最近線上發表在《實體與工程》雜志上的一篇論文隻花了五天時間就收到了并發表了，作者認為這是有史以來發表的最快記錄。本文的内容是如何在最簡單的經典微分幾何知識的基礎上，了解量子力學和熱力學中的一些前沿問題。本文主要内容是介紹作者在科研中學習和使用微分幾何20多年後，自認為成功的回饋教學的兩個典型結果。
編寫|劉全輝（湖南大學實體與微電子學院理論實體博士、教授）
最快的世界紀錄<h1級"pgc-h-right-arrow"資料跟蹤>1論文：五天</h1>
最近，一篇從投稿到發表的五天的小論文創下了中國（也許是國際上）學術期刊速度最快的記錄。這是《實體學與工程》（清華大學高等教育實體課程教學指導委員會學術期刊）的笨拙著作《精通幾何，不利于實體學》。于2021年3月13日收到，并于18日線上接收。這篇文章，既不是投稿，也不是草稿，而是《實體與工程》編輯部和作者讨論為自己的微信公衆号寫了一篇文章，文章很草率，編輯部以為是一篇"好文章"然後"更新"到發表的結果。這篇文章隻花了兩天時間，但材料的積累持續了20多年，内容作為腹地被構思了一段時間。在同一時期，一篇關于大學實體學的文章《幾何視角下的熱力學》也受到了好評，編輯委員會将安排某一期的首次發行。
圖1 中國學術期刊發表文章速度最快的記錄：五天。
作者的人生有幾點沒有那麼暗淡，其實和幾何學有一點關系。除了檔案，資金等以及與謀生直接相關的共同習俗外，還有以下内容：
1.指導了幾項大學學習，最好的三篇論文與幾何學有關。大學生可以進行與幾何學相關的前沿研究，說明幾何學并不困難。它還表明，幾何學是實體學研究中最重要的敲磚之一。
2、1989年獲碩士學位，論文為Z2規範場的相位結構，是一種幾何學。
3. 他于1999年在一篇關于生物膜幾何和廣義相對論的論文中獲得了博士學位，這需要經典的微分幾何。
4. 2000年，正式助理（相當于通路學者或博士後研究員）申請了第二次申請ICTP，比1999年的第一次申請多了幾句話：在1999年的PRL和Aharonov文章中，Dowling等作者證明了研究Berry幾何相的作者的CPL文章。
5. 他的國家知道他。2016年，他在上海遇到道林，說他很高興自己還是個孩子，見照片（圖2）。不幸的是，Dowling于2020年去世，Nature Photonics專門撰寫了一篇紀念文章。2018年，我有幸在湖邊主持Berry并主持了他的演講（YueLu論壇），見照片（圖3）。
圖2 作者和道林合影
圖3 Berry與湖南大學實體與電氣科學學院的師生合影
<h1類的>2實體圖像"，"pgc-h-right-arrow"data-track"24"，通常指幾何圖像</h1>
實體學家戴森認為，他從費米的20分鐘裡學到的東西比從奧本海默的20年裡學到的要多。費米的随口說了一句，被了解為費米的秘密，不僅在幾秒鐘内廣泛傳播，而且作為費米實體教學和研究的指南。原話是："一種方式，也是我更喜歡的方式，就是對過程進行一次實體清晰的計算過程。另一種方式是要有一個精确和自洽的正式性。在這裡，實體圖景被提升到一個關鍵位置。實體與實體學不同，在實體學中，形容詞"實體"指的是完整和活的實體學，而實體學是一種狀态描述。彭先生強調了實體和實體之間的差別。
圖4 索恩和布蘭福德的"大學實體學"教科書的封面
重點是幾何學在實體教育中的作用，而不是索恩上司的"大學實體"教學小組。如果不是索恩對引力波的成功探索，為他赢得了2017年諾貝爾實體學獎，他可能不會對他在2017年出版的大學實體學教科書給予太多關注，該教科書的名字很奇怪，現代經典實體學（全名現代經典：光學，流體，等離子體，彈性，相對論和統計實體學）， 檢視照片（圖4）。事實上，這本書的内容在加州理工大學和斯坦福大學花了37年的時間進行了磨練，并以經典實體學的幾何翻拍為特色。"幾何學是本書中深層次的主線，也是非常重要的經緯度，"前言寫道。我們将看到經典實體學的基礎如何由我們磨練的幾何思維來決定或強烈限制。幾何學不僅突出了經典原理的特征，還有助于将它們與相應的量子原理聯系起來。此外，幾何方法避免了冗長的分析計算。雖然所涉及的冗長的例行計算有時是不可避免的，但在這種情況下，我們有時會轉向現代符号計算軟體Maple，Mathematica和Matlab來節省空間。"換句話說，吹掉實體學計算難度的灰塵，你會發現實體學中無處不在的幾何學。
大學中的幾何學必須通過微積分深入了解。是以，大學中的實體圖像應該是微分幾何圖像。所謂的實體深度可能隻不過是簡單的幾何形狀。本文接下來的兩節，通過兩個例子，希望說明以下的道理：實體課程重要而困難的實體問題，隻有簡單的微分幾何才能衰變成魔法，變得優雅有趣。
<熱力學第三定律<和<h1類""pgc-h-right-arrow"data-track-track"31"兩個函數>的正切</h1>
圖5 A函數及其泰勒展開的幾何了解（圖檔取自網絡）
這是熱力學Tomson-Beitlo在低溫實驗中發現的模式圖（圖6）。這張圖告訴我們什麼？教科書中包含了曲折和困難的分析，進而得到熱力學第三定律可以表達出來。一旦切線的概念到位，立即發現兩條線在零溫度下具有第一級切線，即兩個函數具有以下關系
是以，Tomson-Bertello原理揭示了：1，當T→0時，S→0，→即熱力學第三定律;該室溫可以通過分析進階切割來量化。
這個例子表明，幾何必須與微積分相結合，而完整的主幾何是不夠的。
圖 6 這兩個函數具有一階切線（圖檔來自著名的 Herbert B. Callen，熱力學和恒溫學導論第 2 版）
< h1 類""pgc-h-arrow-right"資料軌道""37" > 4 個動量算子中顯示的平均曲率</h1>
球坐标下的三個廣義動量算子是：
這三個算子在一般初級量子力學教科書中可以看到，主要部分是通常的微分算子。前兩個算子出來的部分，通常的了解隻是讓微分部分變得更加密集和出函數，沒有深層的含義，其實可能不是這樣。這兩個函數實際上是兩個不同平面的平均曲率。平均曲率是經典微分幾何中的入門級概念。
首先，關于什麼是平均曲率。檢視曲面彎曲形狀的方法是将面變成一條線。要将曲面切開，橫截面上的曲面是一條曲線，是切口的縮寫。但是在攔截時，沿着線切下來。一個二維曲面，可以找到正交的兩個截距（法向截距），用兩個截距的曲率（主曲率）表示曲面的彎曲程度，參考圖7。
圖 8 球面坐标。r 是一個常數，半徑為 r 球形，平均曲率為 1/r。當坩埚恒定時，它是具有嬰兒床平均曲率的錐體？φ是恒定的，平均曲率為零的平面。（圖檔來自網絡并經過編輯）
圖9 當點P處的圓錐切成兩條線時，一條是母線，曲率為零，另一把刀被切下來，刀面與母線正交，法式截距線的曲率半徑為r tan，曲率為cot。是以，圓錐在 r=1 時的平均曲率為 cot.2。
有人可能會認為，通過了解三個廣義動量算子，知道表達式幾乎可以解決所有問題，而您不需要知道這些量是否是平均曲率。對于這三個營運商來說，這似乎不是假的。其實不是，因為實體問題往往要在更大的背景下去看，然後再反過來看問題，才能獲得更大的視角和正确的視角。有許多問題與此曲率有關。首先，在平坦空間中，移動量子态需要通過移動動量算子建構的電腦來完成，但在平坦空間中，動量不包含額外的函數，是以量子态環傳回其原始位置一周，量子态不會改變。在曲面上，正是因為從零件中流出的動量較多，是以量子态會是多個相位因子。其次，這是"世紀難題"：徑向動量算子Pr的觀測意義為了解決這個問題，我們必須訴諸幾何學，參見文獻Int. J. Geom. Meth。國防部。實體，2015，12：1550028。
這個例子至少給了我們三個啟示：首先，最常見的算子有一個直接的平均曲率，然後微分幾何處于量子力學的開端，是以在整個過程中;實體學雜志.C，2019，79：712及其參考文獻;第三，認為現代實體學的幾何基礎是黎曼幾何，平均曲率是外在的，微不足道的，是片面的。
< h1類"pgc-h-right-arrow"資料跟蹤""48">5個中斷和結論</h1>
文章已經接近尾聲，但味道并不鹹，在這裡記錄一些破碎的想法。
如果一門課程講了50年甚至80年，它太爛了，說不出來，而且，從來沒有達到索恩用幾何重塑經典實體概念體系的程度，也找不到普通的動量算子實際上包含簡單的幾何，但深刻的實體學，等等。任何大學教師都必須具有與本課程教學内容密切相關的尖端科學經驗。純粹是教大學的老師，可以是認真的老師，也可以是好的老師，但不能在教學内容上神，不能掌握主要科目，不能了解最新進展，就不能是學術教師。
月麓書院的平台上有一對連雲"和利一為學，天地人的意思"。不過，"安利"對于學習三種方式也要進入WTO，要學會一定有點世界精神。作者在湖南大學負責的"嶽麓論壇"上，堅持延伸一些既是文科又是理科的科學家來談，堅信大學生正處于成長階段，興趣不能太狹隘，應該"轉向多教師是老師"。與此同時，在大學裡必須有一點艱難的課程。現在大學課程的數量，但并不容易。難道不是大學課程的問題，即使是簡單的微分幾何也不是大學實體系課程系統的一部分嗎？
這個問題可能必須從不同的角度來看待。微分幾何及其發展曆史是人類文明最輝煌的部分，應該和唐詩歌、經典小說等一樣，是大學生必讀的書。對于理工科學生來說尤其如此。
希臘故事，古代和現代的引用，許多例子，等等，都被擠進了打破思想的狹窄通道，接下來與本文的主題相融合。重複本文中的兩句話作為本文的結論：不僅實體圖像經常指的是幾何圖像，而且實體學的深度很可能是簡單的幾何。