天衣豈無縫，匠心剪接成。渾然歸一體，廣邃妙絕倫。
造化愛幾何，四力纖維能。千古寸心事，歐高黎嘉陳。
演講 | 張偉平
整理 | 徐雪霏
2021年是陳省身先生誕辰110周年，陳省身數學研究所舉辦了一系列的活動。白承銘所長邀請我作一場講座，作為這次陳先生紀念活動的“收官之作”，給我布置了一篇命題作文，聊一聊陳先生在學術方面的成就。
陳省身先生一生對于世界數學、中國數學的發展所做出的突出貢獻有目共睹，他在數學領域的地位自然也是舉足輕重。在此，我首先想引用楊振甯先生的一首詩《贊陳氏級》：
天衣豈無縫，匠心剪接成。渾然歸一體，廣邃妙絕倫。造化愛幾何，四力纖維能。千古寸心事，歐高黎嘉陳。
“千古寸心事”來自杜甫的詩句“文章千古事，得失寸心知”，而“歐高黎嘉陳”則是贊頌陳先生的曆史地位直追前面四位大幾何學家，歐幾裡得、高斯、黎曼、嘉當。這也給了我們一個參照物，我想就順着這一條線來談談陳先生所做出的貢獻以及它們的曆史地位。
“歐”指的是歐幾裡得，我們現在通常說到歐幾裡得，都是在說他的數學著作《幾何原本》。實際上歐幾裡得的原文叫“Elements”，就是原本，囊括了當時的整個數學。裡面有兩個最重要的定理，一個是平面三角形的内角和等于180度；還有一個是素數的個數是無限的，是數論的。湊巧的是20世紀，中國的兩位偉大數學家，一位是陳省身先生，一位是華羅庚先生，分别對幾何和數論做出了巨大的貢獻。
“歐”與“高”之間其實還有一個人叫笛卡爾，他引進的用坐标研究幾何也是一個革命性的進展，但今天我們主要談幾何，對他就不過多贅述了。“高”就是高斯（Gauss），他做幾何其實是五十歲左右做天文台台長的時候，做大地測量的時候做出來的。他把歐幾裡得平面三角形内角和定理推廣到彎曲的（非平面的）曲面上的三角形上。後來Bonnet把這個公式推廣到多邊形以及邊可以是任意曲線的這個情形，現在把這方面的推廣叫Gauss-Bonnet定理。
Gauss-Bonnet定理在高斯之後得到進一步推廣就要說到黎曼，黎曼是數論大家，他所提出的黎曼大猜測，目前是千禧年問題當中的第一個大問題，同時他也是函數論大家。而他對微分幾何的貢獻主要展現在當年他參加的一個教師資格考試，通過後就可以帶自己的學生，相當于國内的博士生導師。在這篇很短的文章裡，他引進了高維黎曼空間的概念，定義了高斯曲率在高維的推廣，我們現在可以稱為是黎曼曲率。黎曼的動機是來自于複變函數以及電磁學的理論。
黎曼提出了高維空間的概念，那麼高維黎曼幾何的發展需要對高維空間的對象有一個嚴格的描述，就是我們現在所謂的流形，第一個嚴格定義它的是Hermann Weyl。他寫了一本書，叫《黎曼面的概念》，就是把黎曼局部的想法用到黎曼面，變成整體的，就相當于我們原來把局部曲面弄成閉曲面一樣。我查閱了相關文獻，這本書是1913年發表的，當時Weyl隻有28歲，非常年輕。Weyl當然是不得了的人物，他也是規範場理論的先驅。
陳先生曾經寫過一個通俗報告，叫《從三角形到流形》，把幾何學劃分成幾個時代，一個叫“原始人”，就是指歐幾裡得幾何；後來笛卡爾來了，有代數工具了，有工具可以做的叫“穿衣人”；後來出現了流形上的幾何，就變成了“現代人”。那麼進入20世紀，有了流形的概念，自然就要問，如何做一個現代人，也就是如何發展流形上的幾何？
這裡要談到的代表人物就是Elie Cartan (嘉當)，也就是“歐高黎嘉陳”的“嘉”。嘉當的主要貢獻有很多，其中有一個貢獻，是将局部微積分的理論推廣到流形上去，稱為外微分演算。陳先生在德國讀完博士，就選擇去巴黎跟随嘉當做博士後，在巴黎待了一年，苦讀嘉當的文章，得到了他的精髓。嘉當的文章是出了名的難讀，連Hermann Weyl都認為嘉當的文章很難讀。嘉當的論文集有三大卷，每卷都很厚，陳先生說他至少可以讀到百分之七八十。是以前兩天我就給學生說，你要做老師的好學生，先要把老師的重要著作讀好。
數學發展到這一步，下一步的關鍵就是要将二維幾何裡面最重要的Gauss-Bonnet推廣到高維。這其中就會碰到一個問題，要把高斯曲率的概念推廣到高維，然後還要想辦法證明想要的等式。第一個成功的是Allendoerfor和André Weil。André Weil是布爾巴基的創始人，20世紀最偉大的數學家之一，Allendoerfor是他的同僚。他們所做的研究從某種意義上說，可以說已經完成了Gauss-Bonnet定理到高維的推廣，但并不盡如人意，可謂是“知其然，不知其是以然”。
而這時陳省身先生徹底解決了這個問題，這也被他認為是自己一生中做出的最重要的工作。陳先生用了所謂的機關球面叢，每一點就取機關長的切向量，這個是跟流形本身相關的，不需要嵌入到另外的一個歐式空間去。本身任何一個黎曼流形，在每一點有個機關長的向量，就相當于你這頭上有頭發，你每一點這個頭發就剪一個機關長的平頭，把這個拿出來就局部地變成一個機關球面叢。因為底下流形太難做，陳先生就把這個問題放到這個機關球面叢上做。陳先生曆史上第一次把這個問題提到機關球面叢上去做，然後就把這個問題給解決了。這個思想就叫做transgression，是陳先生曆史上第一個引進的。後來他的學生吳光磊給這個思想取名叫“超渡”，就是你在底下做不到，你就到上面去做，做完了以後再把問題拉回來，非常形象。而将超渡的思想應用到具體的技術，是陳先生從嘉當那裡學到的外微分演算。從哲學角度講，陳先生的這個工作是（最早展現在Gauss－Bonnet定理裡面的）局部與整體之間的内在關聯在高維情形的發揚光大。
後來在這個工作被繼續推廣的過程中，陳先生又定義了以他的名字命名的示性類Chern class。這個Chern class按陳先生自己所說，是他某個周末到圖書館去，突然來的靈感，這也許是大師謙虛的話，但Chern class所帶來的影響有目共睹。例如它對于被譽為20世紀最重要數學定理之一的Atiyah－Singer名額定理、丘成桐獲得菲爾茲獎的工作（即解決Calabi猜想）以及近期傅吉祥－丘成桐在非凱勒流形上的開創性工作，都起到了根本的作用。陳先生的數學貢獻的基本重要性不言而喻。
除了Chern class，陳先生另外一個極具影響、開天辟地的工作，就是定義了Chern-Simons示性式。Chern-Simons在實體層面、代數幾何層面都有着十分深遠的影響，這裡面最值得一提的就是Edward Witten。他提出所謂的Chern-Simons量子場論，用來研究紐結理論的Jones多項式，獲得了數學中的最高獎，是目前唯一一個得到數學菲爾茲獎的實體學家。而Witten的這篇文章最早是發表在楊振甯先生和葛墨林院士編的這本書裡面，後來才發表在CMP上，是以我們數學所也算是做出了一個間接性的貢獻。
綜上所述，楊振甯先生的名句“千古寸心事，歐高黎嘉陳”非常到位，陳省身先生在世界數學史上的地位毋庸置疑。
陳省身先生對中國數學的貢獻
接下來我要談談陳先生對中國數學發展所做的貢獻。1946年至1948年三年間，陳先生在上海的中研院數學所，培養了一批青年人才，當中最突出的當數吳文俊先生。
按陳先生自己回憶，中研院數學所成立之初是姜立夫先生任所長，姜先生赴美國後，陳先生任代理所長。他認為第一要務是要培養新人，是以他給各個著名大學的數學系發函，請他們推薦三年内最優秀的學生來，結果很多人響應，可見陳先生當時的威望已經是非常高了。
在吳文俊先生回憶陳先生的文章中寫道，當初拓撲學是公認的難學，但是他跟陳先生第一年學完以後，就做出了拓撲學的文章，并且發表在Annals上。很多人都覺得不可思議，但他說這并不奇怪，正好說明陳先生善于指導（當然也說明吳先生才華橫溢）。然後吳先生指出，凡事必須從根本做起，盡管陳先生的主要目标是大範圍微分幾何，但在中研院數學所的三年期間，對年輕人卻沒有講，因為他要做更基礎的東西，緻力于代數拓撲方面的培養。吳先生還特别指出，中研院的數學所的三年，陳先生為大陸培養了一批拓撲學的骨幹，這是解放前對中國數學的貢獻。
上世紀70年代陳先生回國後，提出了一系列建議幫助中國數學的進步。第一步就是促成青年數學家出國通路，1978年，陳先生親自邀請中國科學院的王啟明、彭家貴通路伯克利，打開了青年數學家赴美通路的先河。
後來國家決定推選50人出國，陳先生就推薦張恭慶到紐約，推薦姜伯駒到普林斯頓，最終是52人成行，是陳先生硬塞了兩個進去。張恭慶先生、姜伯駒先生後來都成為中國數學界的領軍人物。
彭家貴老師曾與我提起那次出國經曆，當時兩個年輕人第一次坐飛機出國，很是忐忑，但一下飛機就看見了陳先生來接他倆，心裡的大石頭一下子就落了地。或許是第一次有紅色中國學者到訪，當地媒體着實宣傳了一番。後來陳先生還專門就此事寫下手記：“一九七八年家貴九月來加州共做研究，盼為中國數學有意義之史實。”當然彭老師也沒有辜負陳先生的培養，除了他自己做出了傑出的研究工作以外，他的學生唐梓洲獲得了2020年度的開發中國家科學院（也就是原來的第三世界科學院）數學獎。我們可以把它看成是一個美麗的回聲，回應了陳先生當初的創舉。
第二步就是改革開放以後，連續7年，1980年到1986年，所謂的雙微年（微分方程+微分幾何年），請國外的一大批相關專家來和國内的同行交流，大大促進了國内微分幾何和微分方程的發展。
陳先生當時請來的有菲爾茲獎的獲得者Atiyah、Bombieri，沃爾夫獎獲得者Bott、Griffiths，阿貝爾獎獲得者Lax、Nirenberg，以及數學名家Singer、Kohn等等，國内作大會報告的有華羅庚華老、吳文俊先生和谷超豪先生。當時請來這些人并不是草草亮相做一個報告就完事了，Bombieri在這期間寫下的文章有100多頁，Bott的文章50頁，陳先生自己的文章也多達100多頁，都是很認真地在做貢獻。
這裡面我想提一下Nirenberg，他和陳先生關系很好，陳先生去世以後，國際數學聯盟在國際數學家大會上設立陳省身獎章，Nirenberg是第一個獲獎人。他對陳先生的回憶很有意思，他覺得和陳先生在一起做什麼都是好的，就連跟陳先生一起在中國餐館吃飯，都是一個美妙的經曆。一個有名的故事是第一屆雙微會議期間，陳先生請包括Nirenberg在内的一批數學家去前門吃飯，Nirenberg說這輩子沒吃過這麼好吃的飯，念念不忘下個禮拜帶着人又去吃，結果說我都吃的是一樣的飯，點的是一樣的菜嗎？怎麼菜的味道完全不一樣。
陳先生自己對吃這件事也頗為得意，不否認自己是個“美食家”。當年我在伯克利數學所念博士後時，陳先生有一次跟我開玩笑說：“張偉平，數學，我不知道你能從我這裡學到多少；吃，你要好好學學。”
陳省身先生在南開大學的創舉
1984年8月，陳省身先生正式受聘為南開數學所所長。受聘儀式結束後，鄧小平同志在人民大會堂宴請了陳先生，當時還有丁石孫先生、何東昌教育部長、陳師母以及胡國定先生。
胡先生我在這裡要着重提一下，當年胡先生三顧茅廬到伯克利，請陳先生到南開來創辦數學所，對于南開數學所的創立這兩個人可謂是缺一不可，二人為南開數學所的創立通過書信來來回回進行了很多次交流。陳先生曾對胡先生說：“南開數學研究所有你推動，前途當無量，當對國家有重大貢獻，如有可為之力，當盡力幫忙。”
後來陳先生親自寫了所名，吳大任提出、陳先生認可一起确定了辦所方針是“立足南開、面向全國、放眼世界”。這就表示南開數學研究所不隻是面向南開，是要對全國服務的。
在數學所的成立儀式上，這位已75歲的老人，請大家想象自己懷抱着僅僅一歲的“嬰兒”，會是怎樣一種心情。他說，“為中國數學、南開數學，我将鞠躬盡瘁，死而後已。”陳先生踐行了自己的諾言。從1985年到1995年，在陳先生的推動下，南開數學研究所舉行了12次意義深遠的學術年活動。1987年，陳先生更是力邀楊振甯先生來南開建立理論實體研究室，實作了數學與實體的高度結合。
1988年8月，在21世紀中國數學展望會議上，陳省身提出了“中國在21世紀成為數學大國”的猜想，并争取到了一項專項基金，叫數學天元基金。會上北大的程民德老先生代表中國數學界作了《讓中國數學率先趕上國際先進水準》的主題報告，裡面提道，當代數學家陳省身教授多次提出，“隻要大家努力，路子對頭，那數學科學完全可以率先趕上世界先進水準”。程民德老先生表示，我們願意看到陳先生的這一願望變成現實。
談到促進中國數學的進步與發展，就不得不提到數學界最重要的大會，國際數學家大會（ICM）。1993年陳先生和丘成桐先生一起提出在中國舉辦國際數學家大會（ICM）的建議。1998年在德國召開的國際數學聯盟會議上，中國獲得了主辦權。2002年的國際數學家大會以第一次有國家最高上司人出席開幕式而載入史冊。
我還記得2000年1月12日，陳師母在南開寓所去世，第二天，我去看陳先生，陳先生那時候眼淚還在眼眶裡打轉，心情十分悲痛，但他還是忍住不讓眼淚掉下來。他說我現在就做好兩件事，第一件是辦好國際數學家大會，第二件事就是辦好南開數學所。
陳先生獨具匠心提出2000年10月在南開召開陳國才、周炜良紀念會。陳國才、周炜良都是中國最著名的數學家，在國際上具有崇高地位。
除國際數學聯盟秘書長Griffiths作為會議代表出席之外，陳先生還邀請了動力系統學家、國際數學聯盟主席Palis。在邀請信中，陳先生在最後寫了一句，我和江主席是好朋友，其他沒有多說。Palis看過信後，就來參加大會了。
在江澤民同志接見外賓時，Palis就代表國際數學聯盟邀請他在開幕式上出席。江澤民同志說如果開幕式的時候他在北京，就一定出席會議。此次會見為國際數學家大會在北京的順利召開鋪平了道路，後面各個部門都為中國數學界開綠燈。從這件事情也可以看出陳先生的遠見卓識。
陳先生是那次國際數學家大會的名譽主席，在2002年ICM會上緻辭時，他最後說道：“孔夫子的儒家思想對中國有着兩千多年的影響。其主要學說是‘仁’，從字形上看就是‘二人’的意思，也就是說要重視人際關系。現代科學具有高度競争性。我想，如果注入人的因素，将會使我們這一門學科更加健康、更加有趣。”
如果從人的角度來考慮，“Chern class”就是“陳班”，涵蓋陳先生一生培養出來的學生，以及學生的學生，等等。劉克峰有一個紀念陳先生的文章，題目就叫《我們都屬于“陳類”》。
陳先生兩個最著名的學生，大家都知道，一個是吳文俊，一個是丘成桐，這是“Chern class”兩個最具代表性的人物。在南開實際上也有一個“Chern class”。侯自新老校長在天津日報上發了一篇紀念文章，裡面就談到這個南開數學試點班。試點班是國家教委批複的，實際上陳先生為幫助南開大學發展，一是成立數學所，同時建議成立數學試點班。陳先生是兩個拳頭同時并進的，不是說隻辦了數學所，也為數學教育、為南開的大學教育做了很大的貢獻。
陳先生還曾為試點班親自上課，注入了很多的心血。試點班也培養了一批人才，這裡僅列舉兩位：一個是朱朝鋒，現在在南開；一個是關啟安，現在在北大。朱朝鋒教授跟龍以明院士有一篇論文發表在頂尖雜志──《Annals of Mathematics》上，如果我沒記錯的話，這應該是改革開放以後在《Annals of Mathematics》上全部署名中國大陸機關的第一篇文章，一時傳為美談。
關啟安教授是跟周向宇院士合作，他們在《Annals of Mathematics》發的文章解決了Demailly的一個所謂強開性猜想──“strong openness conjecture”。美國的《Mathematical Reviews》裡面評論他們的工作是：近年來複分析和代數幾何“交叉方面”最偉大的成就。習近平總書記在2016年的兩院院士大會上講話，裡面提到中國的科學，當然數學排第一是肯定的，多複變函數論和其他一些科學突破一起，為大陸成為一個有世界影響的大國奠定了重要基礎。我想習近平總書記這樣說，不光是要表揚周向宇，也是表揚從華羅庚華老開始的，一代、幾代科學家在多複變方面的傳承。當然陳先生優秀的學生還有很多很多，在這裡我就不一一列舉了。
最後我要說的是我們數學所的這座大樓，大樓建成時被譽為國際數學界最好的數學大樓，可惜陳先生在世時沒有看到。當年陳先生“逼”我做數學所的所長，我說我隻做陳省身數學所的所長，我們都希望南開數學研究所可以更名為陳省身數學研究所，可陳先生就是不同意。
直到陳先生過世後，2005年9月27日，江澤民同志到天津的時候，要專門到南開數學所新樓（省身樓）來看一下。本來安排20分鐘的活動，一直持續了40分鐘，最後我們準備好了筆墨，想讓江澤民同志給題個字，他說我累了，就簽個名吧。眼看已經簽完名了，我很着急。可能也是陳先生給我的勇氣吧，我壯着膽子說：“主席，我們想請您寫陳省身數學研究所呀。”江澤民同志說那我就落款“于陳省身數學研究所”吧。寫到一半，反應過來這是想用他的字，就說：“今天是站着寫的，不工整，我回去再寫一份正式的來。”
後來數學所正式更名用的就是江澤民同志的題字。我覺得這可以算是我的人生一大成就，總算對得起陳先生了。如今，聳立在津河邊上的省身樓看着特别漂亮。我對白承銘所長說，隻要這個大樓在，這個所名在，不管世事滄桑、變化萬千，我們的陳省身數學研究所，總有一天會再創輝煌，這個特别要靠在座年輕人的努力。
我們很高興地看到，自陳先生1981年發表在《自然雜志》上的題為《對中國數學的展望》的文章以來，中國數學業已取得了巨大的進步。如《中國新聞周刊》2021年4月報道的，所謂的數學“黃金一代”已經湧現。
“冬天到了，春天還會遠嗎”？相信在不久的将來，“中國成為數學大國、強國”的“陳省身猜想”一定會被解決，相信到時陳先生的在天之靈也會欣慰的。
“待到山花爛漫時、他在叢中笑”，願我們的年輕人一起努力，為“陳省身猜想”的徹底解決做出自己的貢獻。
本文轉載自微信公衆号“數學大院”，原載于《天津日報》（2021年12月20日 ）。“數學大院“釋出時進行了編輯整理。演講者系中國科學院院士。
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