指導
上一篇文章中描述的Calabi-Yau流形由于其特殊的拓撲性質，成為解釋弦理論中附加的6維緊空間的核心。然而，6 Vikarabi-Chu流形具有大量的拓撲形式，并且幾何非常複雜，難以直覺地想象。
是以，一般來說，當專注于解釋實體圖像而不必深入研究"額外6維空間"的數學性質時，我們使用最簡單的6維環面來壓縮而不是複雜的Calabi-Chu流形。通俗地說，我們用相對簡單的環面替換了難以想象的複雜流形。
在本文中，我們從經典點粒子的運動定律出發，來看看弦理論中"弦"的遊戲規則。
介紹
九維空間的大小非常不同 打開和關閉字元串的規律是不同的
作者：|張天榮
主編|甯倩， 盧浩然
<h1 class="pgc-h-arrow-right" data-track="19" >01 平面環面</h1>
當談到圓環面時，我們經常想到甜甜圈形狀，但拓撲學家更喜歡以更抽象的方式描繪的圓環體。在圖 1a 中，我們将二維環面繪制為矩形。
圖1：形成平面（二維）環面的過程可以想象為将桶形圓環的末端粘合成"甜甜圈"，但存在很大差異。
在圖a的平方中，對應于"A"箭頭的兩條邊将被粘合在一起，與"B"箭頭對應的兩條邊也将粘合在一起。也就是說，正如在科幻小說中看到的那樣：當你從矩形上方的A側走出矩形時，您将出現在下面的A側;當您穿過矩形右側的 B 時，您将出現在左側的 B 側。
由此産生的二維環面，稱為抽象環面，或扁平環面[1]，其形狀與甜甜圈不同。其實如圖1所示：将兩個A面粘合形成一個圓柱體，而這第一步并沒有錯。但是，在第二步中，當我們将圖C列的B的兩端粘合在一起時，我們不可能得到真正的甜甜圈的形狀，即圖1d所示的光滑無皺的表面。這有一個很深的原因：抽象的圓環體來自一個平面矩形，本質上是平坦的，曲率為零，而你通常看到的甜甜圈的内在曲率不是零。抽象圓環體不同于甜甜圈的内在本質。
雖然抽象的圓環體不能平滑地嵌入三維空間中，但很容易依靠想象力來了解它的拓撲性質。
最簡單的環面是一個一維圓，圖1構造了一個二維環面，其方法可以推廣到更高的次元。例如，想象一個具有六個面的盒子：（A，A'），（B，B'），（C，C'），兩個彼此平行。想象一下，将A和A'粘合在一起，B和B'，C和C'結合在一起，形成一個三維抽象環。相同的方法可用于建構任何n維次元的抽象環面。
< h1級""pgc-h-right-arrow"資料軌道""124">02弦在時間和空氣（經典）運動</h1>
卡拉比-丘爾流或抽象環面，作為一個6維的狹小空間，加上我們熟悉的、大規模的4維時空擴散，構成了10維時空的弦理論，是"弦"的主動階段。換句話說，弦理論有兩個階段：4D時空階段（即我們所處的現實世界）和6D小階段。從數學上講，弦理論中的空間是4D時空和6D緊空間的笛卡爾積。
除了舞台和演員，還必須有劇本，即遊戲規則。對于實體學來說，遊戲規則是量子和非量子（經典）。
弦在空間中的運動定律可以從點粒子的運動定律中擴充出來。首先，讓我們看一下如何将經典點粒子規則擴充到經典字元串。
在牛頓力學中，點粒子的軌迹是3D空間中随時間變化的一條線。在相對論中，粒子在4D時間和空氣中移動的軌迹被稱為"世界線"，如圖2a所示。在弦理論中，0維點粒子被（較小的）1維弦運動所取代。琴弦在時間和空氣中的運動軌迹被一個軌迹面所取代，稱為"世界面"，如2b所示。此外，如果運動的物體是二維的（薄膜），則時間和空氣中的運動軌迹稱為"世界物體"，如圖2c所示。
圖2：粒子與弦（或膜）
與沒有大小的點粒子數學模型相比，字元串模型具有許多優點，其中之一是避免了點粒子的無窮大問題。
在古典電子學中，有無限的困難。在經典實體學中，電子可以被視為半徑為r的球，電子的品質公式為m。e2/rc2.當接近 0 時，品質變為無窮大。最後，經典電子理論通過引入電子的有限半徑（非點粒子）來消除這種發散。在量子場論中，有必要通過重組來消除無窮大，但引力場不能被重新排序，以至于它不能被包含在标準模型中。
然而，對于弦理論來說，重組變得無關緊要，因為弦不是一個點，弦有一個大小，自然而然地消除了點粒子的分散問題。
< h1 class="pgc-h-arrow-right" data-track="125" >03 量子的和弦和互相作用</h1>
圖2中點粒子和弦運動的類比很容易推廣到其他情況，包括量子弦和互相作用。也就是說，在弦理論中，點粒子處的線被替換為帶狀表面（開放字元串）或管面（封閉字元串）（如圖2b所示）。
例如，圖2a中的世界線是經典粒子在4維時空中的軌迹。兩個不動點之間隻有一條經典路徑，但如果考慮到量子力學，一個粒子從A到B有無限的路徑，經典路徑（藍線）隻是其中之一（見圖3a）。圖3b顯示了弦理論中的類似情況：除了藍色表示的經典世界面外，所有可能的世界面都有助于計算從字元串A到字元串B的量子機率範圍。
圖 3：路徑內建（量子化）
根據量子場論，時間和空氣中的粒子不斷湮滅和産生。生成和湮滅等互相作用現象在各個層面上都使用費曼圖進行描述和計算，弦理論也不例外，隻是如上所述，相應的段需要替換為"面"，如圖4所示。
圖4：弦理論和費曼圖中弦和弦之間的互相作用
從場論的角度來看，比較标準模型，弦理論的另一個優點是更加簡化。量子場論在數學上可以是無限多樣化的，是以它可以對應于無限種類的粒子。例如，61種不同的量子場理論對應于标準模型中的61個基本粒子。在弦理論中，隻需要一個描述"弦"的量子場論，這在概念上是簡化的。
<擴充"pgc-h-right-arrow"資料軌道""126">04膜串概念</h1>
在圖2c中，我們已經提到了"膜"的概念，它首先來自與弦理論相關的超重力理論。當今弦理論中經常談論的膜是p膜和D膜。
稱為p-膜的實體實體是通過将點粒子的概念推廣到尺寸1，2甚至更遠的尺寸而産生的。例如，點粒子可以被認為是0維膜，而弦可以被認為是1維膜，通常意義上的"膜"是2維的。此外，可能存在更高維的膜。
P膜是根據量子力學規則在時空中行進的動态物體。它們具有品質和其他特性，例如電荷。p-film穿過時空并掃除（p + 1）次元的體積，稱為worldvolume，如圖2c所示。
另一種類型的膜稱為d-brane，它代表滿足狄利克雷邊界條件的膜。D膜是弦理論中一種重要的膜，與時空中開弦的運動有關。當打開的字元串穿過時空時，打開的字元串的末端必須在D膠片上。D膜的研究産生了與對偶性相關的重要結果，将在下一篇文章中簡要介紹。
圖5：D膜上的開線
<h1 class="pgc-h-arrow-right" data-track="127" >05 在緊緻空間中移動的字元串的特殊性</h1>
正如本文開頭提到的，弦理論的空間分為用于拉伸的大空間和用于卷曲的小空間。用上一篇文章《電纜線上的螞蟻》的類比：我們看到的電纜線是一個1維的大空間，而線上的螞蟻可以看到另一個次元的卷曲圓圈（小空間）。
弦理論中的大時空是4維的，卷曲緊湊的小空間是6維的。4維和6維都不能在平面圖像中顯示，但是，為了便于對概念的解釋，我們将弦理論的10維時空簡化為圖6a中的長圓柱體，在螞蟻眼中看起來像一條2維電纜線。沿電纜線方向的尺寸表示四維大時空;電線的橫截面圓圈代表6維小空間。用這樣的比喻來說，10維時空中的開弦和閉合的琴弦是電纜線上的小螞蟻。
也就是說，圖 6 中無限擴充的 x 方向表示我們所知道的 4 維時空，而 y 方向上卷曲的小圓圈表示另外 6 個小次元。這個6維空間可以是Calabi-Chu流形，也可以簡單地了解成本部分中描述的6維抽象環面。對于 6 維環面，圖中的 R 應了解為表示 6 個值，而不是 1 個值。
圖6：弦理論空間和"軌道"示意圖
從點粒子到弦理論，并不是所有的實體量都有相應的類比，弦的特殊性産生了一些點粒子模型中找不到的屬性，我們以緊緻空間中閉合弦的"軌道數"[2]為例，這是在4維時空的标準模型中找不到的實體量。
如圖6所示，10維時空分為大一小，其中弦的運動也可以從這兩個方面來讨論。也就是說：弦除了在大的4維時空中移動外，還可以在緊湊的空間中移動。閉合字元串的這種運動特别特殊，因為閉合字元串可能具有特殊狀态，即圍繞一定（或更多）緊湊的尺寸，可以環繞1，2或許多（N）圓圈，參見圖6b。是以，閉合弦具有額外的量子态，其特征在于一個新的量子數，稱為"繞組數"。
沒有繞組的概念，因為開口弦在拓撲學上等價于一個點，不能"纏繞"起來。
當在緊湊次元上纏繞的閉合弦互相作用時，傷口的總數是一個守恒量。
上圖圖6b給出了繞組w=0，+2，+1，-1的示例，下圖表示閉合串（從左到右）的變化（等效）過程，可用于簡單地說明繞組的守恒：開始時，閉合的弦簡單地放置在圓柱體上， 沒有圓，是以 w = 0。閉合弦上的點 A 和 B 緊密互相作用，成為 w=1 和 w=-1 的兩個閉合弦，但繞組的總和仍為 0。
您如何了解點粒子和字元串遊戲玩法之間的差別？很好了解不是嗎？在下一篇文章中，我們将介紹二進制性。
資源：
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Torus
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Winding_number