指导
上一篇文章中描述的Calabi-Yau流形由于其特殊的拓扑性质，成为解释弦理论中附加的6维紧空间的核心。然而，6 Vikarabi-Chu流形具有大量的拓扑形式，并且几何非常复杂，难以直观地想象。
因此，一般来说，当专注于解释物理图像而不必深入研究"额外6维空间"的数学性质时，我们使用最简单的6维环面来压缩而不是复杂的Calabi-Chu流形。通俗地说，我们用相对简单的环面替换了难以想象的复杂流形。
在本文中，我们从经典点粒子的运动定律出发，来看看弦理论中"弦"的游戏规则。
介绍
九维空间的大小非常不同 打开和关闭字符串的规律是不同的
作者：|张天荣
主编|宁倩， 卢浩然
<h1 class="pgc-h-arrow-right" data-track="19" >01 平面环面</h1>
当谈到圆环面时，我们经常想到甜甜圈形状，但拓扑学家更喜欢以更抽象的方式描绘的圆环体。在图 1a 中，我们将二维环面绘制为矩形。
图1：形成平面（二维）环面的过程可以想象为将桶形圆环的末端粘合成"甜甜圈"，但存在很大差异。
在图a的平方中，对应于"A"箭头的两条边将被粘合在一起，与"B"箭头对应的两条边也将粘合在一起。也就是说，正如在科幻小说中看到的那样：当你从矩形上方的A侧走出矩形时，您将出现在下面的A侧;当您穿过矩形右侧的 B 时，您将出现在左侧的 B 侧。
由此产生的二维环面，称为抽象环面，或扁平环面[1]，其形状与甜甜圈不同。其实如图1所示：将两个A面粘合形成一个圆柱体，而这第一步并没有错。但是，在第二步中，当我们将图C列的B的两端粘合在一起时，我们不可能得到真正的甜甜圈的形状，即图1d所示的光滑无皱的表面。这有一个很深的原因：抽象的圆环体来自一个平面矩形，本质上是平坦的，曲率为零，而你通常看到的甜甜圈的内在曲率不是零。抽象圆环体不同于甜甜圈的内在本质。
虽然抽象的圆环体不能平滑地嵌入三维空间中，但很容易依靠想象力来理解它的拓扑性质。
最简单的环面是一个一维圆，图1构造了一个二维环面，其方法可以推广到更高的维度。例如，想象一个具有六个面的盒子：（A，A'），（B，B'），（C，C'），两个彼此平行。想象一下，将A和A'粘合在一起，B和B'，C和C'结合在一起，形成一个三维抽象环。相同的方法可用于构建任何n维维度的抽象环面。
< h1级""pgc-h-right-arrow"数据轨道""124">02弦在时间和空气（经典）运动</h1>
卡拉比-丘尔流或抽象环面，作为一个6维的狭小空间，加上我们熟悉的、大规模的4维时空扩散，构成了10维时空的弦理论，是"弦"的主动阶段。换句话说，弦理论有两个阶段：4D时空阶段（即我们所处的现实世界）和6D小阶段。从数学上讲，弦理论中的空间是4D时空和6D紧空间的笛卡尔积。
除了舞台和演员，还必须有剧本，即游戏规则。对于物理学来说，游戏规则是量子和非量子（经典）。
弦在空间中的运动定律可以从点粒子的运动定律中扩展出来。首先，让我们看一下如何将经典点粒子规则扩展到经典字符串。
在牛顿力学中，点粒子的轨迹是3D空间中随时间变化的一条线。在相对论中，粒子在4D时间和空气中移动的轨迹被称为"世界线"，如图2a所示。在弦理论中，0维点粒子被（较小的）1维弦运动所取代。琴弦在时间和空气中的运动轨迹被一个轨迹面所取代，称为"世界面"，如2b所示。此外，如果运动的物体是二维的（薄膜），则时间和空气中的运动轨迹称为"世界物体"，如图2c所示。
图2：粒子与弦（或膜）
与没有大小的点粒子数学模型相比，字符串模型具有许多优点，其中之一是避免了点粒子的无穷大问题。
在古典电子学中，有无限的困难。在经典物理学中，电子可以被视为半径为r的球，电子的质量公式为m。e2/rc2.当接近 0 时，质量变为无穷大。最后，经典电子理论通过引入电子的有限半径（非点粒子）来消除这种发散。在量子场论中，有必要通过重组来消除无穷大，但引力场不能被重新排序，以至于它不能被包含在标准模型中。
然而，对于弦理论来说，重组变得无关紧要，因为弦不是一个点，弦有一个大小，自然而然地消除了点粒子的分散问题。
< h1 class="pgc-h-arrow-right" data-track="125" >03 量子的和弦和相互作用</h1>
图2中点粒子和弦运动的类比很容易推广到其他情况，包括量子弦和相互作用。也就是说，在弦理论中，点粒子处的线被替换为带状表面（开放字符串）或管面（封闭字符串）（如图2b所示）。
例如，图2a中的世界线是经典粒子在4维时空中的轨迹。两个不动点之间只有一条经典路径，但如果考虑到量子力学，一个粒子从A到B有无限的路径，经典路径（蓝线）只是其中之一（见图3a）。图3b显示了弦理论中的类似情况：除了蓝色表示的经典世界面外，所有可能的世界面都有助于计算从字符串A到字符串B的量子概率范围。
图 3：路径集成（量子化）
根据量子场论，时间和空气中的粒子不断湮灭和产生。生成和湮灭等相互作用现象在各个层面上都使用费曼图进行描述和计算，弦理论也不例外，只是如上所述，相应的段需要替换为"面"，如图4所示。
图4：弦理论和费曼图中弦和弦之间的相互作用
从场论的角度来看，比较标准模型，弦理论的另一个优点是更加简化。量子场论在数学上可以是无限多样化的，因此它可以对应于无限种类的粒子。例如，61种不同的量子场理论对应于标准模型中的61个基本粒子。在弦理论中，只需要一个描述"弦"的量子场论，这在概念上是简化的。
<扩展"pgc-h-right-arrow"数据轨道""126">04膜串概念</h1>
在图2c中，我们已经提到了"膜"的概念，它首先来自与弦理论相关的超重力理论。当今弦理论中经常谈论的膜是p膜和D膜。
称为p-膜的物理实体是通过将点粒子的概念推广到尺寸1，2甚至更远的尺寸而产生的。例如，点粒子可以被认为是0维膜，而弦可以被认为是1维膜，通常意义上的"膜"是2维的。此外，可能存在更高维的膜。
P膜是根据量子力学规则在时空中行进的动态物体。它们具有质量和其他特性，例如电荷。p-film穿过时空并扫除（p + 1）维度的体积，称为worldvolume，如图2c所示。
另一种类型的膜称为d-brane，它代表满足狄利克雷边界条件的膜。D膜是弦理论中一种重要的膜，与时空中开弦的运动有关。当打开的字符串穿过时空时，打开的字符串的末端必须在D胶片上。D膜的研究产生了与对偶性相关的重要结果，将在下一篇文章中简要介绍。
图5：D膜上的开线
<h1 class="pgc-h-arrow-right" data-track="127" >05 在紧致空间中移动的字符串的特殊性</h1>
正如本文开头提到的，弦理论的空间分为用于拉伸的大空间和用于卷曲的小空间。用上一篇文章《电缆线上的蚂蚁》的类比：我们看到的电缆线是一个1维的大空间，而线上的蚂蚁可以看到另一个维度的卷曲圆圈（小空间）。
弦理论中的大时空是4维的，卷曲紧凑的小空间是6维的。4维和6维都不能在平面图像中显示，但是，为了便于对概念的解释，我们将弦理论的10维时空简化为图6a中的长圆柱体，在蚂蚁眼中看起来像一条2维电缆线。沿电缆线方向的尺寸表示四维大时空;电线的横截面圆圈代表6维小空间。用这样的比喻来说，10维时空中的开弦和闭合的琴弦是电缆线上的小蚂蚁。
也就是说，图 6 中无限扩展的 x 方向表示我们所知道的 4 维时空，而 y 方向上卷曲的小圆圈表示另外 6 个小维度。这个6维空间可以是Calabi-Chu流形，也可以简单地理解成本部分中描述的6维抽象环面。对于 6 维环面，图中的 R 应理解为表示 6 个值，而不是 1 个值。
图6：弦理论空间和"轨道"示意图
从点粒子到弦理论，并不是所有的物理量都有相应的类比，弦的特殊性产生了一些点粒子模型中找不到的属性，我们以紧致空间中闭合弦的"轨道数"[2]为例，这是在4维时空的标准模型中找不到的物理量。
如图6所示，10维时空分为大一小，其中弦的运动也可以从这两个方面来讨论。也就是说：弦除了在大的4维时空中移动外，还可以在紧凑的空间中移动。闭合字符串的这种运动特别特殊，因为闭合字符串可能具有特殊状态，即围绕一定（或更多）紧凑的尺寸，可以环绕1，2或许多（N）圆圈，参见图6b。因此，闭合弦具有额外的量子态，其特征在于一个新的量子数，称为"绕组数"。
没有绕组的概念，因为开口弦在拓扑学上等价于一个点，不能"缠绕"起来。
当在紧凑维度上缠绕的闭合弦相互作用时，伤口的总数是一个守恒量。
上图图6b给出了绕组w=0，+2，+1，-1的示例，下图表示闭合串（从左到右）的变化（等效）过程，可用于简单地说明绕组的守恒：开始时，闭合的弦简单地放置在圆柱体上， 没有圆，所以 w = 0。闭合弦上的点 A 和 B 紧密相互作用，成为 w=1 和 w=-1 的两个闭合弦，但绕组的总和仍为 0。
您如何理解点粒子和字符串游戏玩法之间的区别？很好理解不是吗？在下一篇文章中，我们将介绍二元性。
资源：
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Torus
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Winding_number