女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
每天早上，印度南部泰米尔纳德邦的妇女都会在她们家的门庭中布置图案。这些图案被称为"Kolam"，是用手拿着米粉，从食指和中指之间缓慢地滴下细流而形成的。Kolam传统不仅仅是一种民间艺术，它与泰米尔纳德邦人民的价值观、仪式和哲学密切相关。
关于kolam的最早文字记载之一是在16世纪，尽管这一传统的起源可能要早得多：
曾经有一个国王。瓦拉玛卡拉詹（Vallalmakarajan），他统治阿鲁奈...... 他是一个优秀的国王，诚实、仁慈，总是赞美湿婆的脚；他关心所有的生命，就像关心自己的生命一样；他对别人的财富没有欲望，他把妻子以外的所有女人都当作自己的姐妹。有了这样一位优秀的国王，难怪王国繁荣昌盛：老虎和牛喝同一个地方的水，婆罗门诵读吠陀经，妇女用kolam装饰街道，雨水如期而至，饥饿的人得到了食物。
尽管并不总是遵循传统做法的所有细节，门庭装饰的创作至今仍在继续，城市居民、农村居民、大学生和专业人士，以及受教育程度较低的人都熟知kolam图案。
kolam传统在数学上是有趣的，原因有若干。复杂繁琐的图形本身就很耐人寻味，但更重要的是，在许多情况下，它们的创造涉及到基本子单元的转换和叠加，而且有一些kolam系列的成员可以以模式化的方式相互衍生。复制这些图形的丰富性和它们的增长模式，成为对正在创建图片语言和研究形式语言理论的计算机科学家的挑战。除了对泰米尔纳德邦人民的重要性之外，创作的kolam设计已经成为计算机科学文献的一部分，成为某些类型的语言的例子，并成为其他类型语言的灵感来源。因此，kolam提供了一个典范，说明在传统环境中的数学思想可以超越自己的文化界限，丰富和促进学术兴趣。当然，与此同时，这种新视角的关注也加深和丰富了我们对kolam的理解。在这里，我们既关注kolam的传统，也关注它与图画语言的联系。
1有几种传统的艺术形式分布在印度各地，与kolam类似。例如，在泰米尔纳德邦以北的德干地区有密切相关的兰戈里或兰格瓦里，在其西部的喀拉拉邦有阿尼亚尔，在孟加拉有阿尔帕纳。它们有一些共同的特点：它们是由妇女制作的，最初使用大米和米粉。然而，在传统配置、构造方法和特定的文化含义方面存在一些差异。尽管它们可能在历史上有联系，但我们只限于印度东南部地区泰米尔纳德邦人民的kolam传统。在1956年印度从英国独立之前，这个地区是所谓的马德拉斯总统府的一部分。随后，该地区成为马德拉斯邦，直到1969年才改名为泰米尔纳德邦。
对于熟悉斯里尼瓦瑟·拉马努金(1887-1920)的工作和故事的数学家来说，泰米尔纳德邦具有额外的意义，因为这里是他出生、成长、教育和死亡的地方。除了1914年至1919年在剑桥期间，拉马努金一直生活在泰米尔纳德邦文化的包围之中，并沉浸其中。众所周知，他在讨论数学问题时引用了泰米尔纳德邦民间故事中的谚语和寓言。
该邦的官方语言是泰米尔语，与我们讨论过的其他文化相比，它有一种书面文字和大量的泰米尔文学。虽然这些文字可以追溯到公元前三或四世纪，但在泰米尔文学中发现的最早的关于Kolam的记载却要晚得多。然而，这些只是顺便提及，并没有详细描述kolam。Kolam本身是人民口头传统的一部分，它与文本传统并存。
这些图案被称为kolam，但在泰米尔语中，这个词并不局限于这些图案，而是在含义和用法上更广泛。这些含义包括美、优雅、形式、形状和合适的着装，并与秩序的概念联系在一起，秩序被视为美的一个重要方面。没有kolam的房子叫muli，也就是没有鼻环和耳环的女人，如果结婚了，额头上也没有红点。
泰米尔纳德邦传统家庭的妇女和女孩如此开始一天的工作，先是清扫地板和屋前的区域，用牛粪制成的水洒在门庭区域，然后用kolam装饰门庭区域。妇女们熟悉许多设计——有些用于日常使用，有些用于特殊场合，有些用于特殊仪式和节日。女孩们由她们的母亲教授设计和技术。这是女孩培训的一个重要部分，因为kolam技能被认为是优雅的标志，是灵巧、精神纪律、内在和谐和集中能力的展示。用基本设计和技术打造的精致门庭装饰，是"放置"它们的妇女的审美和创造性表达。虽然被认为不那么传统，也不那么有创意，但今天还使用一些额外的设计来源，即商业杂志，甚至是模版。
用于创造设计的材料具有重要意义。牛粪，因为它的杀菌特性，是为了清洁和消毒地板。在门庭处使用米粉是对劣等昆虫的善意，因为它是蚂蚁的食物。同时，它可以防止蚂蚁进入房子。（最近，使用石灰石粉或其他一些缺乏意义的白色粗粉。）
门庭中的装饰品既可以在吉利的场合欢迎客人，也可以在其他场合作为保护屏障，避免不幸和疾病，使邪灵远离房子。从哲学上讲，门庭是一个界限，但却是一个可渗透的界限，象征着心灵和情感的内在世界与景观和行动的外在世界之间的界限，或者说是从神圣到世俗的过渡场所。它也被认为是宇宙周期的过渡点，与个人的生活和季节性的轮回都有关。因此，除了审美价值外，门庭中的装饰品被选择来适当地标志着生活。作为事件、仪式、崇拜特定神灵的前奏。在家庭成员患重病或死亡时，屋前没有kolam。
在庞格尔节（印度丰收节）期间，门庭装饰特别精致。节日的前一个月被认为是特别不吉利的，部分原因是因为这是最寒冷和潮湿的月份，传染病很常见。为期3天的节日在该月结束，但它也标志着冬至、泰米尔新年、从黑暗到光明的过渡，以及从不幸的月份到幸运的月份的过渡。这是一个感恩、拜访和欢乐的时刻。
有些kolam代表物体；有些则代表动物、鸟、花卉，或藤蔓。这些设计，无论是个人还是团体，都有丰富的象征意义。多重意义对当代实践者来说并不总是那么熟悉，对我们来说也不像设计本身那样容易理解。然而，两个象征意义对于我们对kolam构造过程的兴趣有着特殊的意义。
有一种kolam叫做pulli kolam，它首先在地面上放置一个点网格。这些点被称为pulli。网格的配置是放置图形其余部分的重要指南。一些kolam是通过绘制连接pulli的线来构建的；对其他人来说，这些线围绕着pulli。许多绕着pulli的线是由一条连续的闭合曲线构成的，其他的是由几条连续的闭合曲线构成的。这些kolam被解释成与生生不息、永无止境的宇宙循环、生育、死亡，以及总体、完美和永恒的概念联系在一起。对一些人来说，价格上涨代表了来源，或原始潜力。
20世纪80年代末，在印度泰米尔纳德邦拍摄的一部政治电影的开头部分强调了pulli作为kolam定义元素的重要性，以及kolam作为泰米尔纳德邦文化的一个熟悉和独特的元素。在这一情节中，有几年担任该邦首席部长的编剧向观众致辞，并以提到kolam及其pulli框架来结束他的演讲；他指出，正如那些放置kolam的人受到点的限制一样，他必须在法律的范围内工作，"以揭露那些正在剥削国家的隐藏但强大的力量。"
此外，还有其他没有点状网格的kolam，也是由一条或几条连续的封闭曲线组成的。这些也与连续性和永无止境的循环有关。
2在我们开始讨论图片语言之前，让我们先来看看几个Kolam设计，以了解它们的风格和配置，然后再讨论它们如何以及为什么会涉及到Kolam的传统，以及吸引计算机科学家研究的具体Kolam。
图6.1展示了一组不同的Kolam，但其组成部分却有相似之处。事实上，仔细观察可以发现，"鼻子装饰"（图6.1d）稍作修改后就是 "吊灯"（图6.1c）的一部分。图6.1中的所有设计也都是相对于中央垂直线对称的。图6.2是另一组显示了一些相似之处，但又有所不同。这些设计也都具有垂直对称性，但是，除了图6.2g之外，它们也都具有跨越中央水平线的对称性。另外，前四个，即图6.2a-6.2d，也都围绕中心点显示了90°旋转对称性。还要注意的是，图6.2a几乎包含了图6.2c的全部内容。图6.3中的Kolam与图6.1和6.2中的Kolam截然不同，而且相互之间也不同。然而，它们确实都显示出围绕中心点的旋转对称性，但旋转的角度不同。图6.3a和6.3c是180°旋转对称；图6.3b是90°；而图6.3d是45°。随着时间的推移，我们将展示几个更大、更精致的Kolam；我们也将更详细地讨论它们。
图6.1一些kolam。(A)檀香杯；(B)玫瑰花洒；(C)吊灯；(D)鼻子装饰。
图6,2 一些kolam （a）藤蔓植物；（f）戒指；（g）山顶。
图63 一些kolam (a)芒果叶；(b)Asanapalakai；(c)Parijatha Creeper；(d)心之莲。
3泰米尔纳德邦马德拉斯基督教学院的Gift Siromoney在kolam和计算机科学之间架起了桥梁。在他的一生中，Siromoney将他的学术特长与他对泰米尔纳德邦的文化、历史和环境的浓厚兴趣结合在一起。1988年他去世后不久出版的纪念卷，包含了大约100种出版物的精选书目。这些包括，但绝不限于，计算机识别泰米尔和婆罗门文字，统计研究南印度雕塑和印度河文本，以及计算机方法来确定泰米尔铭文。Siromoney还对kolam传统进行了调查，研究其历史，以及当代女性构建和记忆设计的方式。
在一项研究中，Siromoney比较了两组妇女对Kolam图案的看法，包括复杂性和异同点，一组是了解Kolam的妇女，另一组是不了解Kolam的妇女。由于这些图案在泰米尔纳德邦的妇女中非常有名，参加研究的"了解者"是19名印度女大学生，而 "不了解者 "则来自该地区以外，即来自北卡罗来纳州的14名美国大学生，她们正在参加一个印度学期项目。总的来说，美国大学生认为图案更复杂，并根据大小对图案进行分组，而印度大学生则根据它们是否由单一的连续封闭曲线或多个连续封闭曲线组成进行分组。
Gift Siromoney和他的妻子Rani Siromoney是计算机科学家，研究涉足计算机科学领域，涉及图片语言的处理，也就是图片的正式分析和描述。与自然语言和计算机语言类似，图片语言由有限的基本单位集合和将这些单位组合在一起的特定正式规则组成。kolam的设计提供了丰富的图形，可以作为一些语言的例子，需要创造新的语言。Siromoneys夫妇和一群与他们一起工作的计算机科学家，特别是Kamala Krithivasan和K.G.Subramanian，对所谓的Lindenmayer语言(L-系统)的工作做出了贡献，但主要专注于将这些语言扩展到阵列L-系统。kolam被Siromoney和他们的团体广泛使用，但kolam的图形广为流传，在其他人的作品中也可以找到例子。
使用图画语言来生成kolam，突出了特定kolam或kolam系列中的结构。这些语言本质上是生成kolam的算法或公式的简明语句。它们让我们更加意识到，kolam是精心构造的，具有可定义的生长模式。然而，重要的是要记住，计算机科学家关心的是分析和生成图案，而不一定是复制泰米尔纳德邦妇女使用的技术或思维过程。
4随着语言学家诺姆·乔姆斯基(Noam Chomsky)在20世纪50年代末的研究，正式语言的使用引起了广泛的兴趣。他关心的是对自然语言的语言学分析。他希望通过找到一套规则来将一种语言中单词的语法序列从非语法序列中分离出来，这套规则可以生成所有的语法序列，但不会产生任何非语法序列。乔姆斯基的工作融合了对符号串使用重写规则的想法。当计算机科学家意识到他们在建立新创建的编程语言的形式定义时也在使用相同的思想时，他们对形式语言变得特别感兴趣。这些作品，以及其他人的作品，最终导致了我们感兴趣的图片语言。一路上的一个重要贡献是阿里斯蒂德·林登迈尔(Aristid Lindenmayer)的工作，他是一位对植物生长建模感兴趣的生物学家。
让我们先来看看一种简单的形式语言的雏形，这种语言不是图画式的，而是只产生符号串。然后，我们将看到这些符号串是如何被翻译成图片的。
对于每一种语言，都有一套固定的符号。这套符号有不同的名称；我们将称之为字母表。也有一串符号，人们从它开始；开始的一串符号一般被称为“公理”。每种语言都有一套规则，用于从先前的符号串中创建新的符号串。这些我们称之为“重写规则”。此外，还有我们称之为“结果”的东西，也就是应用重写规则后产生的符号串。
下面是一个字符串语言的例子，其字母表只包含三个符号A、B、C（那么，这些符号是我们唯一可以使用的）。我们将使用的改写规则是：A - BC, B - A, 和 C - C。这就是说，要从先前的字符串创建一个新的字符串，用BC替换每个A，用A替换每个B，用C替换每个C。
1.开始:ABB
2.应用改写规则一次的结果:BCAA
3.将重写规则应用于结果的结果BCAA: ACBCBC
4.再次应用重写规则的结果:BCCACAC
5.等等。
这里的字母只是符号；它们没有算术或其他意义。通过把它们放在彼此相邻的地方来创建一串符号，被称为形成它们的连接。在这里，这仅仅意味着一个人后面是下一个人。请注意，在每一步中，这三条规则是同时应用的（通常被称为并行），而不是按顺序应用。也就是说，在每一步中，通过应用规则A - BC而新引入的B和C在下一步之前保持不被修改。这是L语言（Lindenmayer语言）的特点，与其他一些语言不同。我们的例子中的语言也是被称为无语境语言的类型，因为每个符号都是单独处理的，不需要参考邻近的符号。而且，它是一个确定性的重写系统，因为每个符号都只有一个可能的重写规则。
这里是另一个确定性的、无背景的、Linden mayer字符串语言的例子。对于这个例子，我们将使用字母表F，+，-，起始字符串F - F，以及重写规则F - F + F，+ — +，— — —。
上面使用的圆括号和括号并不是字母表或结果中的符号，它们在这里只是为了强调替换的内容。同样，重要的是要记住，到目前为止，符号F、+和- 都没有算术或其他意义。
我们的下一个重要步骤是从一串符号转移到图片，从而转移到图片语言。由Przemyslaw Prusinkiewicz开发的一种方法是将符号解释为“海龟”命令。海龟图形最初是一项创新，旨在让孩子们创造性地使用计算机。在书中，乌龟被认为是坐在一张纸上，面向某个开始的方向。乌龟可以执行一组有限的命令，比如一边画线一边往前走，不画线就往前走，左转，右转。(乌龟的尾巴很脏。因此，当他移动时，拖着尾巴画一条线，而抬起尾巴不留下线。)具体来说，以下是我们海龟理解的命令以及传达这些命令的符号:
F：在画线的同时按步长s向前移动。
f：在不画线的情况下，按步长s向前移动。
+：向左（逆时针）转过角度d。
-：向右（逆时针）转过角度d。
对于每个绘图，必须指定起始方向、步长和转角；步长和转角在整个绘图中保持不变。当遵循一串命令时，每一个乌龟动作都是从上一个动作结束的地方和方向开始的。
让我们假设我们的乌龟从朝向右边开始，步长是一个单位，转角是90°。那么，在我们之前的字符串语言例子中，乌龟对公理F-F的解释是：在画线时向前移动一个单位，右转90°，在画线时向前移动一个单位。图6.4a显示了图形的结果。图6.4b显示了第一个结果F + F - F + F的象形结果。如果我们不使用90°的转角，而是将指定的角度改为45°，图形结果将如图6.4c和6.4d。
图6.4 海龟图，(a)F - F（d=90°）；(b)F + F - F + F（J=90°）；(c)F - F（d=45°）；(d) F + F - F + F（d=45°）。
通过对图片语言的简单介绍，我们回到kolam，特别关注一些被称为kambi(单线)的kolam。这个名字反映了这样一个事实，即这些kolam是使用一个单一的，连续的，封闭的曲线创建的。曲线市长可能不会自己相交。从某种意义上说，堪比可以认为是由一条永无止境的线组成的。
然而，在继续进行kambi kolam之前，我们强调它们构成了kolam的一个特殊类别；也就是说，还有许多其他的kolam是由几条封闭的曲线或几条线组成的，而不是由一条回到起点的连续线组成的。对于一些kolam来说，我们可以通过简单地观察它们来看出，必须使用不止一条线。例如，请注意，在图6.2a中，kolam的部分与其他部分完全断开，因此必须使用几条单独的线。
即使在没有明显断开连接的情况下，根据图论中的一个定理，我们也可以知道什么时候需要有一条以上的线。根据该定理，简单地说，要想让一条连续的线回到它的起点，图中的每个交叉点必须有偶数条线从它发出。(如果图中只有两个交叉点，并且从它们发出的线的数量是奇数，那么可以使用一条连续的线，但是它不会返回到它的起点。) 例如，请看图6.3a-6.3c。每一个图都有几个交点，有三条线从这些交点发出。但是对于那些理论上可以用一条连续的封闭曲线绘制的作品，我们无法知道，除非制作者这样指定，否则它实际上是以这种方式完成的。
图6.5a是一个kolam的例子，它可以被绘制成一个单独的kambi，但是，通过对泰米尔纳德邦妇女使用的程序的研究，我们知道它不是。图6.5显示了参与Gift Siromoney研究的女性使用的步骤。在布置了一个5乘5的网格后，她们开始画一条封闭的曲线(图6.5b)，然后重复同样的曲线三次，但每次他们都将曲线旋转90度(图6.5c-6.5e)。kolam是通过围绕互锁曲线绘制一个框架(另一条闭合曲线)来完成的——再次参见图6.5a。因此，对于这个kolam，我们在完成的绘图中看到的90°旋转对称不仅仅是基于我们对完成的图形的观察而外部强加的概念；旋转对称是推动建造过程的图形的特征。
图6.5 泰米尔纳德邦妇女绘制的kolam
图6.6显示了一个名为“克里希纳的脚链”的kolam系列。每一个都是kambi kolam。一个族是一组不同的曲线，但有一些共同的特征。当你看这些曲线时，你可以看到较大的曲线是由几个较小的曲线的副本组成的。也许你甚至可以看到，每个子模式的链接方式都有一个模式。这些重复的图案引起了计算机科学家的兴趣。对于这个系列，他们寻求一种图像语言，其结果将是克里希纳系列的不同成员，而不是其他成员。尽管这些语言的发展并不一定要复制泰米尔纳德邦妇女所使用的绘画程序，但它们确实让我们能够洞察人物的内部结构。
很明显，由于海龟运动的定义，海龟画的画总是有角度的，由直线段组成。然而，大多数kolam，像克里希纳的脚链一样，是平滑的曲线，因此，使用了一些改编或其他绘画模式。一些计算机科学家利用海龟的动作制作了角形的kolam。另一种方法是产生角度版本，然后使用辅助技术平滑它们。相反，基于对泰米尔妇女使用的基本绘图单位的研究，马德拉斯小组定义了理想化的“kolam移动”，从而产生平滑的曲线段。海龟，正如海龟几何学中所设想的，不能进行这些kolam移动。一种能留下蜿蜒轨迹并符合泰米尔神话的生物是蛇。kolam移动的完整补码及其相关符号如图6.7所示。它们是F(向前移动一个单位)、R1(向右半转时向前移动)、R2(向前移动并向右掉头)、R3(向右一整圈时更向前)、L|(向左半转时向前移动)、L2(向左一整圈时向前移动并向左掉头)和L3(向左一整圈时向前移动)。与海龟命令一样，必须指定起始方向和单位长度。对于我们用作插图的kolam move绘图和turtle move绘图，将选择一个方便的单位长度来适合页面并使细节可见。也就是说，单位长度在每个图形中保持不变，但可能因图形而异。
图6.6 克里希纳的脚链（Pulli不是由字符串语言产生的。然而，它们是由后面描述的数组语言产生的）。(a) 公理；(b) 第一阶段；(c) 第二阶段。
图6.7 kolam移动
对于克里希纳的脚链，唯一需要的kolam移动是F、R1和R3。产生该族的语言的公理是R1FR3 FR3 FR3 FR1，重写规则是F — F，R1— R1FR3FR1和R1FR3FR3FR3FR1。图6.6a是带有起点和起始方向标记的公理的图示。图6.6b是仅应用一次重写规则的结果的图示；也就是说，
(R1FR3FR1)F(R1FR3 FR3FR1)
F(R1FR3FR3FR3FR1)F(R1FR3FR3Fr3FR1)F(R1FR3FR1)。
在这里，括号只是为了帮助识别替换。
这种语言集中在图形上，不包括pulli，也不在图形之前放置pulli。(然而，pulli包含在图6.6a - 6.6c中，因为我们将再次使用它们来说明另一种方法。)将公理的图形表示(图6.6a)描述为具有四瓣的小花朵，应用重写规则的图形效果是用四瓣的小花朵替换四瓣中的每一瓣(图6.6b)。在通过将重写规则应用于上面的结果而创建的下一个阶段中，每个小花朵被一组四个小花朵替换。因此，随着连续的重写，这些从一个到四个到十六个小花朵生长。如果重写规则被第三次应用，克里希纳系列的下一个成员将有64朵小花。继续这个过程，使用重写规则和kolam move对结果符号串的解释。或者，如果你认为你已经掌握了字符串语言重写规则所表达的模式，那就试着直接画系列的下一个成员。
在这一系列曲线中所看到的增长类型称为指数增长。小花在连续阶段的增长的数量从1到4 (4 X 4)(4 X 4 X 4) (4 X 4 X 4 X 4),或者使用指数显示4的数量增多,小花的数量是1、4^1、4^2、4^3、4^4等等。对于每一个相继的阶段，增长的是指数，因此，这种增长被称为指数增长。
6让我们再看一个由确定性上下文无关L系统产生的kolam。这个kolam在种类上是不同的，因为它是没有pulli的。此外，虽然它是一个kambi kolam，但它本身并不相交。这种被命名为“蛇”的kolam特别吸引我们的注意力，因为它与被称为分形的数学对象有关系，更重要的是，它与其中的一类特殊曲线有关系。
图6.8显示了蛇系列的一个成员。当讨论产生它的图形语言时，我们使用海龟移动，从而产生kolam的角度版本。我们这样做是为了简单，也是为了遵循计算机科学文献中使用的方法。在那里，在产生了角的版本后，他们继续应用一种正式的平滑技术。相反，我们在角的版本上停下来，让读者想象平滑的过程。
图6.8 蛇形kolam
对于蛇语言结果的海龟图，指定的角度是45°，海龟从面向右边开始。为了方便书写和可视化，我们在基本符号F、+、和-的基础上增加了另一个符号A。A总是被海龟解释为命令序列F+F+F—-F—F+F+F+F。A的图形表示如图6.9a所示。总之，L系统是:
公理:A — —F— —A — — F
重写规则:A — A + F + A — — F — — A + F + A
第一个结果: (A + F + A— —F— —A + F + A)— — F ——
(A + F + A— —F— —A + F + A) — — F
……
图6.9b显示了该公理的海龟表示法，图6.9c显示了第一个结果的表示法。在图6.9d中，显示了第二个结果。关注A的图形表示，以及它的复制品连接在一起的方式，可以帮助看到重写规则是如何产生视觉结果的。
图6.9 蛇（角度版本），（a）A；（b）公理；（c）第一次迭代结果；（d）第二次迭代结果。
从图纸上，我们可以看到增长是指数级的，就像克里希纳的脚链一样。公理描述中的四臂十字架的每一个臂都被四臂十字架代替。然后，该图中的每个十字都被替换为一组四个十字，就像它本身一样。因此，它从一个四臂十字架(图6.9b)成长为一个由四个四臂十字架组成的十字架(图6.9c)，再成长为由四个四臂十字架依次组成的另一个十字架(图6.9d)，以此类推。因此，图6.8是第三个结果的平滑版本，即由子交叉组成的交叉，总共包含4^3或64个开始的四臂交叉。克里希纳的脚链和这个指数增长的例子都涉及4的幂，但不一定是这样的，增长也可能与3或5有关，比如1，3，9，27，...或者1，5，25，125，...
理论上，我们可以通过对刚刚产生的符号串连续应用重写规则，无限期地继续生成新的图形。在所得的图中，在每个阶段，将有以相同模式方式组合的早期阶段的四个复制。因此，我们看到整个过程包含一个循环的分量，不同的结果曲线是该分量重复的不同次数的表达式。它的数学术语是递归过程；也就是说，它是一个过程的结果被放回过程中进一步完善。结果，这个过程产生了一个数学对象，叫做分形。分形的本质是自相似的。
让我们假设，作为这个过程的一部分，步长从一个阶段被修改到另一个阶段，以便每个产生的图形都适合于相同大小的正方形。那么，在无限的情况下，如果你专注于图形的任何部分，并将其放大到整个图形的大小，它将是相似的。蛇形图案的无限版本不仅是一条自相似的曲线；它还将由四条自相似的曲线组成。此外，尽管每条连续的曲线都适合于相同大小的正方形，但连续的曲线的长度却在增加。虽然包含它们的面积保持不变，但它们的长度却呈指数级增长。
这个图形的一些特性使它属于分形中的一个特殊类别。正如我们已经说过的，这条曲线是由一条连续的线组成的，它从不与自己相交，而且在它开始的地方就结束了。在数学上，这些特性使它成为一条简单的封闭曲线。而且，由于它从未与自己相交，其各部分也从未相互接触，所以它是一条自避开的曲线。此外，仍然遵循这样的规定，即连续的数字按比例放入相同大小的正方形中，随着每条曲线的交叉数和臂数的增加，曲线越来越接近于人们可以在它所处的正方形中指定的任何一点。对于序列中的一条曲线，以及此后的每一条曲线，曲线会尽可能地接近正方形中的任何一点。在无限的情况下，它将填满整个正方形，因此，它被称为空间填充曲线。这些特征的结合导致有限数字被认为是FASS曲线（即近似空间填充、自避开、简单、自相似的曲线）。更重要的是，蛇形图案的角度版本已被确定为经典FASS曲线的一个变体，被称为 "Sierpinski曲线"（该曲线以数学家Waciaw Sierpinski命名，他在1912年首次讨论了该曲线），而蛇形图案是该数学上著名的曲线的平滑版本。
在19世纪末/20世纪初的数学文献中首次讨论时，分形被认为是非常奇怪甚至是畸形的。早期最著名的例子是科赫的"雪花"和谢尔宾斯基的空间填充曲线。然后，由于Benoit Mandelbrot在20世纪70年代的著作，分形的概念被认为提供了一种描述自然界中出现的众多物体的方法。从那时起，分形就引起了人们的关注和兴趣。起初，发现传统设计中体现了这些相同的特征是出乎意料的。然而，经过思考，我们意识到，也许是人类共有的心理过程导致了科赫"雪花"、谢尔宾斯基曲线或蛇形图案，并被要求将自然界中所看到的东西加以整理。
通过数学分析和描述符，我们看到了比我们原本可能看到的更多的Snake kolam的属性。例如，我们不仅看到了90°旋转对称和重复，还看到了重复的模式。我们也可以更好地理解为什么，当我们仔细观察Snake kolam时，我们似乎越来越深地被这个图案所吸引。
7受到kolam图案多样性的启发，马德拉斯计算机科学小组追求新类型的图像语言。他们的重点是捕捉kolam的二维本质。一个图形，比如克里希纳的脚链，可以用一条线来画，因此，可以用一串符号来定义。它前面的点网格和结果图形仍然是二维布局。对于克里希纳的脚链，从一个阶段到下一个阶段，都是平面图形，以某种模式在平面上扩展。将kolam视为平面图形更具包容性，因为它包含了许多不能用递归字符串语言描述或用单线绘制的kolam。其中许多也构成了系列。虽然有些系列可以被描述为同一基本单元的并列重复，但其他系列则是通过重复次数可变的子过程执行的主题相关的。
为了看到一些体现这种多样性的家庭，我们回到图6.3。图6.3a-6.3d中的每一个kolam和图6.2g中的kolam都是kolam家族的单一代表。图6.3a中芒果叶的一个相对较小的例子如图6.10a所示。它有1、2和1个内部六边形的三行排列，而图6.3a有2、3和2个内部六边形。系列中还有其他图案：例如，有两个五行排列，一个有1，2，3，2，1内部六边形，另一个有3，4，5，4，3六边形。图6.10b中的kolam是图6.3b中Asanapalakai的一个更大的版本。虽然它通过向侧面延伸而被放大，但是这个家族的另一个更大的成员(未示出)向两侧和上方延伸，因此包含六个基本单元，与所示的一个和两个单元形成对比。
图6.10其他家族成员如图6.3所示。将此图的a、b部分与图6.3的a、b部分进行比较。(一)芒果树叶;(b) Asanapalakai
图6.3c的爬山虎属于另一个家族。与这种有六个小叶的kolam(排列成三排，每排两个)形成对比的是，系列中的另一个有十个小叶(排列成五排，每排两个)。另外两个系列在第一排和最后一排各只有一张小叶 ，所以总共分别有四张和八张小叶。此外，山顶kolam(图6.2g)也有多种尺寸。对于任意整数n，系列成员的特征是它们的中心高度为2n + 3 pulli，最大宽度为4n + 3 pulli。图6.2g是n = 2的山顶kolam也就是说，它是家族中身高7 pulli，最大宽度11 pulli的成员。
因此，考虑到这种多样性，马德拉斯小组开发了新的数组语言，其中的结果是符号数组，而规则规定了对于kolam家族来说，数组是如何形成的。有些数组语言是递归的，有些则不是。也就是说，在一些语言中，连续阶段的数组是由前一阶段的数组发展而来的，而在其他语言中，每个数组都是独立发展的，但都是由相同的一般规则发展而来的。他们的一些语言涉及矩形阵列，导致点状网格，以及图案，对于所有系列成员来说，保留了诸如正方形、等腰三角形、钻石或六边形等形状。例如，请注意图6.3c中的六边形点阵，克里希纳脚链的菱形布局（图6.7），以及图6.2g的基本三角形布局。他们还考虑了放射状的网点布局，如图6.3d所示。
在其中一些语言中，阵列中包含的单个符号被图像化地解释为二维的子结构，这些子结构按照阵列中符号的布局进行组合。作为一个例子，我们再来看看克里希纳的脚链。为此，只使用了三个符号A、B和C。图6.6a所示的小花（带点）是符号A的图像表示，一个小钻石（带中间的点）是符号C的表示，而一个空白代表符号B。图6.11a-6.11e分别显示了其中的前三个，没有从一个移到下一个的规则。数组的图像表示是图6.6中的图画，包括点。这些都是之前看过的图片，但它们是以不同的方式得出的。
图6.11克里希纳脚链的符号数组。(图6.6a中显示了A的图形表示，包括Pulli；B被解释为空白；C的图形表示是一个中心圆点的小钻石。)。将此图的a-c部分与图6.6的a-c部分进行比较
虽然刚才描述的方法得到的图形包含圆点，因此更接近实际的kolam，但仍然存在一个关键的区别：在泰米尔纳德邦妇女的绘画程序中，圆点布局先于图形的完成，并在某种程度上决定了图形的完成。因此，还有其他更复杂的数组语言被设计来更接近地反映泰米尔妇女使用的绘画技巧。对于这些，数组中的符号被解释为分类为不同类型的点。点的空间布局由符号阵列的布局指定。然后，给出了一小套具体的说明，比如“绕着第三种类型的点把一种类型的点连接到第二种类型的点上”，来画出这些图形。
在语言的发展过程中，必须克服几个理论挑战。例如，对拼接的定义进行了扩展和细化，并介绍了一种克服剪切问题的方法。例如，当阵列中的符号A被不同配置的符号组B/CD替换时，发生剪切。后者通过将重写分成两个阶段来解决，从而创建并行/顺序语言。
无论这些语言对理论计算机科学有什么其他贡献，它们肯定是通过引入对形式数学本身以外的图形的研究而贡献的。因此，新的问题被提出，新的答案也必须被找到。此外，这些语言将注意力集中在所研究的Kolam的结构多样性上。
我们看到的最后一个kolam系列很容易画出来。这个家庭的成员是kambi kolam。它们特别吸引我们，因为除了单独出现之外，它们还可以被视为其他更精致的kolam的构件。此外，它们类似于在其他宗教环境中发现的设计，如寺庙墙壁上的雕刻。这个家族是用一种字符串语言描述的，它不同于我们在第4-6节中讨论的类型，但它的符号字符串是由kolam moves解释的。第n个结果的符号字符串是:
其中指数表示移动或一组移动要重复的次数。也就是说，对于第一个结果(n=1)，字符串是(F2R2F2L2)F2R3(F2L2F2R2)，对于第二个(n=2)，字符串是(F4R2F4L2)2F4R3(F4L2F4R2)2。图6.12包含第一、第二和第三阶段的图纸，包括它们之前的Pulli。
图6.12一个未命名的kambi kolam。(已经添加了pulli，它们不是由图片语言产生的。)
这个kolam系列的成长方式很有趣。对于构成大的内部钻石的小钻石，对于n=1，2，3连续的阶段，钻石的数量从2×2增加到4×4，再到6×6。一般来说，第n阶段的图案包含2nx2n=4n^2个小钻石。这种增长模式被称为多项式增长，因为它的行为像多项式，它是一种比克里希纳的蛇和脚踝中遇到的更慢的增长模式，相反，它们的行为类似于指数增长。
通过用手指跟随这个系列的一个或两个成员的绘制步骤，可以很容易地绘制下一阶段的图形，无论是否参考符号串。这样做，并体验kolam的动觉，可以帮助提醒我们，从泰米尔纳德邦阈值的记忆中提取的图形，是由人类的手和手腕运动产生的。
8 门庭上的Kolam是短暂的。它们是用放在地上的米粉制成的，被人走过后被吹走或扫走。尽管如此，这个传统证明了一些数学思想。Kolam是多种多样的，因此并非所有的想法都出现在所有的Kolam中。我们可以根据kolam作为一个群体进行一些总结性的观察。
(1)对于kolam的一个类别--kambi kolam，泰米尔纳德邦的妇女们对一笔画图案感兴趣，终点回到起点。兴趣不仅仅是使用一条闭合曲线，还包括构造并列多条闭合曲线的图形。
(2)视觉对称性显然相当重要，因为几乎所有的kolam在某种程度上都是对称的。它们中的大多数都是对称的。那些没有显示这种对称性的通常显示90°或180°的旋转对称性。在许多情况下，那些垂直对称的kolam也显示出水平对称。
(3)在kolam语料库中，有一些视觉上相关的图形。有些图形包括其他图形作为组成部分，或者是通过使用一些相同的组件不同的排列来构建的。然而，最独特和最重要的是，这些图形是由几何和逻辑图形组合起来的。我们把这些图案称为系列。泰米尔人将这一群体中的每一个kolam都指定为同一个名字，这一事实证明，系列成员之间被认为是有相关联系的。即使不知道泰米尔纳德邦妇女用来记忆和构建系列各成员的具体技术，很可能一个系列的每个成员都是一种一般技术的具体表达。
(4)大多数kolam的第一步是放置一个pulli数组。这些阵列具有不同的间距和不同的总体配置，这取决于要绘制的kolam。pulli用于指导和控制绘图过程，从而确定最终图形。因此，kolam的学习、记忆和绘画结合了空间和程序的概念化。在kolam的传统中，我们看到装饰性的设计，但也有丰富的正式结构。此外，这些设计深深植根于泰米尔纳德邦文化，因为它们与美学和哲学概念以及宗教信仰和实践交织在一起。它们是妇女学习知识和技能的必要组成部分，也是家庭日常生活的重要组成部分。毫无疑问，基础结构是学习者记忆能力的重要组成部分，也是观众群体欣赏图形的重要组成部分。
最后照例放几本扯犊子书目：
青山不改，绿水长流，在下告退。