数学建模常见的一些方法【02TOPSIS/优劣解距离法】

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目录

• 数学建模常见的一些方法
  • TOPSIS法
    • TOPSIS的介绍
    • 优劣解距离法操作步骤
      • 1. 将原始矩阵正向化
        • 1.1 极小型指标 → 极大型指标
        • 1.2 中间型指标 → 极大型指标
        • 1.3 区间型指标 → 极大型指标
      • 2. 正向化矩阵标准化
      • 3. 计算得分并归一化
    • 标准化处理公式
    • 类比只有一个指标计算得分

（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）

• 可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法
• TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

C.L.Hwang 和 K.Yoon 于1981年首次提出 TOPSIS (Technique forOrder Preference by Similarity to an Ideal Solution)，可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法.。

  TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

  基本过程为先将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理）得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

指标名称	指标特	例子
极大型（效益型）指标	越大（多）越好	成绩、GDP增速、企业利润
极小型（成本型）指标	越小（少）越好	费用、坏品率、污染程度
中间型指标	越接近某个值越好	水质量评估时的PH值
区间型指标	落在某个区间最好	体温、水中植物性营养物量

• 所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。

具体计算过程看后部分

计算代码:

>> X = [89,1;60,3;74,2;99,0]
>> [n,m]=size(X)
>> X ./ repmat(sum(X .* X) .^0.5, n,1)
           

计算过程：

>> X = [89,1;60,3;74,2;99,0]
X =
    89     1
    60     3
    74     2
    99     0

>> [n,m]=size(X)
n = 4
m = 2

>> sum(X .* X)
ans = 26798   14

>> sum(X .* X) .^0.5
ans = 163.7009  3.7417

>> repmat(sum(X .* X) .^0.5, n,1)
ans =
  163.7009    3.7417
  163.7009    3.7417
  163.7009    3.7417
  163.7009    3.7417

>> X ./ repmat(sum(X .* X) .^0.5, n,1)
ans =
    0.5437    0.2673
    0.3665    0.8018
    0.4520    0.5345
    0.6048         0
           

>> X = [89,1;60,3;74,2;99,0]
>> [n,m]=size(X)
>> Z = X ./ repmat(sum(X .* X) .^0.5, n,1)
>> D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5 %D+向量
>> D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5 %D-向量
>> A = D_N ./ (D_P + D_N) % 未归一化的得分
>> A ./ repmat(sum(A),n,1) % 归一化的得分
           

>> max(Z)
ans = 0.6048    0.8018

>> min(Z)
ans = 0.3665         0

>> repmat(max(Z),n,1)
ans =
    0.6048    0.8018
    0.6048    0.8018
    0.6048    0.8018
    0.6048    0.8018

>> repmat(min(Z),n,1)
ans =
    0.3665         0
    0.3665         0
    0.3665         0
    0.3665         0

>> (Z - repmat(max(Z),n,1)).^2
ans =
    0.0037    0.2857
    0.0568         0
    0.0233    0.0714
         0    0.6429

>> (Z - repmat(min(Z),n,1)).^2
ans =
    0.0314    0.0714
         0    0.6429
    0.0073    0.2857
    0.0568         0

>> sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)).^2 ],2)
ans =
    0.2894
    0.0568
    0.0948
    0.6429

>> sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)).^2 ],2)
ans =
    0.1028
    0.6429
    0.2930
    0.0568

>> D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5
D_P =
    0.5380
    0.2382
    0.3078
    0.8018

>> D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5
D_N =
    0.3206
    0.8018
    0.5413
    0.2382

>> A = D_N ./ (D_P + D_N) % 未归一化的得分
A =
    0.3734
    0.7709
    0.6375
    0.2291

>> A ./ repmat(sum(A),n,1) % 归一化的得分
ans =
    0.1857
    0.3834
    0.3170
    0.1139
           

参考链接