積分變量的求解

在計算高等數學中的重積分之時，常常會遇到需要變換積分變量的情況。一般，這是由于坐标軸的替換。 當坐标軸進行變化，積分變量不會還是\(dxdy\),或者是三維的\(dxdydz\)。那麼，新的積分變量是如何得出的呢？

不難發現，這本質上是一個重積分的換元過程。一重積分的換元法我們應該還記得是:

\[x\rightarrow t \space|\space (x=x(t))\\

\int f(x)dx\rightarrow \int f[x(t)] \frac{dx}{dt}\cdot dt

\]

那麼，對于二重，或者三重積分的換元，又應該如何去處理呢？如果按照形式類比下來，舉例如下：

\[\begin{cases}

x\\

y

\end{cases}

\quad \rightarrow \quad

\begin{cases}

u\\

v

\quad \bigg| \quad

x=x(u,v)\\

y=y(u,v)

\end{cases}\\

~\\

\int f(x,y)dxdy\rightarrow \int f[x(u,v),y(u,v)] \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}dudv

怎麼樣，覺得兩者相像嗎？可是，\(\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\)這個東西，也不知道怎麼算啊？不如在這裡再類比一下,比如，\(\frac{dx}{dt}\)是如何算出來的:

\[\frac{dx}{dt}=

\begin{vmatrix}

x_t

\end{vmatrix}

由此可類比得:

\[\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=

x_u&x_v\\

y_u&y_v

好像得到了一個矩陣。實際上，這是雅可比矩陣。描述一個從\(\mathbb{r}_n\rightarrow\mathbb{r}_m\)的坐标空間的變換，可寫作\(j\)。而，這個矩陣的行列式\(|j|\)則描述在這個過程中體積的放縮系數。 也就是說，一個在\(\mathbb{r}_n\)空間中的幾何體，經由\(j\)映射到\(\mathbb{r}_m\)後，它的體積将會是原來的\(|j|\)倍。其可稱為雅可比行列式。

既然如此,而\(dxdy\)是一個\(\mathbb{r}_n\)中的體積微元，那麼它在\(\mathbb{r}_m\)中的體積也就是\(|j|dudv\)。至此，便已經解釋清楚積分變量的替換是如何進行的了。

我為最常見的\(\mathbb{r}_m\)做了一個用于表示分類的思維導圖，如下：

graph lr

a[積分]-->d[二重積分]

a-->e[三重積分]

d-->f[極坐标系]

e-->g[柱面坐标系]

e-->h[球面坐标系]

style a fill:#01a2a6

style d fill:#bdf271

style e fill:#bdf271

style f fill:#ffffa6

style g fill:#ffffa6

style h fill:#ffffa6

下面，逐一為上圖中所涉及到的\(\mathbb{r}_m\)求解\(|j|\)，得出對應的新的積分變量。

\[\rightarrow dxdy=|j|\cdot dudv\\

(|j|=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=

=x_u\times y_v-x_v\times y_u

)

對于二重積分的極坐标，有:

\rho\\

\theta

x=x(\rho,\theta)=\rho\cdot cos\theta\\

y=y(\rho,\theta)=\rho\cdot sin\theta

x_{\rho}=cos\theta\\

x_{\theta}=-\rho\cdot sin\theta\\

y_{\rho}=sin\theta\\

y_{\theta}=\rho\cdot cos\theta

\[\rightarrow dxdy=|j|\cdot d\rho d\theta \\

(|j|=\frac{\partial(x,y)}{\partial(\rho ,\theta )}=

x_{\rho}&x_{\theta}\\

y_{\rho}&y_{\theta}

=x_{\rho}\times y_{\theta}-x_{\theta}\times y_{\rho}=\rho

)\\

\rightarrow dxdy=\rho\cdot d\rho d\theta

對于三重積分的柱面坐标，有:

y\\

z

\theta\\

x=x(\rho,\theta,z)=\rho\cdot cos\theta\\

y=y(\rho,\theta,z)=\rho\cdot sin\theta\\

z=z(\rho,\theta ,z)=z

x_z=0\\

y_{\theta}=\rho\cdot cos\theta\\

y_z=0\\

z_{\rho}=0\\

z_{\theta}=0\\

z_z=1

\[\rightarrow dxdydz=|j|\cdot d\rho d\theta dz\\

(|j|=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho ,\theta ,z)}=

x_{\rho}&x_{\theta}&x_z\\

y_{\rho}&y_{\theta}&y_z\\

z_{\rho}&z_{\theta}&z_z

\end{vmatrix}=

x_{\rho}&x_{\theta}&0\\

y_{\rho}&y_{\theta}&0\\

0&0&1

\rightarrow dxdydz=\rho\cdot d\rho d\theta dz

對于三重積分的球面坐标，有:

r\\

\varphi

x=x(r,\theta,\varphi)=r\cdot sin\theta cos\varphi\\

y=y(r,\theta,\varphi)=r\cdot sin\theta sin\varphi\\

z=z(r,\theta ,\varphi)=r\cdot cos\theta

x_{r}=sin\theta cos\varphi\\

x_{\theta}=r\cdot cos\theta cos\varphi\\

x_{\varphi}=-r\cdot sin\theta sin\varphi\\

y_{r}=sin\theta sin\varphi\\

y_{\theta}=r\cdot cos\theta sin\varphi\\

y_{\varphi}=r\cdot sin\theta cos\varphi\\

z_{r}= cos\theta\\

z_{\theta}=-r\cdot sin\theta\\

z_{\varphi}=0

\[\rightarrow dxdydz=|j|\cdot dr d\theta d\varphi\\

(|j|=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r ,\theta ,\varphi)}=

x_{r}&x_{\theta}&x_{\varphi}\\

y_{r}&y_{\theta}&y_{\varphi}\\

z_{r}&z_{\theta}&z_{\varphi}

z_{r}&z_{\theta}&0

\end{vmatrix}=z_r\times

x_{r}&x_{\theta}\\

y_{r}&y_{\theta}

\end{vmatrix}-z_{\theta}\times

x_{r}&x_{\varphi}\\

y_{r}&y_{\varphi}

\end{vmatrix}\\

\rightarrow z_r\times(x_r\cdot y_{\theta}-x_{\theta}\cdot y_r)-z_{\theta}\times (x_r\cdot y_{\varphi}-x_{\varphi}\cdot y_r)=r^2sin\theta\\

dxdydz=r^2sin\theta\cdot d\rho d\theta dz