本文内容來源于《測繪學報》2024年第2期（審圖号GS京(2024)0297号）
雙星跟飛測高衛星在軌初步驗證
孫中苗1,2
, 翟振和1,2, 管斌1,2, 阮仁桂1,2, 黃令勇11. 地理資訊工程國家重點實驗室, 陝西 西安 710054;
2. 西安測繪研究所, 陝西 西安 710054基金項目：國家自然科學基金（42174001）摘要：衛星測高反演重力場的正常做法是利用海面高差求解垂線偏差，進一步計算海洋重力異常和海洋大地水準面高等資訊。顯然，提高海面高差的測量精度可以直接提升海洋重力場的反演精度。本文給出了雙星跟飛衛星測高原理，通過軌道設計使雙星星下點跨軌間距（即分辨率）在1'左右，雙星同時測量沿其軌道的海面高差及跨軌的星間海面高差，此時軌道徑向誤差表現為星間或單星曆元間的相對軌道徑向誤差，而與大氣傳播和地球實體效應等有關的改正項，對于地面軌間距隻有1'的雙星近似相等，其在海面高差中幾無展現，是以海面高差的精度相比于傳統的單星測量将有顯著提高。利用測高A/B雙星的實際觀測資料，初步驗證了相對軌道徑向誤差和海面高差中的8項改正的內插補點誤差。結果表明，對于定标階段約25 km的星下點間距，幹對流層、濕對流層、電離層、固體潮、極潮和逆大氣壓等改正項的內插補點誤差均在5 mm量級；海潮改正內插補點、海況偏差內插補點中分别有約1 cm和2 cm的殘留誤差；對于業務軌道約2 km的星下點間距，相對軌道徑向誤差約為3 mm，除了海況偏差內插補點有約0.52 cm的殘留誤差，其他改正項的內插補點誤差均小于0.05 cm，可完全忽略不計。關鍵詞：衛星測高 雙星跟飛測量模式 海洋重力場 垂線偏差 相對定軌 海況偏差
引文格式：孫中苗, 翟振和, 管斌, 等. 雙星跟飛測高衛星在軌初步驗證[J]. 測繪學報，2024，53(2)：207-216. DOI: 10.11947/j.AGCS.2024.20230264
SUN Zhongmiao, ZHAI Zhenhe, GUAN Bin, et al. Preliminary verification of dual-satellite tandem altimetry on board[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2024, 53(2): 207-216. DOI: 10.11947/j.AGCS.2024.20230264 閱讀全文：http://xb.chinasmp.com/article/2024/1001-1595/20240201.htm
引 言海洋衛星測高技術在大地測量學、海洋學、冰川學、生物學和導航等領域得到了廣泛應用[1]。在大地測量學中，衛星測高主要用于确定海洋大地水準面、海洋重力異常(擾動重力)和反演海底地形等。海洋重力場是艦船慣性導航系統誤差修正的必要基礎資料，也是水下重力輔助導航重力基準圖制作的基礎，更是全球重力場模型建構和全球垂直基準統一等必不可少的資料。海洋重力場的不斷精化是大地測量界的長期追求目标。自1995年Geosat衛星大地測量任務(geodetic mission，GM)資料全面公開後，全球海洋重力場模型得到持續更新和發展[2]。2010年後，最為典型是美國斯克利普斯海洋研究所(Scripps Institution of Oceanography, SIO)與丹麥科技大學(Technical University of Denmark，DTU)持續釋出的1′×1′分辨率全球海洋重力場模型。SIO于2010年後釋出的主要版本包括SS V23.1[3]、V28.1[4]和2021年的最新V31.1。V23.1主要采用Geosat/GM、ERS-1、CryoSat-2及Jason-1/GM資料；V28.1采用的GM資料包括Cryosat-2、Jason-1/GM、Jason-2/GM與SARAL的資料。DTU于2010年後釋出的主要版本包括DTU10、DTU13[5]、DTU15[6]和DTU17[7]。DTU10對所有ERS-2和Envisat資料作了重跟蹤處理。DTU13融合了Cryosat-2和Jason-1/GM資料；DTU15對Cryosat-2 1B級波形資料作了重跟蹤處理，使用了5年Cyrosat-2和Jason-1/GM資料；DTU17融進2016年SARAL漂移軌道資料，改進了Cryosat-2在北極區域的資料。大陸衆多學者同期開展了富有成效的區域或全球海洋重力場反演研究，如早期反演獲得了中國海及鄰近海域的重力異常[8-11]，近期反演獲得南海海域1′×1′分辨率重力場[12]及中國近海和全球海域1′×1′分辨率重力場[13-14]。上述衆多區域或全球海洋重力場模型尤其是1′×1′分辨率模型顯然采用了多顆測高衛星的多年累計觀測資料，目前的單顆測高衛星尚難以達到高至1′的分辨率，如具備海洋重力場測量功能的Geosat、ERS-1、Cryosat-2和SARAL等衛星，其星下點軌間距在6~8 km左右。鑒于高分辨率高精度海域重力場仍有巨大應用需求，如果要快速實作全球高精度(如3 mGal)、高分辨率(如1′)的重力場探測，傳統的單星海洋測高模式耗時過長，而且觀測資料中的海面時變因素很難徹底顧及，緻使海面高測量精度受到限制。是以有必要兼顧效率和精度設計新型的衛星測高模式。為此，本文給出了雙星跟飛衛星測高原理，介紹了雙星相對定軌誤差模型，詳細論述了海面高差測量中的各項改正內插補點的誤差模型，并基于測高雙星實測資料對這些誤差模型進行了初步驗證，得出了若幹有益結論。
1 雙星跟飛衛星測高原理1.1 衛星測高基本模型衛星測高利用定軌裝置确定衛星相對于參考橢球面的高度ralt，利用雷達高度計測得衛星到瞬時海面的垂直距離halt，顧及各類誤差改正後，得到瞬時海面離參考橢球面的高度，即海面高SSH[1]
(1)式中，Rdry為幹對流層改正；Rwet為濕對流層改正；Rion為電離層改正；Rst為固體潮改正；Rpt為極潮改正；Rot為海潮改正(包括負荷潮汐)；Rssb為海況偏差(SSB)改正；Rinv表示逆氣壓改正。對于傳統的Ku/C雙頻雷達高度計，綜合Jason系列衛星的地球實體記錄資料實際情況[15-16]，式(1)右端各項改正的誤差量級見表 1，其中軌道徑向分量誤差、高度計測距誤差、海況偏差誤差和海潮改正誤差為主，SSH的總誤差約為4.5 cm。
表 1 傳統海面高測量誤差彙總Tab. 1 Summary of errors in traditional sea surface height measurement cm
表選項
衛星測高反演重力場的最常見做法是利用海面高差求解垂線偏差，再進一步計算重力異常和大地水準面高等。顯然，海面高差的測量精度最為關鍵。利用式(1)的單星海面高觀測量求解跨軌方向的海面高差(進而求解垂線偏差)時，假設各項誤差互相獨立(實際上，有些誤差有一定相關性)，則海面高差的誤差為4.5 cm×≈6.4 cm。1.2 雙星跟飛海面高差測量模型雙星跟飛模式是指兩顆星前後相距一定距離(時間相差約4 s)，前後跟飛的模式，雙星地面瞬時軌間距1′，單星軌間距2′(圖 1)。A、B雙星入軌後，通過相位調整實作A星的地面軌迹與B星地面軌迹相距1′。考慮到小周期間的轉移時間以及升軌、降軌因素，雙星跟飛模式2.5年後可完成1′軌間距全球覆寫。5年後可完成2次1′軌間距全球覆寫。
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| 圖 1 雙星跟飛模式實作全球1′軌間距Fig. 1 Global 1′ orbit spacing achieved by dual-satellite altimetry mode |
| 圖選項 |
由式(1)可以得到衛星A和衛星B的瞬時海面高的內插補點ΔSSHAB為
(2)式中，Δ表示關于衛星A和衛星B的兩個對應量的內插補點。顯然，式(2)右端中的ΔraltAB為雙星軌道的徑向分量之差，括弧中的8個Δ項為式(1)右端8項改正之差。本文将在下節進行詳細分析，對于地面軌迹間距隻有1′的雙星而言，除了ΔRSSBAB之外，其他各項均接近于零或其誤差小至可以忽略，是以，式(2)可以簡化為
(3)該式即為雙星跟飛衛星測高模式海面高差測量的基本模型。式(2)右端各項中，ΔhaltAB是衛星A和衛星B高度計的測距值之差，假設兩個高度計有相同的測距精度，那麼ΔhaltAB的誤差為單個高度計誤差的倍。本文先讨論ΔraltAB，即雙星軌道徑向分量內插補點的誤差，然後讨論式(2)右端括弧内各項的誤差。
2 雙星間相對定軌誤差2.1 單點定位/絕對定軌在GNSS單點定位中，僞距觀測量P是接收機位置r和鐘差Δt的函數，使用者衛星對GNSS衛星i的觀測方程表示
(4)式中，ρ表示幾何距離；c表示光速；ω表示誤差。對應的線性化方程為
(5)式中，r表示使用者衛星的近似坐标；Δr為坐标改正值向量。如果同時觀測n顆GNSS衛星，采用最小二乘法得到
(6)式中
Q=(HTH)-1為協因數矩陣，也就是精度映射矩陣，是計算定位精度衰減因子的依據。假設衛星在R、T和N方向的機關矢量分别為eR、eT和eN，則軌道徑向和橫向的精度衰減因子分别為
(7)
(8)式中，Q3×3表示取Q的前3行3列的矩陣塊。2.2 相對定位/相對定軌用下标A和B區分不同使用者衛星的觀測方程，設A星軌道已知，由式(5)容易得到相對定軌的線性化觀測方程
(9)可見，在形式上，式(9)和式(5)完全一樣，是以最小二乘解及其精度衰減因子的計算公式也完全等同于式(6)—式(8)。假設GNSS衛星軌道高度為20 200 km，A、B雙星軌道高度同為1000 km，距離為30 km。則兩星相對于GNSS衛星的最大張角為0.089 5°，通過雙星組差可以消除99.999 8%的星曆誤差和幾乎全部的鐘差誤差。假設導航衛星的軌道誤差在A星連線方向的誤差為10 cm，則引起AB兩星星間差分觀測量的誤差不超過0.002 mm。導航衛星速度精度可以達到0.1 mm/s，如果A、B兩衛星的時間同步精度為1 ms，引起的等效距離誤差小于10-4 mm；導航衛星鐘差變率的精度1×10-13 s/s，時間不同步引起鐘差等效距離誤差為0.000 03 mm。對于1000 km以上空間，電離層密度較低，單差觀測量可以消除絕大部分電離層延遲，主要誤差源為随機誤差。假設載波測量随機噪聲為1 mm，如果采用雙頻消電離層組合，随機噪聲放大為3 mm，組成單差觀測量，噪聲放大倍。設R方向的精度衰減因子達到為1.5，則兩星相對高差的精度約為6.4 mm。2.3 曆元間位置差如果用下标A和B表示兩個曆元，則曆元位置差的線性化觀測方程在形式上與式(9)完全一緻，是以其解和精度估計方法也完全适用。假設兩個曆元的采樣間隔為1 s，衛星自身運動速度為7.8 km/s，兩個曆元位置相對于導航衛星的張角小于0.025°，曆元差分後星曆誤差幾乎完全消除。導航衛星速度精度可以達到0.1 mm/s，引起的曆元間差分觀測量的誤差為0.1 mm；導航衛星鐘變率的精度1×10-13 s/s，引起鐘差誤差為0.03 mm。曆元差分觀測量的噪聲放大效應與星間單差相同，R方向精度衰減因子也相等，則可得前後曆元相對高差的精度約為6.4 mm，與相對定軌的效果相當。以上分析是指純粹幾何定位的結果，在實際定軌中，通過動力學資訊進行平滑，可以大幅度提高精度。電離層延遲部分的影響在分析中完全忽略，實際上對相對定位和曆元位置差的影響因素有所差異，前者主要由電離層的空間變化決定，後者主要由時間變化決定。總體上，兩種方式的高程相對精度差異不大。
3 海面高差誤差模型3.1 對流層改正內插補點誤差
3.1.1 幹對流層改正內插補點誤差幹對流層改正計算公式為[17]
(10)A、B雙星同時刻幹對流層改正內插補點為
(11)式中，P0是以mbar為機關的海面大氣壓；ϕ為緯度；Rdry以cm為機關。P0通常源自歐洲中期天氣預報中心(European Centre for Medium-Range Weather Forecasts，ECMWF)的業務化模型和再分析模型，這些模型的分辨率為0.125°×0.125°或0.75°×0.75°不等[18-19]，但均遠大于星下點1′間距，故可以認為P0B=P04。同時考慮到1′距離上cos 2ϕ的差異在10-8量級，是以對于兩個高度計在星下點同一1′範圍内的同步采樣而言，幹對流層改正內插補點接近于0，即
(12)
3.1.2 濕對流層改正內插補點誤差有多個模型可用于計算濕對流層改正。不失一般性，僅以基于柱内水汽總量(total column water vapor，TCWC)的如下模型作分析[20]
(13)式中，a0=6.854 4；a1=－0.437 7；a2=0.071 4；a3=－0.003 8；TCWV和Rwet機關均為cm。A、B雙星同時刻濕對流層改正內插補點為
(14)TCWV一般由數值天氣模型或大氣校正輻射計的亮度溫度計算得到，數值天氣模型目前最高為分辨率為0.125°，而輻射計測量分辨率在20 km左右，是以，對于星下點相同1′區域，式(14)右端括弧項均近似為0，進而濕對流層改正內插補點接近于0，即
(15)3.2 電離層改正內插補點誤差考慮單個頻率載波信号的電離層延遲模型[17]
(16)式中，f為載波頻率(Hz)；垂直電子總含量VTEC(vertical total electron content)為垂直傳播路徑上的總電子含量(electrons/m2)。電離層對A、B衛星兩個高度計測距的影響之差為
(17)對于測高衛星Ku波段的載波信号(13.575 GHz)，1 TECU(1 TECU=1016electrons/m2)的VTEC變化引起約2.186 mm的延遲變化。然而，TECU是很大的電子總含量(total electron content，TEC)計量機關，在小的空間尺度上(1′)與小的時間間隔内(4 s)，ΔVTECAB很難達到1 TECU。文獻[21]采用GNSS實測資料計算了ΔVTECAB，表明即使在電離層閃爍期間其最大值約為2.13 TECU，對應于Ku波段的延遲變化量不超過4.65 mm，而對于電離層活動一般情況，最大值不超過0.25 TECU，相應的延遲變化量不超過0.55 mm。由此可以認為，相對于2 cm左右高度計測距誤差，該項誤差可以略去不計，即有
(18)再從雙頻電離層改正模型進行分析。A星和B星高度計的電離層延遲改正之差為
(19)若假設同頻段的海況偏差可以消去，則ΔRionAB的誤差決定于高度計的測距誤差，令高度計在Ku波段和C波段的觀測值誤差均為1.6 cm，代入fKu=13.58 GHz，fC=5.25 GHz，可得
(20)這顯然與式(18)存在差異，其原因在于用式(19)求解ΔRionAB時引入了兩個高度計的雙頻測距誤差，如果海況偏差影響不像假設的那樣可以消去，則會引入更多誤差。3.3 潮汐改正內插補點誤差(1) 固體潮改正內插補點誤差。固體潮汐改正可采用IERS協定推薦的改正公式，它是與位置相關量，對于星下點相距約1′的兩個高度計觀測值，其計算結果非常接近，即有
(21)(2) 海潮改正內插補點誤差。潮汐改正通常采用潮汐模型進行計算。常用模型包括法國潮汐小組研發的FES系列模型、美國戈達德航天飛行中心的GOT系列模型、德國大地測量研究所的EOT系列模型和美國俄勒岡州立大學的TPXO系列海潮模型等[22-23]。目前，FES2012和FES2014的分辨率最高為0.062 5°。是以對于星下點相距約1′的兩個高度計觀測值，該項改正幾乎相同，是以海潮改正內插補點接近于0，即
(22)(3) 極潮改正內插補點誤差。極潮改正模型為[24]
(23)因在星下點1′距離上sin 2θcos λ、sin 2θsin λ的差異在10-10量級，是以，A星和B星的極潮改正可認為是相等的，其內插補點近似為0，即
(24)3.4 海況偏差改正內插補點誤差不失一般性，考察計算海況偏差改正的BM4參數化模型[25]
(25)式中，a1、a2、a3、a5為常數；U為風速；SWH(significant wave height)為有效波高。再考慮SSB的非參數估計方法，它是對應于風速U和有效波高SWH的二維查找表[26]。若根據高度計實測風速和有效波高計算SSB，雖則雙星星下點軌迹相距隻有1′間隔，但在高海況情況下，A、B雙星的輸入風速和有效波高可能存在一定差異，緻使A、B雙星的SSB內插補點不能近似為0。若利用二維查找表，不同風速U和SWH對應不盡相同的SSB，SSB內插補點仍可能不能近似為0。是以，海況偏差內插補點誤差不能忽略不計。3.5 逆氣壓改正內插補點誤差以cm為機關的逆氣壓改正Rinv為[17]
(26)式中，P0為表面大氣壓，機關為mbar；P是全球海面大氣壓在整個海洋的時變平均值。A、B雙星同時刻逆氣壓改正內插補點為
(27)與幹對流層改正一樣，對于星下點1′間距，可以認為P0B=P0A，故逆氣壓改正內插補點接近于0，即
(28)3.6 海面高差的總誤差綜合以上讨論可知，對于雙星跟飛衛星測高模式，ΔRdryAB、ΔRwetAB、ΔRstAB、ΔRptAB、ΔRotAB和ΔRinvAB均近似為零，ΔRionAB若采用垂直電子總含量估算也近似為0，它們都可從式(2)中略去，即可得到式(3)。于是ΔSSHAB的總誤差δΔSSHAB可表示為
(29)合成孔徑雷達高度計的測距精度可達1.6 cm，星間或沿軌方向曆元間的軌道徑向分量的理論相對精度為0.67 cm，假設SSB內插補點剩餘誤差為0.50 cm，将它們代入式(29)得
(30)若按式(20)δΔRionAB=0.56 cm，則δΔSSHAB≈2.5 cm。
4 基于實測資料的初步驗證雙星跟飛衛星測高基本原理是，假設星下點間距為1′的雙星，其大氣傳播和地球實體效應近似相等，可在海面高差求解中基本消去，而軌道誤差表現為星間或單星曆元間的相對軌道誤差。本節采用測高A、B雙星在軌實測資料對上述基本原理作初步驗證。測高A、B雙星資料選自某天的同一測量弧段。選擇的對比政策為時間比對，即選擇兩軌星下點中時間最為接近的點(近似為同一觀測時刻)進行各改正項的對比。4.1 相對軌道誤差利用簡化動力學定軌方法、非差模糊度固定方法擷取厘米級絕對軌道初值。在此基礎上進一步進行雙差模糊度固定以獲得毫米級相對軌道。在獲得相對軌道結果後，采用重疊弧段方法評估相對軌道的内符合精度。具體以30 h為定軌弧長、10 s為解算間隔，分别解算相鄰兩天的相對軌道。通過合理設定定軌起算點，使得兩組30 h定軌結果間在時域具有6 h重疊部分(圖 2)。10 s間隔條件下，6 h重疊部分包含2160個曆元。最後計算上述2160個曆元下兩組相對定軌結果對應的雙星距離之差，并統計差異的均值及均方根誤差。以7月某天為例，重疊弧段差異的均值為0 mm、均方根誤差為7 mm、标準差為7 mm。考慮三維距離與一維高差的數學關系，大地高差内符合精度約為
=4.0 mm。
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| 圖 2 6 h重疊弧段Fig. 2 6 h overlapping arc segment |
| 圖選項 |
4.2 改正項內插補點誤差選擇測高A、B雙星定标階段的某一測量弧段，測高A、B雙星的幹對流層改正、濕對流層改正、電離層改正、固體潮改正、海洋潮汐改正、極潮改正、海況偏差改正和逆大氣壓改正如圖 3所示，圖中左上角分别給出了各改正項內插補點的均值(Bias)和标準差(STD)，統計結果彙總見表 2。由圖 3和表 2可知，各改正項內插補點誤差總體上符合第3節的分析。
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| 圖 3 A、B雙星8個改正項的對比Fig. 3 Comparison of 8 corrections for A, B satellites |
| 圖選項 |
表 2 A、B雙星8個改正項內插補點的統計Tab. 2 Statistics of the differences of 8 corrections for A, B satellites
表選項
因測高A、B雙星定标階段的星下點間距約為25 km，而用于計算濕對流層改正和逆大氣壓改正的再分析模型的分辨率約為13.8 km，用于計算海潮改正的FES2014模型的分辨率為6.9 km，它們均高于25 km的星下點間距，是以其內插補點中仍有明顯的殘留誤差。海況偏差采用實測風速和有效波高計算，而計算風速需要用到後向散射系數，但後向散射系數目前未經完全标定，加之海面上25 km間距内海況偏差的實際變化，海況偏差內插補點的STD達到2 cm是可以預期的。同樣選擇測高A、B雙星業務階段的某一測量弧段進行分析。A、B雙星的幹對流層、濕對流層、電離層、固體潮、海洋潮汐、極潮、海況偏差和逆大氣壓等各項改正之內插補點統計見表 2(電離層改正采用垂直電子總含量計算)。對于業務軌道約2 km的星下點間距，除了海況偏差內插補點有約0.52 cm的殘留誤差，其他改正項的內插補點誤差均小于0.05 cm，可完全忽略不計。這進一步驗證了第3節的理論分析結果。
5 結束語高分辨率、高精度海域重力場在水下重力輔助導航等領域有着重大應用需求。瞄準精确快速、精細均勻全球海域重力場的擷取，給出了雙星跟飛衛星測高模式。該模式将單星絕對海面高測量轉變為雙星海面高差測量，有望大大消除其中的軌道誤差、大氣傳播誤差和地球實體效應誤差。詳細給出了雙星相對定軌誤差模型和對流層、電離層、潮汐、逆氣壓等改正項的內插補點誤差模型，并以測高雙星在軌實測資料進行了先期驗證和分析，得到如下初步結論。(1) 利用測高雙星7月某天北鬥/GPS共模接收機觀測資料，計算得到6 h重疊弧段雙星星間距內插補點的均值為0 mm、均方根誤差為7 mm，由此估算的大地高差内符合精度約為4.0 mm，可在海面高差測量誤差中加以忽略。(2) 測高A、B雙星定标期間的星下點間距約為25 km，實測資料先期驗證了幹對流層、濕對流層、電離層、固體潮、極潮和逆大氣壓等改正項的內插補點誤差均在5 mm量級，在海面高差測量誤差中可完全忽略。海潮改正內插補點中仍有約1 cm的殘留誤差，主要是因為用于計算海潮改正的FES2014模型的分辨率約為6.9 km，遠高于25 km的星下點間距，且25 km間距内海洋潮汐變化較大。測高A、B星的海況偏差改正內插補點因用于計算風速的後向散射系數目前未經完全标定，且25 km範圍海面上的海況偏差可能本身存在較大變化，是以海況偏差內插補點的STD約為2 cm，符合理論預期。(3) 測高A、B雙星業務運作期間的星下點間距約為2 km，實測資料驗證表明，除了海況偏差內插補點有約0.52 cm的殘留誤差，其他改正項的內插補點誤差均小于0.05 cm，可完全忽略不計。作者簡介第一作者簡介：孫中苗(1968—), 男, 博士, 博士生導師, 研究員, 研究方向為實體大地測量、空間大地測量、海洋測繪。E-mail: [email protected]
初審：張豔玲複審：宋啟凡
終審：金 君
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