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凯尔特抄写员和石匠制作的交错装饰物，许多世纪以来一直让人着迷。这些设计，小到单个的结，大到由许多图案组成的精心设计的饰片，都为具有几何思维的数学家提供了丰富的实例来源。交错图案的许多方面都可以用数学来研究，本文将对其中一些进行探讨。我们从绳结的几何学开始。
构建交错图案
许多凯尔特绳结图案的基础是格子。正是这种格子赋予了凯尔特绳结独特的比例。它通常由正方形组成，但偶尔也会由3×4的长方形组成。为了便于参考，我们可以把这个格子看作是两个对偶格子的结合体，其网眼大小是原始格子的两倍（图1b）。这些网格将被称为辅助网格。当布置设计时，只有这两个网格的顶点被画进去（图1c）。
图1. 如何构建交错的辫子图案
在这些网格上创造的结法都与辫子编织有关，辫子编织是用于篮子编织和其他工艺品的基本编织模式，如图ld。请注意，图案中的交叉点位于两个辅助网格的交叉点上，而且交错排列有一种交错的性质。每根线都上下交错。这也是凯尔特图案的一个特点，尽管有一两个异常情况是已知的（图2）。
图2：一个非交错的凯尔特图案
在埃及、希腊和罗马的装饰品以及许多其他文化的艺术中，都可以找到由部分编织而成的交织图案。然而，对于凯尔特人来说，这些交替的辫子仅仅是艺术家着手创作的原材料。为了获得更精细的交错设计，必须打破这种原始图案的规律性。这是通过在交叉处打断两个字符串并重新连接两端来实现的，如图3所示。(目前在组合纽结理论中使用这样的操作。)请注意，以这种方式消除交叉会保留交错的交替属性。当足够多的交叉被去除时，下面的辫子不再是设计中的主要特征，由结图案组成的图案出现了。通过这种方式，可以创造出令人眼花缭乱的交错设计。
图3：消除交叉的规则
到目前为止，布局设计的唯一辅助工具是辅助栅格的顶点。在这些顶点之间绘制额外的构造线，以指示哪些交叉点将从辫子中移除以及如何重新连接两端。这些线称为断点标记。每个断点标记都是其中一个辅助栅格的一条边。在编结的每个交叉点，都有两条这样的边，所选择的边表示要使用两种可能的重新连接中的哪一种。看一眼图4中的示例，就会清楚地看到约定。
图4：断开标记通过指示交叉点如何断开来帮助构造。
为了完成设计，条带的路径被勾勒出来，背景被填上。这掩盖了所有的结构线。然后图案交织在一起，产生特有的交错编织。图5说明了一些元素结图案的构造。
图5：交错图案的例子和它们的结构。
根据图3所示的简单规则消除交叉并不总是产生美观的效果。有时，如果允许线的路径偏离辫子的路径，则会获得更好的结果。在两个折断标记相交形成角点的地方，也可以使弦的路径成角度。在附图中已经做到了这一点。在其他情况下，可以用更柔和的曲线来代替相当尖锐的弯曲，以产生更优雅、流畅的设计。图7和图8d显示了几种不同曲率的圆弧。这些修改有助于进一步掩饰设计所基于的底层编织结构。另一种变化产生了一种非常精细的交织形式：通常被认为是交织的丝带的两个边缘本身就被用作交织的绳子。图8j中示出了这种“双线交织”的一个例子。
一旦人们了解了制作凯尔特装饰品的技术，这项艺术本身就失去了一些神秘性。复制古代的设计并创造出你自己的设计变得相当准确和容易。(不过，如果你在其他地方发现了你的作品，也不要感到惊讶。)。任何直线区域都可以通过将其边界视为由合适网格上的断点组成来填充结点(参见图6a)。通过将图案划分为四边形，也可以将图案映射到曲线区域(图6b)。
图6：不规则形状的嵌板可以使用相同的技术进行装饰。
尽管这种构造程序看起来很简单，但凯尔特人的交错图案与辫子工艺有关的想法经过多年才成熟。凯尔特人自己使用的方法已不为人知，上述技术是J.Romilly Allen在世纪之交调查不列颠群岛的图案时开发的。他记录了[1]的第xvii页。
凯尔特人从编织中进化而来的理论完全是原创的，尽管解释起来很简单，但我花了相当20年的时间来思考，同时对图案进行分类。
当我们想起底层的辫子可以进行大量的修改，而且很容易被掩盖，也许这就不那么令人惊讶了。
图7：这种图案不是基于标准的网格。
将凯尔特设计解读为饰带
许多凯尔特结都是条状的，要么作为边框的一部分，要么简单地作为一个狭窄的矩形嵌板。在许多这样的带状图案中，系统地消除了交叉，并且以规则的间隔重复中断标记的图案。这就产生了一种可以被描述为“局部周期性”的模式：一个单一的主题被并排重复。在其他形式的装饰中，当图案被视为无限长条上随机选择的一段时，这种周期性会产生平移对称。然而，在打结中，从一小部分到理想化的浮雕的转变并不是那么立竿见影的。在其他形式的装饰中，当图案到达可用空间的边缘时，图案会被简单地截断，而打结很少会如此突然地终止。该图案被适配，使得原本自由的末端连接在一起以形成连续的线束。
在这篇文章中，绳结图案被视为传统数学意义上的饰带：作为图案的一部分，在两个方向上无限延伸。在底层格子中，图案被两条平行的断裂标志线所限定，其他断裂点的排列使图案整体上具有平移对称性。一些例子显示在图8中。前两个图案不是在标准格子上构建的。图8a中的图案被认为是斯堪的纳维亚的。像图8b中使用的三角形图案，通常以四组排列形成方形图案。图7显示了一个基于相同图案的例子。我排除了可以分割成其他图案的图案。例如，如果将图2中的结设计转换成饰带，所产生的图案由两个平行的图案组成，而这两个图案是不相通的。如果一个交错的图案的非交错路径（或者等同于链接在图像平面上的投影）是连接的，那么就可以说它是连接的。由图2构建的饰带是不相连的。目前，我将假设这些饰带是连接的，并且连接性的概念在一定程度上抓住了我们对图案何时可以被分割的直观理解。然而，我们将在以后回到这个可分离性的问题上。
图8：凯尔特饰带图案的例子
交错饰带的对称性
根据对称运算，可以在数学上分析饰带图案的对称性质：将图案承载到自身上的等距图。众所周知，平面有四个等距面：旋转、平移、反射和滑移反射。对于平面饰带图案，唯一可能的对称是2重旋转、中心线反射、垂直于中心线的反射以及沿中心线的滑移反射。这些对称性可以用不同的方式组合，但是由于几何形状的刚性，组合的数量被限制在7个。展示这七种不同对称类型的图案示例如图9所示。
图9：七个单侧饰带图案
当把扭结饰带与这些平面图案进行比较时，很明显我们不能用同样的方式来解释这两种图案。交错图案并不局限于平面。在交叉处，绳子似乎在画面的前后延伸。我们感知到的三维物体是由位于平面附近的连续绳子组成的，而不是位于平面内的弧的集合。我们希望看到背面的正面图案。
将交错的饰带解释为三维图案意味着有额外的等距线可以作为对称。其中两个是复合运动，比如滑移反射：一个螺旋是一个旋转，然后沿着它的轴平移；旋转反射是指在垂直于轴的平面上的旋转和反射。这两种等距都可以作为交错图案的对称。
通过参考一组标准轴来描述双面饰带的可能对称的完整集合：a轴沿着带延伸，b轴位于垂直于a的带平面内，c轴垂直于带。可能的对称是围绕三个轴中的任何一个轴的2重旋转，在与三个轴中的每一个轴正交的平面中的反射，在与a和b正交的平面中的滑移反射，沿着a的螺旋运动，以及围绕c的2重旋转反射。这最后的对称与点或反转中的反射相同(因为它是2重对称)。
这些对称性可以有许多不同的组合方式。由于这些双面饰带不如七种单面饰带熟悉，图10中显示了说明31种对称类型的图案[5]。每个图案中的图案都是一个正三角形，在大多数情况下，它的一边是黑色的，另一边是白色的。当在带状平面上的反射是一种对称时，那么三角形的两边必须是相同的颜色：在这种情况下，三角形的颜色为灰色。每个图案旁边都有一个形式为P[313U]的标签，它编码了图案中存在的对称性。在符号P（表示图案在一个方向上是周期性的）之后，符号2、2'、2、m和a被用来表示2重旋转轴、2重螺旋、2重旋转反射、或镜像平面或滑行平面的法向量与其中一个参考轴重合。P后面的第一个、第二个和第三个符号分别对应于a轴、b轴和c轴。如果一个轴和一个对称平面与同一参考轴重合，则给出两个符号；如果没有对称元素对应，则用符号I作为位置标记。
图10：31种双侧饰带图案。
试图确定特定结模式中存在哪些对称性并不容易。鼓励读者尝试图8中的模式。一个有用的观察是凯尔特饰带的交叉点都有相同的排列，它们有两种。此外，每一种都通过所有的2重旋转来稳定(见图11)。因此，直接对称与同类对称交叉；间接对称将两种对称互换。
图11：这两次旋转都保留了交叉。
在分析了几个例子之后，有人会问，有多少个双侧群可以从凯尔特结图案中产生。它们都可能发生吗？如果不是，那么是哪些呢？还可以考虑在实践中实际发生的问题。
七个“灰色组”——那些以图片平面为对称元素的组——不会出现在结图案上，因为交叉点不符合这种对称性。因此，我们可以消除其标签的m作为最后一个符号的一部分的所有组。观察到几乎所有的交错装饰都是交替的，这样就可以消除更多的群。
假设一个结的图案具有镜像对称性。图12a中显示了一个例子。为了将这个结转化为交替结，有必要增加一条位于镜面上的额外的条带，如图12b所示。那些包含在与a轴正交的平面上的反射的组不能从交错的结模式中产生，因为位于镜像平面上的条带会直接从带子的顶部边缘跑到底部——它们永远不可能与其他东西连在一起。因此，那些标签在第一位置有一个m的组不能在凯尔特人图案中找到。标签中的 "m "是第二个符号的一部分，可以从交替图案中产生：这种图案必须有一根条带沿着的中心线直走。这些群有两个。p1m1和p121。它们在图10中用（t）标记。然而，这种形式的图案与标准的凯尔特人的网格不一致，所以这些对称群也不能出现在凯尔特图案中。
图12：可以通过添加额外的线来交替制作具有双侧对称性的图案。
还有一类群组标签可以消除：那些包含a作为第三个符号的一部分的标签（表示图画平面也是一个滑移平面）。这样做的原因是，为了创造一个交替的设计，必须像在Pm[3D的情况下一样，让直的线穿过带子，而这些线永远不可能与任何东西连接起来。
还有10种可能性。这些可能性在图10中用星号（*）标记。图8显示了展示这些对称组的凯尔特图案的例子。在我能够找到的古代的设计，我就采用了它们；有一些是我自己的创作。
对称性类型的相对丰富程度
在我寻找凯尔特人设计的例子时，我发现不同对称类型的丰富程度有很大的不同。有些组别（Pl12、P222、P2'22）非常常见；有些则很罕见。事实上，我所能找到的唯一具有P1a1群的图案并不是在上述的标准格子上构建的。对于P112和p121这两个组别，我根本没有发现任何例子。这些图案是否有什么特点使它们难以获得？
在解决这个难题之前，我们要考虑另一个问题。交错设计的（两面）对称性群与它的底层断裂标志图案的（一面）对称性组之间是否有关联？这个问题的答案是肯定的。要知道为什么，请注意弦的非交错路径和断裂标记的分布具有相同的对称性类型。对应关系列于表1。观察一下三组稀有组中的每一组是如何与另一组配对的，这似乎是优先选择。事实上，这种偏爱并不是设计者有意识或无意识地做出的选择。它是古代图案终止的事实的结果，而不是真正的饰带。
研究图13中的两段饰带。你注意到有什么不同吗？从结构上看，它们是一样的；从对称性上看，它们是不一样的。这一点在边缘处最容易看到。在图13b中，最外层的交叉点是相对的；在图13a中，它们是交错的，一条边上的交叉点位于另一条边上的交叉点之间。因此，这两个辫子的对称性类型是不同的。
图13：用五根和六根线交替编成的辫子
编织饰带的对称类型取决于它的宽度。在两条边之间具有偶数个晶格单元的那些晶格具有对称类型P222那些跨越奇数个单元的辫子具有p121型。这一观察结果让我们解开了失踪群体的谜团。它还提供了一种列举凯尔特群的替代方法；因为消除交叉只会破坏对称性，所以凯尔特群必须是P222或p121的子群。
现在可以对表1进行改进，以显示对称类型如何取决于饰带的宽度以及底层标记。结果显示在表2中。现在我们在表的每一个方框中最多有一个组。交错的对称性类型完全由底层断裂标记的几何形状决定。此外，所有罕见的组别都与奇数宽度的饰带有关。我发现的唯一有奇数宽度的饰带在图8d中显示。它的对称类型是P121——一个与饰带的宽度无关的组别。
不难发现为什么奇数宽度的饰带不常见。这并不像有人建议的那样[1，第260页]，模式看起来不平衡。相反，这与最初的凯尔特图案是有限的设计，没有散线头有关。在一排图案的末端，线条配对并连接在一起——这个过程需要偶数根线条。线条的数量与饰带的宽度有关：宽度的奇偶性等于线条的数量的奇偶性。凯尔特人只能在确保连续性的情况下使用奇数宽度的饰带，例如在完整的边界中。在一些地方，松散的结局自然发生。这些通常出现在动物形态中：奇怪的生物，它们细长的尾巴、四肢、脖子或舌头以奇特的方式缠绕在一起。然而，这些图案永远不会大到有重复的图案，因此不会提供饰带的例子。
连续性、传递性和可分性
交错图案的设计者面临的一个问题是如何确定完成的设计中的部件数量。在早期的凯尔特装饰形式中，很明显是在寻求路径的连续性。作为永恒的象征，这一点很重要。即使是极其复杂的图案，也只有一根线条在无尽的回环中排列。在一些例子中，图案的规则性被刻意放弃，图案被修改，以确保获得一条独特的路径。在后来的时代，这一规则被遵守得不那么严格，但图案中的回环仍然被避免了。这就提出了一个问题：是否有一种简单的方法可以从断裂标志的基本模式中确定设计中的条带数。
当交织是编织的矩形部分时(图14)，那么答案可以用边界矩形来表示。如果辫子下面的晶格包含n×Rn单元，则图案将具有单个分量，如果h.c.f。(m，n)~2.如果图案为正方形(n=m)，则分量数为[1/2n]。事实上，如果我们计算闭环而不是组件，那么数字I/2n就可以被认为是正确的。当添加了断点标记并拆分编织时，这些规则将不再有效。什么规则取代了他们？
图14：矩形图案中的组件数量可以根据矩形的尺寸确定吗？
交错的饰带怎么样：它们有多少条线？图8f中的图案是由无限多的封闭回环组成的链。图8中的所有其他饰带都有有限数量的无限长的条带。大多数来自凯尔特人的图案都有偶数条线；只有非标准图案a和b，以及我在图8中设计的l、m和n有一条线；图8d有三条线。
对于具有多个分量的图案，我们可以研究对称群是否对条带起传递作用：每个条带都可以通过图案的某种对称性被带到任何其他条带上吗？在分层图案和织物的背景中，线传递的图案称为等线图案。采用这个术语，我们可以说，在图8中的模式中，c和e不是等价式的，通过平移，除i和j之外的所有其他模式都是等价式的。在情况i和j中，需要旋转才能实现完全的传递性。
有一个简单的测试来检查交错的饰带图案是否相等。通过将饰带的基本区域的两端连接在一起来构造商链接。如果这个商链只有一个分量，那么平移后的饰带是等价的。
在对织物的数学研究中出现的另一个问题是，确定一个分层的图案是否会散开：这些线是否可以分成两组或多组不相连的线？上面我们假设饰带是相连的。这样做的一个后果是凯尔特的交错饰带永远不会散开。如果一条交错的饰带是交替的、连接的和可分离的，那么由它构成的商链也是如此。然而，当且仅当链接没有连接时，链接的交替图表示分离链接[4]。
更精细的分类
在某些时候，将众多的凯尔特交错图案分为10类是不太令人满意的，特别是当我们意识到所产生的三维对称类型完全是由底层的二维断裂标志图案决定的。如果能按图案类型[3]而不是仅仅按对称性类型进行某种分类就更好了。
直观地说，图案是以系统方式排列的图案的集合。这种规律性在数学上是通过要求图案的对称群对图案的过境作用来模拟的。按图案类型分类取决于三个因素：图案的对称群G；图案M的稳定器stabG(M)；以及G的图案传递性子群集合。
然而，当我们试图将这种分析应用于凯尔特饰带时，我们立即遇到了困难：图案不是离散的，因此没有明显或自然的方法将它们分成图案。字符串的连续性使得不可能以明确的方式选择图案，所做的选择将影响最终的图案类型。具有讽刺意味的是，与交错的饰带图案相关的断裂标记的排列是离散的，但不一定是过渡的。
尾声
在这篇关于凯尔特结的研究中，我专注于一个特别的主题：对称性。对称性方面的分析是可能的，部分原因是设计结构背后的格子结构。这种内在的规律性和艺术家强加的周期性意味着许多图案具有不平凡的对称性。读者可能会觉得，同样的僵化会导致一种枯燥乏味的艺术形式。一位面对根据对称类型对图案进行数学分类的非数学家写道[2，p.70]，
不存在图案制作者的资源被几何图形的约束耗尽的危险。
在这种情况下，这句话似乎也是合适的。看一眼凯尔特人的手稿，你会很容易地相信几何框架丝毫不妨碍艺术家的创作。想象力和创造力仍然有表达自己的空间。
参考文献
1. J. Romilly Allen,Celtic Art in Pagan and Christian Times,London: Methuen (1904).
2. E. H. Gombrich,The Sense of Order: a study in the psychology of decorative art,Ithaca, NY: Cornell University Press (1979).
3. B. Gr~nbaum and G. C. Shephard,Tilings and Patterns,New York: Freeman (1987).
4. W. W. Menasco, Closed incompressible surfaces in alternating knot and link complements.Topology23 (1984), 37-44.
5. A. V. Shubnikov and V. A. Koptsik,Symmetry in Science and Art(translated from the Russian by G. D. Archard), New York: Plenum (1974).