最近在线发表在《物理与工程》杂志上的一篇论文只花了五天时间就收到了并发表了，作者认为这是有史以来发表的最快记录。本文的内容是如何在最简单的经典微分几何知识的基础上，理解量子力学和热力学中的一些前沿问题。本文主要内容是介绍作者在科研中学习和使用微分几何20多年后，自认为成功的回馈教学的两个典型结果。
编写|刘全辉（湖南大学物理与微电子学院理论物理博士、教授）
最快的世界纪录<h1级"pgc-h-right-arrow"数据跟踪>1论文：五天</h1>
最近，一篇从投稿到发表的五天的小论文创下了中国（也许是国际上）学术期刊速度最快的记录。这是《物理学与工程》（清华大学高等教育物理课程教学指导委员会学术期刊）的笨拙著作《精通几何，不利于物理学》。于2021年3月13日收到，并于18日在线接收。这篇文章，既不是投稿，也不是草稿，而是《物理与工程》编辑部和作者讨论为自己的微信公众号写了一篇文章，文章很草率，编辑部以为是一篇"好文章"然后"升级"到发表的结果。这篇文章只花了两天时间，但材料的积累持续了20多年，内容作为腹地被构思了一段时间。在同一时期，一篇关于大学物理学的文章《几何视角下的热力学》也受到了好评，编辑委员会将安排某一期的首次发行。
图1 中国学术期刊发表文章速度最快的记录：五天。
作者的人生有几点没有那么暗淡，其实和几何学有一点关系。除了文件，资金等以及与谋生直接相关的共同习俗外，还有以下内容：
1.指导了几项本科学习，最好的三篇论文与几何学有关。本科生可以进行与几何学相关的前沿研究，说明几何学并不困难。它还表明，几何学是物理学研究中最重要的敲砖之一。
2、1989年获硕士学位，论文为Z2规范场的相位结构，是一种几何学。
3. 他于1999年在一篇关于生物膜几何和广义相对论的论文中获得了博士学位，这需要经典的微分几何。
4. 2000年，正式助理（相当于访问学者或博士后研究员）申请了第二次申请ICTP，比1999年的第一次申请多了几句话：在1999年的PRL和Aharonov文章中，Dowling等作者证实了研究Berry几何相的作者的CPL文章。
5. 他的国家知道他。2016年，他在上海遇到道林，说他很高兴自己还是个孩子，见照片（图2）。不幸的是，Dowling于2020年去世，Nature Photonics专门撰写了一篇纪念文章。2018年，我有幸在湖边主持Berry并主持了他的演讲（YueLu论坛），见照片（图3）。
图2 作者和道林合影
图3 Berry与湖南大学物理与电气科学学院的师生合影
<h1类的>2物理图像"，"pgc-h-right-arrow"data-track"24"，通常指几何图像</h1>
物理学家戴森认为，他从费米的20分钟里学到的东西比从奥本海默的20年里学到的要多。费米的随口说了一句，被理解为费米的秘密，不仅在几秒钟内广泛传播，而且作为费米物理教学和研究的指南。原话是："一种方式，也是我更喜欢的方式，就是对过程进行一次物理清晰的计算过程。另一种方式是要有一个精确和自洽的正式性。在这里，物理图景被提升到一个关键位置。物理与物理学不同，在物理学中，形容词"物理"指的是完整和活的物理学，而物理学是一种状态描述。彭先生强调了物理和物理之间的区别。
图4 索恩和布兰福德的"大学物理学"教科书的封面
重点是几何学在物理教育中的作用，而不是索恩领导的"大学物理"教学小组。如果不是索恩对引力波的成功探索，为他赢得了2017年诺贝尔物理学奖，他可能不会对他在2017年出版的大学物理学教科书给予太多关注，该教科书的名字很奇怪，现代经典物理学（全名现代经典：光学，流体，等离子体，弹性，相对论和统计物理学）， 查看照片（图4）。事实上，这本书的内容在加州理工大学和斯坦福大学花了37年的时间进行了磨练，并以经典物理学的几何翻拍为特色。"几何学是本书中深层次的主线，也是非常重要的经纬度，"前言写道。我们将看到经典物理学的基础如何由我们磨练的几何思维来决定或强烈限制。几何学不仅突出了经典原理的特征，还有助于将它们与相应的量子原理联系起来。此外，几何方法避免了冗长的分析计算。虽然所涉及的冗长的例行计算有时是不可避免的，但在这种情况下，我们有时会转向现代符号计算软件Maple，Mathematica和Matlab来节省空间。"换句话说，吹掉物理学计算难度的灰尘，你会发现物理学中无处不在的几何学。
大学中的几何学必须通过微积分深入理解。因此，大学中的物理图像应该是微分几何图像。所谓的物理深度可能只不过是简单的几何形状。本文接下来的两节，通过两个例子，希望说明以下的道理：物理课程重要而困难的物理问题，只有简单的微分几何才能衰变成魔法，变得优雅有趣。
<热力学第三定律<和<h1类""pgc-h-right-arrow"data-track-track"31"两个函数>的正切</h1>
图5 A函数及其泰勒展开的几何理解（图片取自网络）
这是热力学Tomson-Beitlo在低温实验中发现的模式图（图6）。这张图告诉我们什么？教科书中包含了曲折和困难的分析，从而得到热力学第三定律可以表达出来。一旦切线的概念到位，立即发现两条线在零温度下具有第一级切线，即两个函数具有以下关系
因此，Tomson-Bertello原理揭示了：1，当T→0时，S→0，→即热力学第三定律;该室温可以通过分析高级切割来量化。
这个例子表明，几何必须与微积分相结合，而完整的主几何是不够的。
图 6 这两个函数具有一阶切线（图片来自著名的 Herbert B. Callen，热力学和恒温学导论第 2 版）
< h1 类""pgc-h-arrow-right"数据轨道""37" > 4 个动量算子中显示的平均曲率</h1>
球坐标下的三个广义动量算子是：
这三个算子在一般初级量子力学教科书中可以看到，主要部分是通常的微分算子。前两个算子出来的部分，通常的理解只是让微分部分变得更加密集和出函数，没有深层的含义，其实可能不是这样。这两个函数实际上是两个不同平面的平均曲率。平均曲率是经典微分几何中的入门级概念。
首先，关于什么是平均曲率。查看曲面弯曲形状的方法是将面变成一条线。要将曲面切开，横截面上的曲面是一条曲线，是切口的缩写。但是在拦截时，沿着线切下来。一个二维曲面，可以找到正交的两个截距（法向截距），用两个截距的曲率（主曲率）表示曲面的弯曲程度，参考图7。
图 8 球面坐标。r 是一个常数，半径为 r 球形，平均曲率为 1/r。当坩埚恒定时，它是具有婴儿床平均曲率的锥体？φ是恒定的，平均曲率为零的平面。（图片来自网络并经过编辑）
图9 当点P处的圆锥切成两条线时，一条是母线，曲率为零，另一把刀被切下来，刀面与母线正交，法式截距线的曲率半径为r tan，曲率为cot。因此，圆锥在 r=1 时的平均曲率为 cot.2。
有人可能会认为，通过理解三个广义动量算子，知道表达式几乎可以解决所有问题，而您不需要知道这些量是否是平均曲率。对于这三个运营商来说，这似乎不是假的。其实不是，因为物理问题往往要在更大的背景下去看，然后再反过来看问题，才能获得更大的视角和正确的视角。有许多问题与此曲率有关。首先，在平坦空间中，移动量子态需要通过移动动量算子构建的计算器来完成，但在平坦空间中，动量不包含额外的函数，因此量子态环返回其原始位置一周，量子态不会改变。在曲面上，正是因为从零件中流出的动量较多，所以量子态会是多个相位因子。其次，这是"世纪难题"：径向动量算子Pr的观测意义为了解决这个问题，我们必须诉诸几何学，参见文献Int. J. Geom. Meth。国防部。物理，2015，12：1550028。
这个例子至少给了我们三个启示：首先，最常见的算子有一个直接的平均曲率，然后微分几何处于量子力学的开端，因此在整个过程中;物理学杂志.C，2019，79：712及其参考文献;第三，认为现代物理学的几何基础是黎曼几何，平均曲率是外在的，微不足道的，是片面的。
< h1类"pgc-h-right-arrow"数据跟踪""48">5个中断和结论</h1>
文章已经接近尾声，但味道并不咸，在这里记录一些破碎的想法。
如果一门课程讲了50年甚至80年，它太烂了，说不出来，而且，从来没有达到索恩用几何重塑经典物理概念体系的程度，也找不到普通的动量算子实际上包含简单的几何，但深刻的物理学，等等。任何大学教师都必须具有与本课程教学内容密切相关的尖端科学经验。纯粹是教大学的老师，可以是认真的老师，也可以是好的老师，但不能在教学内容上神，不能掌握主要科目，不能理解最新进展，就不能是学术教师。
月麓书院的平台上有一对连云"和利一为学，天地人的意思"。不过，"安利"对于学习三种方式也要进入WTO，要学会一定有点世界精神。作者在湖南大学负责的"岳麓论坛"上，坚持延伸一些既是文科又是理科的科学家来谈，坚信大学生正处于成长阶段，兴趣不能太狭隘，应该"转向多教师是老师"。与此同时，在大学里必须有一点艰难的课程。现在大学课程的数量，但并不容易。难道不是大学课程的问题，即使是简单的微分几何也不是大学物理系课程系统的一部分吗？
这个问题可能必须从不同的角度来看待。微分几何及其发展历史是人类文明最辉煌的部分，应该和唐诗歌、经典小说等一样，是大学生必读的书。对于理工科学生来说尤其如此。
希腊故事，古代和现代的引用，许多例子，等等，都被挤进了打破思想的狭窄通道，接下来与本文的主题相融合。重复本文中的两句话作为本文的结论：不仅物理图像经常指的是几何图像，而且物理学的深度很可能是简单的几何。