
王: 在那个阶段你还是只研究type A?
L: 不, 我第一件事是藉由运用Witt 向量的某个明确的模型, 找到方法来建构这个 的离散级数表现。然后很快地我开始对古典群问相同的问题, 因为它们也有一个自然的表现。在做这个工作的时候, 透过对Brauer lifting 的审视, 我开始对表现理论有些了解。
V: 以当时的技巧来看, 不可能做出这些古典群的特定表现；但另一方面, 经由你之后十年的工作, 这些却变得出奇地简单。不过想到这些问题曾经那么复杂, 简单其实只是貌似简单。是这样吗?
L: 基本上古典群在Brauer 提升(lifting) 之下会发生什么情况？比方说symplectic 群, 有2 个分量(component), 在模设置(modular setting) 里有 维表现, 将这 维表现提升, 其中之一实际上是与Coxeter 环面(torus) 对应的一个离散级数, 但其它的也很困难, 不是离散级数, 却必须用离散级数分解。在 里, 所有其它的都是直接induced, 完全没有被分解。在别的古典群中, 分解不是简单的工作, 我必须了解有不等参数的Hecke algebra(Hecke algebra with unequal parameters), 是我必须要用的 所以比 还来的复杂。这个方法只能建构一个级数, 但古典群有多个离散级数, 好几个非同构(non-isomorphic) 的环面。事实上我下了不少功夫, 最终做出些成果, 却从未发表, 只写了一些非常简短的摘要。其实那是相当不错的理论, 没有发表某方面是因为它已经过时。但这一切其实帮助我获得许多经验, 在其它方面对我也有很大的助益。
V: 所以听起来, 你可能做了一些几乎是为这些古典群写下特征标列表(character tables)的事, 无论如何, 你非常明确地计算了很多表现的特征标, 了解所有的共轭类(conjugacy classes)。每个做数学的人都必须做些这样的计算, 但有些人比其他人还要喜欢, 你喜欢计算吗? 你算的真不少。
L: 嗯, 我确实很喜欢计算。
王: 嗯, 那些计算是我从来没有真正念过的东西, 但我学过你的辫子群(braid group)计算, 过了20 年仍然是个折磨。我教过辫子群几次, 总是选比较简单的类型来教, 但即便如此它还是非常复杂。即使到了今天, 我也从未尝试计算。
V: 你说过在Bucharest 必须修一门教学的课, 你有没有从这门课学到什么?
L: 没有。
V: 但另一方面你提到Teleman, 你是怎么学到如何写出好的数学论文和做出好的数学? 你追随和效法的对象是谁?
L: 我在大学时的确写了些论文, 但我不认为我从Teleman 身上学了什么。从Atiyah 那倒是学了不少, 我试着以他为典范；应该说从Deligne身上学到更多, 我学了他的写作方式。
王: 我读过一些Atiyah 的文章, 我记得你们的风格不是很类似, 让我这么说吧!
L: 不像。
V: 读论文、听演讲, 目前为止你已经读过也知道许多人做的数学, 有没有哪些人是你认为大家应该效法的最佳典范?
L: Milnor 是我心目中的第一名, 一直有人告诉我他是这方面最厉害的数学家。他的书绝对是最好的, 他的演讲也是最好的, 是我的典范。
V: 你是否慎重考虑过回去做拓朴? 1970 到1980 年代, 在你开始做有限群、约化群(reductive groups)等之后, 你势如破竹地解决问题, 同时又快速地开启新问题, 很难想见你会回去做一些其它的东西, 因为还有很多东西值得挖掘。
L: 现在还是这样。不过还有个原因, 我在普林斯顿时觉得自己会成为拓朴学家, 我知道Dennis Sullivan, 和他有些接触。事实上我当时的印象是, 他在解决拓朴的所有主要问题, 那就是我之所以不做拓朴的原因。其实即使到现在, 我还是觉得表现理论比拓朴有更多有趣的问题。我觉得拓朴作为一个工具是非常有用的。
王: 古典群有更有趣的东西。
L: 但我发现拓朴作为一个目标, 本身并不那么有趣。
V: 我忘了是谁说的, 数学就像花园, 在土地上施肥浇灌是很重要的。
L: Hironaka 说的。
V: 对, 但有些部分的数学是花朵, 所以或许群和表现是一些花朵。数学里有许许多多崭新的想法由你切身参与创造。我的印象是, 绝大多数的新观点是在你有待解的问题, 却无法用现有的数学解决时出现, 所以你就造了个新东西来解决一个旧问题。你是否曾发掘一些东西, 只因为它看起来会是很有意思的想法? 我总感觉Kac-Moody Lie代数像人为造出来的, 因为在Serre relations 写下来后, 我们或许会说:“嗯, 我们不需要它是有限维代数之类的, 所有的形式(formalism)还是做得出来。” 我的感觉是, 似乎没有多少理由要去做这个可以做得出来的数学。但你引入这个主题的新东西, 似乎总是为了来告诉你与旧问题有关的东西, 至少起初如此。
L: 其实我的印象是, 向来在我追寻某些目标的时候, 总是运气好, 机缘凑巧发生了些事情。举个例子, 某个时候我非常想了解如何分类古典群的表现, 与Deligne 合写论文后我就很想知道, 觉得这是真正重要的问题。尽管 的情形已为人所知, 如何分类古典群的表现却仍全然未知。我并没有想出任何新方法, 我已经知道与Deligne 合写的论文中的方法。但后来我遇见Ree 和Chang 这两位韩国数学家, 你们知道这两个人吗?
V: Ree group 的Ree ?
L: 对, 还有另一个人是他的合作者。他们研究有限体(finite field) 上的 特征标。我在温哥华碰到他们, Chang 告诉我他有个学生, 刚算出古典型的任意不等参数的Iwahori Hecke algebra (Iwahori Hecke algebra of classical type with arbitrary unequal parameters), 他有它们的构造和度数(degrees), 这小子实际上不再做数学了。这个消息来的正是时候, 于是我研究他的东西, 发现几乎就是我缺少的。像这样的事有好几次, 我只是碰巧得到正好缺少的东西, 它们刚好被送到我面前。
王: 但是如果那时没有那个方法, 你大概会硬着头皮自己解了。
L: 有可能。这些机缘接二连三而来, 在我了解这些古典群之后, 立刻发现某篇论文的抽印本里有人找到 型Hecke algebra 的generic degree。
王: 对例外群感兴趣, 你可不是Atiyah 的好学生。
L: 我真正想做分类 回到前面提到的generic degree, 我从那里得到如何建构非阿贝尔傅立叶变换矩阵(non-abelian Fourier transform matrix)的一些想法, 因为上述论文里有 的度数表, 可以看到它们头几项都有这样的系数, 1/120, 1/24 ,, 我从中看出一些模式(pattern)。不过这本抽印本来的时机正好。
王: 那些你都是自己动手算的, 对吗?
L: 不, 我没有做那些计算, 是别人算的。
程: 但我要说的是, 如果没有那些, 很有可能你会自己算, 是吗?
V: 嗯, 你有一些可以差遣的朋友。我的意思是, 最终你一定会需要所有Weyl 群表现的分支表, 你不必自己算, 可以麻烦他们算, 不过要为结果负责。
L: 对, 即使在那之前, 我第一次用电脑是计算fake degree, 在这项研究中我做了古典群的fake degree, 我想知道例外群的fake degree。为此我找了Warwick 的某个人, 告诉他计算规则, 他就帮我计算。那是我第一次用电脑。
王: 我想我知道他的名字, Beynon? 他不是数学家。
L: 不是, 他是计算机科学领域的。
王: 所以对于exceptional type 的计算有时没有电脑, 即便是你都觉得无望。
L: 对, 电脑带来很大的改变。大概在1960 年代, 大家认为古典群简单, 而例外群较难。因为电脑的关系, 我想现在反过来了。
V: 我想问一个看似截然不同, 但或许也不是那么不同的事。Joanne Jonsson 是MIT 数学系的行政人员。当然, 系上有很多人到各地开会, 他们常跟她聊起到过的地方, 她说她最喜欢听你跟她分享, 因为她说: “他看到每一样东西, 记得每一件事情。”你知道这件事吗? 我指的是显然你知道, 比起其他人, 你更能洞察某些数学的东西, 但你是否察觉到你对其他事物也是如此?
L: 我很讶异!
V: 你提到在种种因缘巧合下, 有现成的结果正是你需要的。不过数学世界里现成的成果比比皆是, 要找到合适可用的却未必那么容易。
L: 其实我会开始对量子群感兴趣, 是因为Borel写了封信给我, 他说Michio Jimbo 有个工作我可能会感兴趣, 因为Jimbo 做了些看似Hecke algebra 的东西。他知道我对Hecke algebra 有兴趣, 他说实际上Hecke algebra 直接在Jimbo 的工作里出现。他点出这点, 于是我研究量子群并且开了门课。
程: 那是什么时候? 哪一年?
L: 1986。
王: 那篇论文在86 年发表。我想我们可能对你在量子群的工作, 比你早期在李型有限群的工作知道的多一些。即使我翻过你早期的书一两次, 还是不确定自己吸收了多少。
L: 但我觉得李型有限群某方面来说, 比量子群来的有趣, 因为不知道结果, 很神秘。
王: 没错, 李型有限群的这些问题已经有100 年那么老, 可说是一个古典的老问题。那么我们可以说引进几何方法是李型有限群的关键之一吗?
L: 确实, 没有几何的方法什么事也做不成。
V: 令人惊讶的是, Green 在1950 年代就完整列出不可约 表现的表, 所以只要够努力, 似乎就能达成任何事。但也就是因为你和Deligne 引进的几何方法, 才让其中的一些结果更清楚, 让人更明白什么必须是对的, 而不仅仅是某些可怕计算的结果。
L: 喔, Green 所有的文章都很令人赞叹, 他是唯一精通模表现的人, 所以能够用Brauer 的方法。他是Hall的学生, 因此他知道关于Hall 多项式的种种, 他用这个来定义Green多项式。他了解所有这些东西, 在他之前, Steinberg 在做这方面的研究, 但只做到。
王: 我很确定对称多项式, Hall-Littlewood, 还有如何让所有这些东西运作, 确实需要对它们有所专精。不过回到量子群, 从86 年到94 这好几年间, 你都很专注在量子群上, 它是你的主要工作。
L: 对, 几乎有10 年之久。我研究两个理论, 其实是两件事: 一个是在单位(元)根的量子群(quantum groups at a root of unity), 试图了解它们对模表现的助益；另一个是canonical basis。
程: 那时我们还是学生。
王: 对, 那时候我还不懂canonical basis, 虽然我上你的课时有抄笔记。
L: 但现在你了解颇深。
王: 但只有到了现在我才真的需要它。过去5 到10 年我已经被学生训练得很好, 不知怎的我被迫遭到不同学生以不同目的再教育。
L: 其实Borel 是对的, 他可以看出了解Hecke algebra 对我有帮助, 我就能把某些东西搬到量子群, 一点也不错。
V: 你谈到和Atiyah 以及Deligne 一起工作, 他们可以说是你的老师, 也是合作者。你喜欢和学生一起工作吗? 我的意思是你有两个选择：你可以写一本优美的书, 寄给出版社；或者收一位学生, 这是非常不同的满足。你有过美好的经验吗?
L: 有, 我有一些非常好的经验。我有一些非常优秀的学生, 很开心能有这样的学生。其中一个是Spaltenstein, 另一个是Xuhua He（注：何旭华）。我有好几个这样的学生, 但不是所有人都是如此, 其中一些真的很优秀。
V: 有没有学生真的改变了你做数学的方式, 改变了你做某些问题的思维?
L: 有, 我从Spaltenstein 身上学到很多, 比从其他学生那里学到的还多。他其实是我非常早期的学生, 大概是最早在英国的时候。
程: 他是第一个还是第二个学生?
L: 一开始我有三个学生, 他大概是一年后才来, 可能是第二个, 第一个是de Concini。
王: 从你的著作目录, 不难发现你绝大多数的论文都是单一作者。谈到这样的工作方式和合作者, 基本上是你自己的选择, 还是自然而然就是如此? 你有怎样的看法?
L: 没错, 我通常独自研究, 有些例外, 但我想单独做研究对我是很自然的。
王: 即使是那些冗长的计算, 你也愿意自己来?
程: George 说过他喜欢计算。
V: 我不晓得是否和Deligne 合作, 宠坏了你和别人合作的胃口。
王: 可能很多人倾向有多位合作者, 而不是在漫长的学术生涯中独立研究?
V: 我问过在数学评论(Math Reviews) 工作的人, 他们可以轻易统计出共同作者的人数实际上是否有增加的趋势。我的印象是人数确实是增加的。
L: 甚至是四个人 我发现有四位作者的论文也变得稀松平常, 至少我在这场会议中看到。
程: 对, 没错, 三或四人。很平常, 因为沟通变得容易。
王: 对, 也变得有效率。单一个人只有一种专业。我们学东西不够快, 即便我们知道该学什么。合作者往往令我赞叹, 他们带来许多不错、 又有别于一般的方法, 我单打独斗可能要花更长、 或是一辈子的时间来学。
V: 不过关于合作有各式各样的笑话, 我记得的可能不是很对。骆驼是集体炮制的马(A camel is a horse designed by a committee.), 合作总有一些问题。
L: 我从来没有待过四人团队, 三个人就是上限。
V: 有一次你告诉我, 你在Bucharest 念中学的时候
L: 不是中学, 在Bucharest 是念大学的时候。
V: 对, 你参加划船队。怎么样分配划船、念书和做数学的时间?
L: 在Bucharest 我划得不多。其实是高中最后两年我才划船, 与课业并不冲突。一周大概两次, 我体育很差, 因缘际会接触到划船。我忘了是怎样开始的, 但它改善了我的健康, 所以是很好的。
V: 但后来你没再继续了。
L: 后来念大学, 第一年仍持续, 不过不是很方便, 要走很远, 划了一年我不是很喜欢。在我们家乡有条河, 很方便, 我很喜欢。
V: 你找到其它活动了吗? 我的意思是, 为了做数学, 你是否觉得必须做点不同于数学的事?
L: 有, 举例来说, 像瑜珈。我想没有瑜珈我无法运作。
程: 做瑜珈时你是否会想到数学?
L: 不会。
程: 你是否可以轻易地让自己的脑袋关机? 譬如准备就寝时, 可以很快进入梦乡?
L: 我要睡觉时可以入睡, 问题在于我常在半夜醒来, 脑中总有些问题浮现, 让我往后两小时无法入眠。但就寝时没有问题, 因为很累。
V: 你说过你喜欢读Milnor 的书, 有没有什么非数学的书你觉得值得一读?
L: 有。
V: 《爱在瘟疫蔓延时》?
L: 那本很不错, 我很喜欢。你喜欢吗?
V: 嗯, 我记得大概二十年前你提过。
L: 对, 我提过。
V: 看吧, 你要很小心你说过的话, 我们全都会记下来。
L: 嗯, 这位作家我很喜欢, 我读了好几本他的书。
程: 《百年孤寂》( One Hundred Years of Solitude )?
王: 我想舜仁可能推荐过这些书给我。
程: 非常好的书, 马奎斯(Marquez)的书。
V: 你现在还会读非英文小说之类的书吗?
L: 会, 事实上我刚读了一些巴尔札克(Balzac)的法文小说, 有时我会读罗马尼亚文的书, 偶尔也读意大利文的, 但相对较少。意大利文的书过去倒是读了不少。
程: 你说过你只在意大利短期待过。
L: 一年。
V: 意大利文和罗马尼亚文相去不远?
L: 对, 但还是要学, 不是
V: 嗯, 我知道意大利文不是方言。
L: 但还是可以从一种语文过渡到另一种, 了解到某种程度。
V: 你以前的俄文数学书是不是跟着你一起带到美国来?这些书还在吗?
L: 不, 是我姊姊带过来的, 我姊姊后来才来, 她把书带来, 所以全部都在。但我无法读俄国文学作品, 我的程度不到那。其实有本我最近读的书, 觉得很不错、值得推荐, 是俄国人Vasily Grossman写的《生命与命运》( Life and Fate ), 主题是史达林格勒战役。这本书真的很不错, 跟《战争与和平》有些相似, 也谈到某些涉及俄国国家存亡的战役。
V: 那么音乐呢? 你有很多机会听音乐吗?
L: 我太太功勤(Gongqing) 每天都会弹钢琴, 练琴。
程: 在家就有现场演奏可听, 真好！你睡前看书吗?是否让你感到放松?
L: 不会, 睡前不会。
王: 你本身写过好几本书, 是否享受写书的经验?
L: 那些不是真的书, 第一本写的是的离散级数表现, 原先没有设定是一本书, 而是论文。我投稿Ann.~Math., 他们提议出书而不是当作论文发表, 所以我就照做。
V: 《约化群在有限体的特征标》( The Characters of Reductive Groups over Finite Fields )?
L: 我也把它看作是论文而不是一本书, 书的话应该要让它更容易读, 但我没有这么做。我是用尽可能快速完成的方式来写, 所以我写下所有东西, 不很在意读者。
V: 我本来要问你写过几本书, 但我想那很容易计算, 你写的文章长度是常态分布, 任何一篇超过200页的论文都是书。
王: 但是" Introduction to Quantum Groups, Progr.in Math.110, Birkhauser Boston 1993, 341p. (Reprinted 1994, 2010.) " 肯定是一本书。
L: 是某种 但
程: 是介绍(introduction)。
V: 如果是论文, 标题里就不该有“介绍”。
王: 但是这本你从开始就想把它写成一本书。
V: 那么Hecke Algebras with Unequal Parameters呢?
L: 那是被要求的, 我在Montreal 给的系列演讲他们要我写成书。那些内容我在MIT 讲过, 已经有一些笔记, 只需要加以扩充。所以实际上" Introduction to Quantum Groups " 大概是唯一原本就预定不是论文的书。
V: 真有趣。
王: 对, " Introduction to Quantum Groups "要花许多功夫才能融会贯通, 我的意思是, 需要另外的介绍才能进入这本介绍。
程: 我一直在想它的标题,~ 我的意思是,~ 你是刻意将书名取作" Introduction~ to~ Quantum Groups " 的吗?
L: 你觉得有误导之嫌?
V: 这个书名遵循André Weil基础数论的传统, 我假定你相信这类好书很重要, 能让下一代数学家深入这些问题。你说过有限Chevalley 群的特征标是最令人兴奋或极为令人兴奋的工作, Roger Carter曾在文章中阐述这些, 我想很多人都受益良多。你想过这些吗? 会不会觉得写这样的书不是你的工作? 我的意思是, 量子群那本书有点像是那样。
L: 我知道, 但是有限群的表现理论, 可能我觉得自己了解的还不够深。所以有些仍待研究的东西, 我会把它放在心里, 有成果时写些文章好好阐述, 但我自认还没有准备好。我认为理论仍不完备, 我也不觉得自己擅长写这类文章。
V: 你只是必须学LaTeX。
王: 我想George 在用TeX, 对吧?
V: AMS TeX, 对。
L: 举个例子, 我很不擅长校对, 曾经出错。
V: 在我们刚刚提到的这4 本书中, 有7 个错
王: 我认为你的方程式是可靠的, 不仅是印象而已, 其中不同的东西我都以很具体的方式用过。
V: 大约在1980 年的时候, 你让我影印几页你算的幂零元素(nilpotent element)等等, 还有例外群。有这些计算非常好, 它们很完美。糟糕的是, 你用浅蓝墨水书写, 复印效果很差, 难以阅读, 但这些计算很可靠。
王: 现在你大部分的工作仍用手写, 还是你打字很快, 手写笔记打完就丢?
L: 不, 我打字, 确实不会整篇文章都用手写, 也许只会动手做一些计算, 累积够多之后就把它们打出来。
王: 学LaTeX 时, 相对于AMS TeX, 自动处理编号这项优点说服我们, 让我们都选择用LaTeX。但看起来, 你似乎从不为交叉参考(cross reference) 烦恼? 因为我们有时需要大幅更动排序, 方程式的编号当然就乱了, LaTeX 自动就会照顾到这点。AMS TeX 对你来说好用吗?
L: 因为我有不同的编号方式, 某些节是用A, B, C, D 为方程式编号, 改变章节编号没有关系, 方程式的编号不需更动, 所以章节的号码不包含在方程式的编号里, 只是一个字母, 例如1t 节, 方程式A 之类的。
王: Quantum Group这本书写的真好, 我对这个主题了解得越深, 就越发欣赏。除此之外, 我几乎没发现错误, 是近十年来我最为熟知的一本书。
程: 我想我们两个都各有两本。
程、王:一本在家, 一本在办公室。
L: 但我认为量子群相对简单, 有限群的表现理论更让人兴奋, 更有趣。
王: 这就是为什么我还可以懂一点量子群。
程: 你提到Atiyah 和Deligne, 有没有其他你景仰的数学家? 除了上述两位, 还有其他人吗?
L: Gauss, 举例来说。
程: 喔, 的确! 我们都很景仰他。有Lie theory 的人吗?
V: 你读过Lie 或Élie Cartan 的论文吗?
L: Lie 的确实没有, 但我读过一些Élie Cartan 的论文。
V: Hermann Weyl呢?
L: 我有他古典群的书, 我读了绝大部分。
V: 谈到数学的风格, 我不确定是不是Roger Howe说的, Weyl 这本书中有价值千万的数学, 全都是一分一分的零钱(It has a million dollars' worth of mathematics all in pennies.)。
L: 或许我应该提Chevalley 。事实上我在Warwick 大学时, 图书馆有Chevalley 研讨会的文献, 这些很难取得, 不知为何没有正式发表。
V: 嗯, 很多这类法国研讨会的文献可以在学校图书馆和一些地方取得。
L: 所以我就研究这些。
王: 是研讨会的讲义?
L: 不, 不是讲义, 是Chevalley 的剖析文章(exposés), 有些是Borel 的, 也有些是其他人的。但研讨会由Chevalley主持, 关于约化群的分类。
王: 你有计划再写本书吗?
L: 没有, 但如果我了解李型有限群表现的话就会。
程: 会有个介绍。
V: 你知道Macdonald 的论文吗? 他以Weil 群表现重写Green 在 上的工作。
L: 不知道。
V: 他证明 的表现, 一一对应于一个-adic Weil 群的 维表现等价类(equivalence classes)。-adic体应该有剩余体(residue field) , 你只需让Weil 群表现在wild inertia 是平凡的(trivial), 而他定义在这些表现上的等价关系就是限制在惯性子群(inertia sub-group)的等价。所以基本上, 撇开必须存在一个Weil 群的延拓, 它不过是惯性子群的表现modulo wild inertia。他也证明这些与 表现一一对应。无论如何, 我问这个是因为一两周前我才知道这篇1980 年左右发表的文章, 它的表述方式(formulation) 对任何有限Chevalley 群完全可行。
L: 不, 它还是需要special classes, 所以这样不会得出正确的
V: 看吧, 显然这是Bill Casselman 常说的, 这不可能是对的, 但我还没被说服。我的意思是, 有一些-packet 的东西必须要 或许要描述-packet 很困难, 或者根本是不可能, 但依我看来那些想法能提供一个方式, 来解释你过去的一些工作。
L: 我不这么认为, 我想你还是得说出"special representation" 这个词, 否则不能指望做分类。
V: 我不这么想, 我们可以再谈。做数学最让你开心的是什么?思考往后五年的规划, 或许你会期待有非常杰出的学生, 教一门精彩绝伦的课, 解决一些严谨的问题, 或写出好的论文等等。怀有愿景是很正常的, 这些都是你曾经做过的事, 那么你的目标是什么?
L: 教学, 嗯, 但我从写论文中得到的乐趣最多。我不认为我会解决什么重要的问题, 我只是做一些比较小的事情从中得到乐趣。
王: 不过大体看来, 你本身比较是解题者, 还是理论家? 当然, 归类很难, 但某些人仍倾向解问题, 解著名的问题, 他们会设定一些目标。
L: 不, 其实我喜欢寻找猜想, 找出猜想的模式(pattern), 可能比解问题更来得有趣。
王: 特别是解你自己的猜想?
V: 我想是Gelfand 说的, 做精准的猜想不只更有趣, 也更重要。任何人都可以写些证明, 但前提是猜想要准确无误而且有趣。
L: 那就是我喜欢猜想的原因。
王: 或许它们不该那么容易证明。
V: 嗯, 有时猜想经过适当的陈述, 证明“的确”很简单。最好的一种猜想或许就是, 用一种前人没有用过的方式来说某个东西, 就可以
L: 但有时如果一个好的猜想看来显然是对的, 我就不那么感兴趣, 证明也就没那么重要, 我是这么觉得。
V: 对, 没错。黎曼假说可能是个极端的例子, 做数论显然是值得的, 可以用来看假说背后的含意, 因为很可能是对的, 它的内涵丰富寓意深远。我想我列的问题问的差不多了。
程: OK, 我想差不多了, George 再次谢谢您!
L: 谢谢。
注释：
[1]Michael Francis Atiyah (1929~) , 英国数学家, 1966 年费尔兹奖得主, 主要研究领域为几何, 被誉为当代最伟大的数学家之一。
[2]Roger W. Carter, 英国华威大学荣誉退休教授。定义Carter subgroups, 并着有Simple Groups of Lie Type 这本重要著作。
[3]Pierre Deligne (1944~), 比利时数学家, 最重要的贡献之一是1970 年代关于Weil 猜想的工作, 1978年获得菲尔兹奖, 2013年获颁阿贝尔奖。
[4]广中平佑Heisuke Hironaka (1931~), 日本数学家, 1970年以在代数几何的工作获得菲尔兹奖。
[5]Armand Borel(1923~2003), 瑞士数学家, 研究代数拓朴、 李群理论, 在李群、 代数群和算术群有根本的贡献。
[6]Philip Hall(1904~1982), 英国数学家。主要研究领域为群论, 以有限群及可解群的工作著称
[7]George Lusztig, Introduction to Quantum Groups
[8]André Weil(1906~1998), 法国数学家, Bourbaki 创始元老之一, 在数论及代数几何上有根本的贡献。
[9]Roger Howe(1945~), 耶鲁大学数学系教授, 以在表现理论的工作为人所知。
[10]Claude Chevalley(1909~1984), 法裔美籍数学家, Bourbaki 创始元老之一。
[11]Bill Casselman(1941~), 美国加拿大籍数学家, 研究群论。
[12]Israel Gelfand(1913~2009), 俄国数学家, 被视为二十世纪最伟大的数学家之一。在数学各领域诸如群论、表现理论及泛函分析上皆有重大贡献。
注：本文访问者程舜仁任职中央研究院数学研究所, 王伟强任教美国维吉尼亚大学数学系, David Vogan 任教麻省理工学院数学系, 整理者黄馨霈为中央研究院数学研究所助理
